P II 3599S

Comme j’ignore si elle est trop grande ou, trop petite , je la concentre et de k v = 2,9938 j’ai A'»- = 2,9971 j’ai donc

Je ne prendrai pas la valeur moyenne entré ces deux limites, car le pas de concentration de la limite supérieure, ou sa différence avec le nombre supposée

k'-* kzr =z 0,00l3,

est beaucoup plus petite que le pas de concentration de la deuxième limite, qui provient de la supposition de

kv = 3,i ,

et dont le pas

différence o,ooi3,

3î6 TRAITÉ ÉLÉMENT A I R K

Je conclus de-là que la première limite est beaucoup plus rapprochée de la valeur dç p ; pour la concentrer je complète la troisième décimale, les deux premières étant les mêmes que dans la quantité supposée ; mais en la complétant , sa limite serait = 3 , et comme je sais que c’est la valeur vraie , je la dépasse , et

je fais k *■ = 3,ooi d’où kv = 2,006,

d’où k' »• = 3,0007; d’où j’ai

» Comme la deuxième limite est à présent la plus rapprochée , je complète en décroissement la dernière décimale 7 , j aurais encore la valeur 3 , je la dépasse et je fais

* *■ = 2 >9999 hv—\ ,99994 ,

d’où

je complète alors la première de ces deux limites et je fais

k <* =r 3,oooi kv — 2,00006 ,

d’où

dont la valeur moyenne est p || 3,ooooo5 ;

en faisant un nouveau pas de concentration , j’aurais

p (| 3,oooooo5 , et ainsi de suite.

J’ai concentré les deux limites comme si la valeur à laquelle on doit aboutir était incommensurable. On peut remarquer que quand les valeurs que L’on cherche par la concentration sont commensu râbles , les décimales exactes des deux limites opposées sont exprimées par des 9 dans la limite inférieure à la valeur, et par des zéro dans la limite qui lui est supérieure.

Mais quand la valeur à laquelle on doit aboutir est incommensurable , les décimales exactes sont identiques dans les deux limites opposées.

236. Les pas de concentration étant d’autant plus petits que la limite est plus rapprochée de sa valeur vraie , on peut considérer qu’ils sont proportionnels à cette distance , quoique ce rapport ne soit pas bien exact, il aide à accélérer la concentration. Je suppose, par exemple , que j’aie les deux limites opposées

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRK

et que le pas de concentration de la première ne soit que le quart de celui de la deuxième » comme l’intervalle qui les sépare = o,ooo5 ,

j’augmenterai dans ma nouvelle supposition la première limite de 0,0001 , ou je diminuerai la deuxième de 0,0004 , et je ferai

kir — 1,4353.

En opérant ainsi successivement , je pourrai acquérir une décimale exacte h chaque opération , et il n’en faudra jamais plus de deux. C’est par ce moyen qu’on peut concentrer les quasi- valeurs , lorsque la concentration directe , ou sans supposition est trop lente.

On voit qu’en concentrant seulement ■a- on acquiert la valeur concentrée de n. Si l’on veut avoir la quasi-valeur Y de Q , il faut la prendre d’après la formule

Dans l’exemple ci-dessus on obtient exactement

Q = aa,

au lieu que si on la prend en divisant le dernier terme D par la quasi- valeur concentrée

PU CALCUL DES INEQUATIONS. 3at> kv , on obtient une valeur moins exacte , on fait rétrograder d’un pas la concentration ; car alors on a Y par la formule

a37. Par ce moyen on peut donc de'composer une équation du quatrième degré en deux facteurs du deuxième avec des coëfficiens aussi exacts qu’on veut les avoir. Mais cette décomposition ne peut se faire que par la séparation de combinaison des deux plus petites racines d’avec celle des deux plus grandes, comme je l’ai dit , et comme on peut le voir par cet exemple , dans lequel la seconde combinaison de racines est

qui donne p = 5 ; je fais d’abord

,sr 4,9 v — = 3)84 »

A zr = 4,4 ;

où l’on voit que la concentration éloigne de la valeur p = 5 et rapproche dep = 3. Je dépasse maintenant la valeur dep, pour cette deuxième combinaison , et je fais

On voit que dans ce deuxième cas j’éloigne encore de p = 5. Ainsi l’on voit que la deuxième

33o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

combinaison de racines est inconcentrable , comme la deuxième racine dans la décomposition simple et par le même principe.

Je ne m’occuperai pas de la troisième combinaison de racines ni des suivantes, parce que n , variant par rapport à w , est tantôt plus grand et tantôt plus petit , selon le rapport des racines entr’elles. 11 en résulte une complication pour les différens cas, dans laquelle il est inutile de s’embarrasser.

Il suffit de savoir que les formules ci dessus donnent des quasi-valeurs qui appartiennent, pourjj et q , à la paire des deux plus petites racines ; et pour P et Q à la combinaison des deux plus grandes ; et de savoir que ces mêmes formules servent à la concentration de ces quasivaleurs.

258. J’ai supposé que toutes les racines étaient du même signe , et ce n’est que dans ce cas que le calcul des inéquations peut résoudre les équations soit en facteurs' simples, soit en facteurs composés. Mais si les racines étaient en parties négatives et positives , il serait facile de ramener l’équation à avoir toutes ses racines du même signe. Il faudrait , pour cela , prendre la quasi- valeur originelle de la première racine , d’après le mode de décomposition simple , d’après laquelle on a

DU CALCUT. DES INÉQUATIONS. 33l

•P.>i(A — 3\/a* — -|B = >»r; puis en faisant

et en substituant cette valeur à la place de x dans la proposée , on aura l’équation en z t dont toutes les racines sout positives, et qu’on pourra alors décomposer en deux facteurs du deuxième degré ; alors il sera facile d’avoir les valeu rs des coëfficiens des facteurs du deuxième degré en x , comme on le verra par les exemples qui suivront.

Dans l’exemple qu’on vient de résoudre , toutes les racines étaient réelles. Il s’agit de voir maintenant comment il fautprocéder dans la résolution des équations qui contiennent des racines imaginaires.