En substituant ces deux limites dans les équations

on a la formule

f IA

\-iVr.

I 1 /Vr’+SD-3.iS,C[/ r'

Cette formule servira pour la résolution des équations à plusieurs variables. On voit qu’elle est formée d’une manière analogue aux for- . mules des degrés préce'dens. Sa partie rationnelle est —±A. Dans le troisième degré elle est = jA , et dans le deuxième elle est =-jA. Elle renferme ensuite trois différens radicaux , dont le deuxième est une fonction du premier, et le troisième une fonction des deux premiers. Ce sont les valeurs de ces radicaux qui déterminent l’inégalité des racines , et leur valeur est telle que non- seulement ils sont = o , quand toutes les racines sont égales , mais ils sont composés d’élémens qui sont tous séparément égaux à zéro.

Avant de développer ce qui concerne les racines imaginaires, il est nécessaire d’appliquer ce qu’on vient de dire à des exemples, et je me bornerai à la résolution de l’équation

Dü CALCUL DES I HÉQU ATI ONS. 369

/ dont les racines de différens signes sont : (jc— a)(.r — i)(x + a)(jr+ 3); j’ai d’abord

P,>‘ sr.... — > 3,07071= <3,07071.

Puis j’ai

SC = o ,

• ^D = 36oo.

La valeur de SA C étant = o , fait que c = y , d = <T, >

et les deux valeurs de V~t et V~f, sont les mêmes, et par la même raison z = z'.. Ainsi l’équation en z est simple , on a

On a ensuite pour les deux limites opposées de z, '

<k^*' — a*'* — ^—^=<i,ii2336.

Pour concentrer la limite supérieure ,

je fais k An-

J 31 • • • le A v

différence 0,2018.

Pour concentrer la quasi-valeur de z, = f , je fais ? = 1 , : 1 1 diffdrcnce 0 oo8g7 .

j ai.. *$ = 1,091033

je fais ensuite |= 1 1 ~ „

différence 0,02320.

J ai A|r= 1, 02328 j

Dans ce dernier cas j’ai pris une valeur tfop petite puisque la concentration augmente la valeur 1 , supposée à f , j’ai donc

mais on voit par les deux différences que la vraie valeur est plus près de i,t que de 1 de l’autre côté.

Je fais £ 1,07 j di£fdre ce 0)00q288.

La différence étant très-petite, je m’arrête là , et comme la concentration va en croissant , je dois faire

en appliquant cette valeur aux deux équations X — — (-sr-t-z),

j’ai i .

x, — — 2,00001 , xA= 3,00001.

On voit comment, par ce second mode de solution , on parvient à concentrer les deux

no CALCUL DES INÉQUATIONS. 37 1

quasi - valeurs extrêmes d’une équation qui n’est pas susceptible de concentration par le premier mode de solution.

199. Lorsque l’équation contient des racines Des ra. imaginaires , il faut distinguer d’abord deux'-”'*,^* cas, i°. lorsqu’il y a deux racines réelles;

2°. lorsque toutes les racines sont imaginaires, je considère d’abord le premier cas.

Il faut remarquer que quand les racines sont toutes réelles, tous les radicaux qui entrent dans les formules qu’on vient d’exposer doivent être réels, car elles n'expriment que les quasivaleurs réductibles de z et de z . Mais lorsqu’il y a deux racines imaginaires, alors il faut que quelques-uns de ces radicaux soient imaginaires; ils peuvent l’être tous les trois. Pour développer ces différens cas, je forme le tableau suivant delà ramification des quasi-valeurs de z et z' :

tr. î 1 k

fi-) > >•'

-etc.

Brandie. Réprtird.

«te./*1 nat/^-îi/f- : v/r). ... . .i. „*,.

I x1- etc. f*’ » (1 }/'* i .3.v*. . .X,.

Us li e : i/'r+iV'? + : vT). 4. . .à. . :xj.

Branche irréductible.

Branche irréductible.

j ,'.-etc f ». . Il ( i 1/ ïVF.+i i/»T) • ■ 4 • • f*..

U'. Il (iV'w- i l/f-yr). .3. . .4. . XJ.

f Il C ï l/'7 — f Vt, , + 4 V/SF) • • a • • > à V ‘ ^3- 1 U., IKîV r— tv^rrri

Ce tableau pre’sente la manière dont les quasi-valeurs réductibles de z et z s’appliquent

1 1 4 . , * itU ■ . i., T

aux valeurs (le x : en partant des deux extrémités de l’équation, elles prennent leur accroissement en sens contraire, et vont s’appliquer, celles de z , sur les trois premières racineè , et celles de z sud les trois dernières ; de sorte qu’elles sont superposées dans les racines intermédiaires. Il 11’y a dans les équations , dont les racines sont toutes réelles, que les deux quasivaleurs extrêmes et non superposées , dont on fait usage.

