A T = O, OU

AV = o,4.

La série de concentration, comme on voit, est très-lente ; mais on connoît les moyens de

DÜ CALCUL DES INÉQUATIONS. ü3l

la rendre rapide. Je fais

et j’ai, en faisant un pas de concentration, k v — 0,9008 ;

je fais ensuite franchir à » la valeur de la racine en faisant

J ai

Je v = 1,098 :

on voit que ces deux valeurs de k m avancent, en sens contraire, vers la valeur 1 de la racine. Soit maintenant l’équation

ic4 -h 7 a?3 -f- 170;“+ 1 7 a? + 6 = o , dont les facteurs sont

On a d’abord

La série de concentration a une marche lente, à cause de l’égalité des deux premières racines. Je fais

j’ai

ktr ss 0,903 ;

je fais ensuite 1

et j’ai ,

k w = i, io3.

On voit que dans ce cas cette dernière valeur de k tt ne retourne pas vers la valeur de la racine = i , mais continué sa marche croissante

vers la troisième racine.

Pour savoir si une équation a des racines égales, il n’est pas nécessaire d’avoir recours à la méthode connue, on le voit immédiatement par la concentration des limites que l’on obtient en valeurs de p et en valeurs de x. IL faut remarquer qu’à proportion que les termes de la concentration s’éloignent de la racine, leur pas ou leur différence est plus grande; ils ont un maximum d’accroissement , après lequel ils décroissent en s’approchant de la troisième racine.

Pour se procurer une double série de concentration dans ce cas, il suffit de se procurer une équation en P, comme on a fait ci-dessus pour le troisième degré; elle sera toujours du même degré que la proposée; et dans ce cas-ci , comme chaque valeur de P contient la somme de trois racines, elles seront toutes inégales, à moins que la proposée ne contienne deux

DU CALCUL DES IHÉQUATIOïfS. a33

paires de racines égalés. Au reste, il est assez inutile d’avoir recours à ce moyen.

• La même loi a lieu pour les e'quations qui contiennent des racines imaginaires. Je prends pour premier exemple d’abord, une équation dont les racines sont inégales, savoir : x 4 -f g x3 q- 3oatb q- fax + 20 = o ; dont les facteurs sont

+ io)(ar + i)(jt + 2)=o;

on a

v =1,5 } Je fais v = 0,9 f t — 1,1.

Kt ~ \ ,44 J’ai k-r — 0,927 1 Ax = 1,077. f = 3 j

On voit que les deux quasi-valeurs de k w convergent en deux sens opposés vers la racine 1, comme quand toutes les racines sont réelles; mais je prends maintenant l’équation

x* + 8 a?3 q- a3 x4 q- 26 a? q- 10=0, dont les facteurs sont

(a?* + 6 + 10) (ar + 1 )*,

on a

x = 0,767 Je fais 7T = 0,9

k'T — 0,79 J’ai ix = 0,905

On voit dans cet exemple, qui contient deux racines égales et deux imaginaires, que les

j A-x = i,io5.

a34 • TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

termes k v qui n’ont pas franchi la valeur de la racine convergent vers elle, mais les termes qui l’ont franchie s’en éloignent encore par la continuation de la concentration. Dans ces deux exemples, le radical originel est réel; mais le même résultat aurait lieu s’il était imaginaire, en prenant pour quasi-valeur originelle 4 = -j A.

On peut observer maintenant que dans le premier de ces deux derniers exemples, la quasi-valeur

qui correspond à une racine réelle, a sa direction

Pi < », P , <! ^ »»

conforme à.celle de la même quasi-valeur dans les équations du troisième degré qui ont deux racines imaginaires, quand elle correspond à la racine réelle; mais dans le deuxième exemple, la même quasi-valeur

annonce une direction

qui est la même que celle qui a lieu quand les racines de l’équation- sont toutes réelles; en

DU CALCUL DES INEQUATIONS. s35

voici la raison : Dans la résolution des équations du troisième degré , l’équation indéterminée

x’+Px + Q = o ne contient que la seule inéquation

et quand ses deux racines sont imaginaires , il faut absolument que l’on ait

Mais dans ce cas-ci, lorsque l’équation indéterminée contient deux racines imaginaires, on n’a pas toujours pour cela

