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DU CALCUL DES INÉQUATIONS. a8l
En prenant la dernière quasi-valeur de cette suite ia" , et la substituant dans
Jai
et la racine est x = — 4-
On voit par cet exemple, qui a déjà été' traité, qu’on peut se dispenser d’entrer dans le calcul des quantités imaginaires, lorsqu’il y a des racines réelles dans l’équation. Cependant si les deux radicaux / /et \/ j>, étaient tous deux imaginaires, il faudrait bien calculer ces espèces de racines. Voilà pourquoi je vais m’occuper de la valeur de z,.
202. En réduisant les différentes valeurs en nombre, et faisant disparaître le radical imaginaire du dénominateur, ce à quoi l’on parvient en multipliant le numérateur et le dénominateur par
j’ai d’abord, par la formule (197),
or le grand radical étant de la forme
aura sa partie imaginaire d’un signe contraire ^ j la première racine imaginaire n’appar-
tient donc pas à la première branche, c. est donc i/R7 qu’il faut prendre , dans lequel le radical intérieur est positif ; en le décomposant j’ai
*4||o,8i634 + 1/0,466335-^ —0,45265— t/— 0,396335 ; enfin
et
Z, Il 1,49922 -f 1,3023 y/ — I.
'Pour avoir les deux autres racines, en supposant que je n’aie pas d’autre moyen de les avoir, ou en supposant que V f' est aussi imaginaire , je recompose ces deux équations , et j’ai
Cette équation est de la forme
z* -P 2 ni z 4- m% + «* = o ; je forme l’autre de cette manière :
z*+ça 2m)z + ——,
qui devient
z* + 1,8996 z + 0,442, qui donnent les deux quasi-valeurs réelles
z, || o,5o63 *4 II ,’39,7-
J’ai maintenant deux limites pour z,, savoir,
mi CALCUL DES INÉQÜÀTIONS. 285
la partie réelle de la première branche , qui donne
*. Il o,i33 ;
comme elle est plus petite que la première, je les compense d’abord , j’ai •
z || , 0,33g ; et en concentrant, j’ai
La concentration est décroissante en joignant le dernier terme à«;ona
x = — i,ooo58a , pour x=e= — r.
On aurait pu s’assurer que la première racine est réelle , en concentrant i« = o; on a
k A-sr = — = 0,l85 1.
k" A tr = 0,3254-
En réunissant cette dernière à -a-, on a x — — 0,99997.
On a ici une valeur trop petite pour xy parce que la concentration est croissante. La partie
réelle de z, — ± V r est encore une limite qui conduit à la valeur.
Lorsque l/ r est imaginaire , si l’on voulait prendre le chemin le plus long pour trouver , i les racines réelles de l’équation , il faudrait suivre la marche que l’on vient d’indiquer, en décomposant successivement vV et on
formerait ensuite deux équations du deuxième degré, dont on concentrerait les quasi-valeurs, et qui pourraient toujours se concentrer quand il y a des racines réelles.
En suivant cette marche on ne peut résoudre l’équation qu’en la recomposant en facteurs du deuxième degré. Le calcul des inéquations, en les décomposant de cette manière immédiatement, dispense de tout ce travail. Ainsi la décomposition en facteurs du deuxième degré, appartient aux équations dont les racines sont imaginaires. Le calcul des inéquations parvient toujours à les décomposer en facteurs réels, comme on le verra. Je passe maintenant au cinquième degré.