Supposons maintenant que seul soit imaginaire, alors ,1a paire de racines imaginaires ne peut appartenir qu’aux deux premières branches de z, savoir : àz, et z,. Ces deux quasi-

DU CALCUL DBS INÉQU ATTOWS. 2^3

valeurs ont leur partie réelle égale , ainsi que la partie imaginaire, mais avec un signe contraire. De sorte que les deux petites racines de l’équation sont imaginaires, et les deux autres réelles.

Si c était qui lût imaginaire, la paire de racines imaginaires appartiendrait aux deux quasi -valeurs de */ et par la même raison , alors les deux petites racines de l’équation seraient réelles, et les deux grandes imaginaires.

Enfin si les deux grands radicaux étaient imaginaires , les quatre racines de l’équation seraient imaginaires.

Maintenant supposons \/}' imagiuaire , le dernier radical Vr, qui est une fonction de ce radical , serait un radical imaginaire composé. Il faudrait le décomposer par la formule

v/- a±\/-b=\/~ ^iV/^T±v'^-rv/a>+r;

dans laquelle le premier radical est nécessairement réel, et le second un radical imaginaire simple. Alors si ce radical est du même si<me que v/f\ ce qui a lieu quand racine Vit est de la forme

la première branche appartient à une des deux racines imaginaires , et la deuxième racin#

imaginaire appartient à la troisième branche , parce que , dans cette branche , ne diffère de ŸR que parce qu’il contient le radical Kp' avec un signe contraire à celui qu’il a dans ; il suit de là que yR' est de la forme

et par conséquent sa partie réelle est négative , et sa partie imaginaire positive ; il en résulte une deuxième quasi - valeur qui a sa partie réelle égale à celle de la première branche , et tous ses radicaux imaginaires positifs , tandis que ceux de la première branche sont tous négatifs. Ces deux branches forment donc la branche de racines imaginaires ; c’est-à-dire que l’équation a ses deux premières racines imaginaires.

Si le radical yR. était de la forme V a — V — b ,

le radical imaginaire simple, qui en ressortirait par sa décomposition , se trouverait positif dans la première branche , et par conséquent d’un signe contraire à V~î' * Ce n’est que dans la deuxième branche que les deux radicaux imaginaires sont négatifs , elle appartient donc à l’une des deux racines imaginaires , et c’est la quatrième branche qui forme

la deuxième , parce que Kr' étant alors de la forme

le radical imaginaire simple que sa décomposition fournit est positif comme , et' cette branche a tout ce qui convient pour faire une paire d’imaginaires avec la deuxième. Dans ce cas la première et la dernière racine de l’équation sont réelles, et les deux intermédiaires sont imaginaires. Je suppose ici que les radicaux de la branche z' sont réels. Si le dernier radical V^R, était imaginaire , alors toutes les racines de l’équation seraient imaginaires.

Ce que je viens de dire , relativement à la branche des quasi -valeurs de z , s’applique également à la branche des quasi-valeurs de z'.

On peüt remarquer ici que quand le radical vy et même les deux radicaux et sont imaginaires , il suit de là que l’équation proposée a deux racines réelles et deux imaginaires. La double expression de ces deux , radicaux

r* «SD ± 3 . 4 iS^C V r

contenue dans le radical , est la même que celle de d et J , à l’exception que le double signe =p est pris dans un sens contraire , si

ce radical est imaginaire pour la première de ces deux valeurs, il s’ensuit que <T, qui est le dernier de l’équation en z , est négatif ; or toute équation du quatrième degré , dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles , par conséquent la proposée a deux racines réelles ( on suppose Ÿ~r réelle). Si les deux radicaux Vp et yJ, étaient négatifs, d et <T le seraient aussi, et par conséquent, dans ce cas , la proposée aurait encore deux racines réelles et deux imaginaires ; mais dans ce cas ce serait nécessairement les deux racines intermédiaires qui seraient imaginaires.