Q>Tpa;

on peut avoir

c’est le cas où le radical originel

v/Âr^TlF

est réel , alors on a

comme dans les équations où toutes les racines sont réelles, parce que c’est de cette inéquation que les quasi-valeurs originelles prennent leur direction; dans ce cas, les deux racines imaginaires de l’équation indéterminée ne proviennent pas de la relation des deux premiers coëfficiens P et Q, mais du troisième coefficient R. >

Au reste, je ne m’occuperai plus à déterminer les différentes relations qui font varier la direction des quasi-valeurs ; elles se multiplient à proportion que les équations sont à un degré plus élevé : il en résulte une complication qu’il est inutile de débrouiller. On voit que la résolution des équations ne dépend pas de la connaissance de la direction des quasivaleurs, lè résultat de la concentration l’apprend toujours. Le signe inégal || suffit pour les différentes opérations du calcul des inéquations, dont le but est de séparer les quasivaleurs des racines. La détermination des signes < ou > n’appartient qu’à la théorie : on peut parvenir à son but sans en déterminer aucun.

De la résolution des valeurs de x y ou deuxième méthode de solution simple.

l83. Il s’agit maintenant de résoudre l’équation indéterminée

ï5 + Pi' + Q* + R = o.

Il faut commencer par observer que dans la résolution en p, j’ai commencé par déterminer la quasi-valeur de P par la relation des deux premiers coëfficiens A et B; j’ai ensuite déterminé Q, puis R; enfin j’ai complété la quasi-

valeur de p par leur détermination , j’ai successivement employé les quatre équations auxiliaires , selon leur ordre , 1,2, 3 , 4* Je prends maintenant une direction opposée, et j’opère sur l’équation indéterminée, en partant de droite à gauche. Ces deux marches opposées ont été suivies dans le troisième degré, et elles le seront dans tous les autres.

J’ai d’abord

d’où • R >•— .

Pour avoir la quasi-valeur de Q, je prends d’abord

R = c — pQ-

don />-qP = --î

j’obtiens l’équation

puis avec l’inéquation pi < p, j’ai

TRAITÉÉtÉMEKTAIRE

’-iQ>±K40;-Q-

Je ne mets pas ici le double signe d’inéquation avec le double signe additionnel dt, parce que je réforme de nouveau le quarré pour faire disparaître le radical; il me reste C? D

d’où je tire enfin

Ce — D P*

En exprimant Q et R en fonctions de w, on aura par les mêmes opérations

Cx — D „ C Q < — » R<-;

J’ai donc, en fonctions') En fonctions de tr ï de 9,

Cw— D

< Cf»

J’ai ensuite

puis, avec l’équation indéterminée,

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 23g

j’obtiens

A' x% <i — x3 — Qx — R ,

puis

^ AV — x3 — R

et avec l’inéquation

j’ai

B'x< — x3 — AV — R,

puis

R < — ** — Ai” — B# , et avec l'inéquation

j’obtiens enfin l’inéquation du troisième degré en $ ,

l84. ïs + A' ï* + B' i + C' < o.

En opérant de même avec les quasi -valeurs en n, j’aurai

ic* -j- A j a?4 q* B, jc + Cf o.

J’observerai d’abord que la première de ces deux inéquations, qui est en 4> , est l’inéquation aux trois quasi - valeurs des trois plus petites racines de la proposée; chaque coefficient est plus petit que seraient ceux de l’équation à ces trois petites racines exactes. Par la même raison, la deuxième inéquation appartient aux trois plus grandes racines de la proposée , les coëfficiens surpassent en valeur ceux

qu’aurait l’équation aux trois plus grandes racines exactes.

Je traite ces deux inéquations comme deux équations , et je les résous comme ci-dessus , mais alors j’emploie le signe || .

l85. La première en 4> donne les deux inéquations

la deuxième en n donne

Ci „

X* + Il O ,

fl

La première de ces quatre inéquations correspond aux deux plus petites racines, comme on l’a déjà vu, de l’inéquation

æ3 ■+■ A' etc.

et par conséquent aux deux plus petites racines de la proposée. Je résous ces quatre inéquations, en donnant à leurs quasi-valeurs le rang qui leur convient dans le tableau suivant, qui présente l’ensemble des opérations qu’on a déjà faites.

