P<Ka+ V A“— £B).... = <n

p,> j(A-4\/ÂsF) ...=>

P> y(A — y/ A»— iB).

p^< t(A •+■ 4 V — IB) =

Pour compléter maintenant les quasi -valeurs de <sr et de <p , je compare l’équation Q = B — Pp avec l’inéquation

Q || B — TTrr,

Dü C A L C ü Ii DES INÉQUATIONS. 287 en substituant les valeurs Q II rr [2$ B — 4(A + )/ r) (A — 4 ^ r)]

Q II A C A + Vr)-,

d’où j’arrive à

et par conséquent

On pourrait conclure la même chose par le raisonnement qu’on a fait ci-dessus (61). En vertu du même raisonnement, on a Q> B <K(p,

quand *>9-

J’appelle K cette quasi-valeur de Q ; et en comparant l’équation

R = C — Qp

avec l’expression C — K®, j’aurai par le même raisonnement

d’où je conclurai d’après l’équation (4),

Enfin l’équation auxiliaire (5) , E = Sp,me

donnera, en substituant la valeur de K,

Cette quasi-valeur complète sert de formule

288 TRAITÉ ÉLÉMESTAIRE

de concentration; il faut remarquer encore que pour obtenir cette quasi-valeur complète, j’ai opéré sur l’équation en allant de gauche à droite.

On aura aussi pour la quasi-valeur complète de ( p , quand * > <p ,

et en mettant à la place de ri et <x> leur valeur, on a

Ps<

On voit clairement quelle est la loi pour tous les autres degrés.

Quant à la concentration , la théorie développée dans le troisième et le quatrième degré s’étend à tous les suivans ; et quand «■ appartient à une racine réelle , on a la série de concentration

& <Z.&r ‘ etc.;

p. p. Pt P.

dont tous les signes changent de direction, et qui se convertit en une série de concentration opposée, lorsque l’on donne à une valeur

qui dépasse la première racine et qui n’atteint pas la seconde, quand la première racine est réelle.

Il en est de même pour <p, pourvu que il en est de même encore pour la troisième racine; et en général, comme on l’a déjà vu, toutes les racines impaires d’une équation sont susceptibles d’une double concentration opposée, pourvu que les racin'és soient toutes du même signe , et pourvu que la somme de toutes les autres racines soit plus grande que celle que l’on concentre, ce qui n’a lieu, sans exception , que pour la première quasi-valeur v.

De la résolution clés valeurs de x , ou deuxième méthode de solution simple.

207. Pour y parvenir il faut commencer par déterminer les quasi-valeurs de P, Q , R , S , de l’équation indéterminée; dans ce cas, je commence par l’autre extrémité de l’équation , et je ne m’occupe que des quasi-valeurs en 9.

D’abord

, E de p — - et de p < <p , !

j’ai la quasi-valeur

ago TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

j’ai par la même raison

puis

is de

ai

S = D — Rp,

Dp E

d’où j’ai

puis

avec

j’ai l’inéquation

En élevant au quarré pour faire disparaître le radical, j’ai, tout calcul fait, la quasi-valeur

j’aurais eu de même

Pour avoir la quasi- valeur de Q, on prend

nu CALCUL DES INÉQUATIONS. 3ÇI

d’abord la valeur de p avec les deux valeurs

R = c — Qp,

comme on vient de le faire; puis avec l’inéquation jd < <p, on obtient d’abord l'inéquation

S<Qp* — Cp + D;

puis avec l'inéquation contraire

on a enfin

QV

. on aurait de même

C sr1 — Dt-f E

Avec ces quasi-valeurs je forme deux inéquations du quatrième degré, l’une en <p, l’autre en -u ; je décompose ensuite chacune de ces deux en deux autres du troisième degré, purs chacune de celles-ci en deux du deuxième, par la ramification suivante :

,>+av£+a"’*+b";-

*3+ A nX*

t** “I" A in x + B/?/*

Et le tableau suivant présente la marche des opérations à suivre pour déterminer les coëfficiens de ces différentes équations.

^V-V/TT.^V^a" i(A+3v^:=*' ^'-D'

^(A— v/n =*"=• A"' ^(A+aV/'^— c" -»

ij

*ol

Puis

enfin

oui(A"'-/ A'"* — 4 B'").

On voit manifestement la loi de la suite des

opérations à faire; j’ai employé la notation Vr\ , V r\ , V r . ,

pour marquer à quel degré appartient chaque radical , et la virgule désigne qu’il appartient à la branche réductible.

A l’aide de ce tableau on a la formule suivante

1-iV/Â^FU : =-U/^J

J ire colonne. 1

=— ii/n

Cette deuxième formule présente , en raccourci , le tableau des différentes opérations qu’on effectue dans la première, de sorte que ces deux formules n’en font qu’une.

On voit que dans cette dernière, la première colonne contient la partie rationnelle } A , avec la suite des radicaux originels des inéquations successivement abaissées, jusqu’à celle du deuxième degré. Les colonnes intermédiaires déterminent seulement les valeurs de A', A", etc.; les valeurs de B', B", etc. sont prises dans le tableau précédent ou dans la première partie de cette double formule. On voit comment

elles 60nt fonctions des diflférens coëfficièns de’ la proposée.

Cette formule est telle, qu’elle sert en même temps pour les degrés inférieurs. La dernière colonne toute seule exprime la formule de la résolution des équations du deuxième degré ; la quatrième et la cinquième expriment la formule de solution pour les équations du troisième degré-, et ainsi de Suite.

Il s’agit de confirmer cette formule par un exemple ; je prends l’équation

x5 -f- 15 x* 4- 85 x'^-f 325 x* + 27.4 x + 120 = 0, dont les facteurs sont

î’ai

If’— 2,4806

Enfin

Èn concentrant une seule fois cette quasivaleur, je fais

k X — CQI20.

Je fie m'étendrai pas davantage; on voit que les résultats sont absolument les mêmes que

JDU CALCUL DES INEQUATIONS. ÎSgf5

ceux des autres degrés, ou, par conséquent , que cette méthode s’applique aux équations de tous les degrés. Dans ce premier mode , la concentration ne peut s’effectuer que quand les racines sont toutes du même signe : le deuxième mode de solution leur donne, comme on l’a vu , cette propriété.

DEUXIÈME SECTION

Deuxième mode de solution, ou mode de solution double.