201. Je viens maintenant au cas où est imaginaire , alors toutes les quasi-valeurs de l’équation sont affectées de quantités imaginaires. V? et V'Tr sont des radicaux imaginaires composés doubles , et les grands radicaux , etc. sont des radicaux imaginaires triples. Avec tout cela la proposée peut n’avoir que deux racines imaginaires. Pour débrouiller ce chaos , je commence par décomposer d’abord Ÿp' par la formule ci-dessus de

\/ a ± \/ — b =± , etc. (1 36) ;

en substituant leurs valeurs dans les grands radicaux de la ramification de z , ils ne sont plus que des radicaux imaginaires doubles :

je les décomposé ensuite de la même manière pour en faire des radicaux imaginaires simples; cela posé je suppose que Ÿ~t' et V'r de la première branche soient tous deux de la forme

cette branche appartiendra à une racine imaginaire ; car on aura d’abord une quasi-valeur de la forme

z, |I j V r — m — V — n — ni — V — n , qui étant appliquée à x donne

x, ]| ^A — m — m'— (xl/r+l/ — m+V — n').

Je puis conclure de là immédiatement qu’il y a une autre racine de la forme

xa || jA— m — m' + (^r+ V — m + V — /z');

mais il est aisé de la trouver : elle ne peut se trouver que dans la ramification de z', parce que les quasi-valeurs originelles « et <p appartiennent à la paire de racines imaginaires ; or elles se trouvent précisément dans la première branche de z , car ne diffère de Ÿ~t que parce qu’il contient le radicalv/ — r avec un signe contraire , il est donc de la forme

par la même raison VÜ, ne diffère de que parce qu’il contient le radical 1 avec un signe

Zj8 TRAITÉ ÉLÉMEIfT AIRE

contraire, il est donc aussi de la forme \/ a — V — b ,

on aura donc z' de la forme

2, [j j V r — m -f- V — n — m' + V — nT , etpar conséquent on aura pour jrladeuxième racine imaginaire telle qu’on vient de l’exprimer.

Il faut remarquer qu’aucune des autres branches ne pourrait y satisfaire. Si l/? et V'R

étaient de la forme y/ a — V — b, la première racine imaginaire ne pourrait appartenir qu’à la quatrième branche de z, pour avoir une expression de la même forme que la précédente ; et celle qui lui correspond dans la branche de z est aussi la quatrième.

Si V? était de la forme V a+ V—b,e t \/R

de la forme \/ a — V — b , ce serait la deuxième branche de z et de z qui formerait la paire de racines imaginaires. Enfin, si Vj était de la forme >/ a — V — b » et y/ R de la forme y/a-j- V — £> ce serait la troisième branche de z et de z qui la formerait.

Quand on a obtenu la paire de quasi-valeurs imaginaires , on en forme une inéquation du deuxième degré , qui a la forme

h * exprime la quantité qui constitue la partie

nu CALCUL DES INÉQUATIONS. 279

imaginaire des deux racines. Il est aisé, d’après cela, d’obtenir une autre inéquation du deuxième degré , et qui appartienne aux deux autres racines de l’équation. Je me borne ici à indiquer ces différentes opérations, qui exigent un calcul assez long, et qu’il ne faut jamais employer dans la résolution pratique.

Quand V~r est imaginaire, la véritable quasivaleur originelle de l’équation est p || 4 ou p || ^ A. Il faut concentrer cette quasi-valeur; si l’équation contient deux racines réelles, on aboutira à une série convergente qu’on reconnaîtra aisément, et on parviendra à la valeur des racines réelles.

Par le calcul des inéquations , on parvient à décomposer les équations du quatrième degré en deux facteurs du deuxième, les équations du cinquième degré en un facteurdu deuxième et un du troisième, etc. comme on le verra ci-après. C’est dans ce mode de solution qu’on parvient , par un calcul très-simple , à décomposer en facteurs réels du deuxième degré, les équations d’un degré pair, qui ne contiennent que des racines imaginaires.

Je finirai cet article par l’application de ce que l’on vient de dire sur les racines imaginaires à un exemple ; je choisis l’exemple quatre ci-dessus ( 190) :

xi 4- 8 x3 -H 25 x' + 3a x 4- 16 = o,

dans lequel la première el la dernière racine sont réelles, et les deux intermédiaires imaginaires. J’ai d’abord

<p = 3,22451a SAC = — 64 S 1) = — 1024

Vit — 0,90775.

La quasi-valeur de étant imaginaire, je prends dans la formule (197) la quasi-valeur de z x , ou la quasi-valeur de la limite inférieure. Je trouve que tous les radicaux sont réels, et j’ai pour résultat

Il — 1,10913.

Pour concentrer cette quasi-valeur, comme la série de concentration sera alternative, à cause que cette quasi-valeur est négative, j’emploie la concentration de compensation.

le fais. f =

r»i...*f = kr~ kp — kn"=

— o,765hJ t(