CHAPITRE VI

De la résolution des équations du degré n.

21 4. D’après les loix que suivent les fonctions de coè'fficiens , dans les différentes formules qu’on a développées , on voit que l’on peut parvenir à des formules générales qui conviennent à un degré quelconque N. Pour cela je prends la formule du binôme (x + a)n. En faisant = o , le développement de cette formule , on a l’équation générale aux racines toutes égales , qu’on peut appeler l’équation de niveau. On a déjà vu comment les diffé-

OOO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

rentes relations de coëfficiens se rapportaient à ce niveau ; je le compare donc avec l’équation générale du degré n , j’ai donc

xn +naxn~'-h x* -f- Axn~l

— nr-’*—

-f B**- * j’ai d’abord

A = ma, B — a* .

en faisant disparaître a, équation :

j’ai cette première

Cette première relation suffit pour développer la formule générale des quasi-valeurs de x , dans le premier mode de solution , car on a d’abord

<P = -(A + (rc —

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DU CALCUL UES INEQUATIONS. 3oi On a ensuite pour Ja quasi-valeur complète de p et pour la formule générale de concentration :

217. Maintenant pour avoir la valeur de x, le tableau ci-joint développe la marche des opérations à faire. La partie n°. 1 développe la ramification de l’équation , et son abaissement jusqu’au deuxième degré ; la partie n°. 2 exprime la marche des opérations pour déterminer les coèfficiens A', B', etc., M", B", etc. des coèfficiens des différentes équations abaissées ; enfin la partie n°. 3 est le tableau en raccourci de ces mêmes opérations. Pour démontrer cette dernière formule il suffit de remarquer que d’après le n°. a , Pon a

d’où

puis

3oa

d’où

et ainsi de suite. En employant cette dernière formule , on détermine les valeurs de B' , B" , etc.

2 l8. Je passe maintenant au mode de solution double, pour former la double équation générale en z , je compare encore l’équation proposée avec l’équatiou générale aux, racines égales , ■

x" + nax n~' 4- , etc. = o,

et je prends successivement les relations de A avec les autres coëfficiens , comme j’ai fait; pour B, avec les équations

A = na et C

je fais disparaître a , et j’ai 2,3/z1 C

n 1 1 • Tt ' 2

En opérant ainsi de même pour tous les autres, j'ai cette suite de relations :

1)U CALCUL DES INÉQUATIONS.

. . . .n — n.nn~3

—2 n — (re — 2)