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. a4*

(xi-4-A'x‘/ ■

L<hh*,-V 4* 1 -r—

|*.-IH*-*V i*,*-

f.-llin-V ?n;-

r*»— uin-i-v ;n;-

. ii.’ ;

l Æ*+n xh — '

On voit dans ce tableau que l’équation proposée est un tronc qui se ramifie d’abord en deuîç branches, la supérieure en $, l’inférieure en n. Cette dernière forme la branche des quasi- valeurs irréductibles, comme dans le troisième degré. En effet, en reprenant les deux inéquations en » et en n du troisième degré , qui ont, comme ces dernières, U dirèction • - •• ' • :> •• r->.-.

: . . .... >1 ■ (irtt. *1

Jf* + *X + — < O, .. .n - ,

oc* + n x -| — *-> o ,

|oV|oV |°1

a/Ja

les coëfficiens de la première étant inférieurs aux vraies valeurs auxquelles ils correspondent , sont contenus dans l’équation , et leur limite vers l’accroissement est d’être égaux aux valeurs exactes, ce qui a lieu dans les équations du troisième degré, lorsqu’il y a deux racines égales , et que <t> correspond à leur, somme. D’un autre côté, l'inéquation

x* + nx + — ,

TT

a ses quasi-valeurs imaginaires, tant que ses coëfficiens sont trop grands, et sont par conséquent hors de l’équation. La limite de cette qualité d’être imaginaires , est lorsque ces quasi-valeurs expriment exactement les deux racines, comme cela a encore lieu lorsque n exprime la somme de deux racines égales. C’est donc parce que les coëfficiens de l’inéquation en n sont hors de l’équation , qu’elles sont imaginaires et irréductibles.

La même chose a lieu pour le quatrième degré; les deux inéquations en * et eu n du troisième degré, ont le même rapport entre elles que ces deux-ci, les coëfficiens de la première, plus petits que les valeurs vraies, sont contenus dans l’équation, et les coëfficiens de la deuxième étant trop grands, sont en-dehors

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. n/|3

île toutes ses valeurs ; par conséquent la branche inférieure du tableau qui appartient à l’inéquation en n estime branche irréductible.

Quant à la branche réductible, on a vu que la petite quasi-valeur x, était la plus rapprochée de sa racine; il en est de même ici, et par la même raison. Ainsi je ne m’occuperai que de la première racine, ou plutôt des deux limites extrêmes, comme j’ai fait dans le troisième degré.

En les exprimant en fonctions des coëfficiens A' B' G' des deux inéquations du degré inférieur, j’aurai

' ‘ " "V A -+.JV/ A‘-3Bt J

Il /a

' Il * * V ' ' A — a\ZA-— 3B ^

Je ne ramènerai cette formule en valeurs des coëfficiens de la proposée, que dans le deuxième mode de solution, où les expressions sont plus simples. En exprimant seulement le premier terme A' et A,, en coëfficiens de la proposée, j’ai

On voit que l’expression des quasi-valeurs est composée, 1®. de la partie rationnelle £ A;

et on peut remarquer que pour le deuxième degré la partie rationnelle = j A, et pour le troisième = j A ; pour le degré suivant elle sera = -j- A, et ainsi de suite; 2°. d'un premier radical simple 3°. d'un radical composé

V A* — 3 B', que j’appelle radical double , parce qu’il contient une fonction du radical simple précédent, et que j’exprime généralement par V p pour la branche réductible, et Vf, pour la branche irréductible; 4°- du grand radical, qui est un radical triple , parce qu’il contient une fonction du radical double ŸJ ; je l’exprime généralement par Vr1 et Vj{n etc.

De sorte que la petite racine est contenue entre les deux limites

f>KA — 3V7

On peut remarquer que la limite extrême du cas irréductible, qui a la forme

** \ ll-KA + v^+v^+v/S')»'

a tous ses radicaux précédés du signe 4- , tandis que la même limite de a tous ses radicaux précédés du signe — . Si toutes les racines étaient positives, le coefficient A serait intrinsèquement négatif ; en faisant ressortir son

signe, on aurait la même quasi— valeur que pour x , mais elle serait positive.

Ce sont les différens signes dont les radicaux sont susceptibles, qui ont déterminé la ramification des racines, telle qu’on la voit sur le tableau.

On peut exprimer la marche des opérations à faire par le tableau suivant, qu’on peut considérer comme une formule successive.