Il faut d’abord distinguer deux sortes De8raci

d, , . . . . 0 nés imagi-

équations, dont les racines sont imaginaires; «aires, la première sorte appartient à celles qui donnent , pour n et », des quasi-valeurs toutes réelles , ce qui a lieu toutes les fois que le radical originel

est réel ; la deuxième sorte renferme les équations dans lesquelles ce radical est imaginaire.

• Je vais m’occuper d’abord de la première

33a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

sorte; il faut alors distinguer deux cas, i°. lorsque toutes les racines son t imaginaires ; 20. lorsqu’il y en a deux de réelles et deux d’imaginaires.

D’abord lorsque toutes les racines sont imaginaires , les formules de solution décomposent l’équation en ses deux facteurs réels. En effet les racines imaginaires , comme on l’a déjà vu, ne peuvent se trouver que par paires de deux racines , dont la partie réelle est égale, et dont la partie imaginaire ne diffère que par le signe dans les deux. De sorte que l’équation peut être considérée composée de cette manière :

les deux quantités / et g exprimant la partie imaginaire dans les deux paires de racines. Cela posé , puisque les formules décomposent l’équation en deux paires de racines, dont la première contient les deux plus petites , et I4 seconde les deux plus grandes , il est nécessaire que les coëfficiens -a- et v appartiennent à la première paire de racines imaginaires , et n et V à la seconde ; donc les formules de décomposition ne dépareillent pas les racines imaginaires de l’équation; donc les facteurs que l’on obtient doivent être réels j

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 333 donc les quasi-valeurs des coëfficiens peuvent se concentrer. Il faut remarquer que les facteurs ne peuvent être imaginaires qu’autant qu’ils contiennent deux racines dépareillées. Ainsi les facteurs contenant les racines appareillées seront :

Ie ...(x-fa-f-v/ — -V — /)=**+ sax-J- a*

et en les dépareillant de cette manière : ïer... (ar+a-f-V7 — ■/ ) (# + ù — V' — g-), 2”.... (x + a — V — .f)(x+b + V — g ), chaque produit binaire ne pourrait plus donner un résultat dégagé de quantités imaginaires.

Je prends, pour exemple, l’équation a?4 + 7 a:3 + + i6jt + 10 = 0,

qui a pour facteurs

(æ“ + Æ-{-i)(a;*+6ar+io) = o, j’ai d’abord pour les formules

=i,3oo6 ^=:i,2o65. Différences.

d’où . . . . v o,a56.

fc 'a— 1,0666 kp— i,oa85.

À-'»— 1,00998. . » .kp= 1,004.

$34 TRAITÉ tLEMEWTA TRfi

J’ai fait ces trois premiers pas de concentration directement ; c’est-à-dire sans faire aucune supposition de valeurs , et toujours d’après la valeur trouvée. On voit ici d’abord que la concentration est assez rapide , en second lieu les différences des pas de concentration font voir qu’elle est convergente.

On peut voir de plus que l’on s'approche de la valeur par une suite de décroissemens, tandis que l’on s’en approche par une suite d’accroissemens quand les racines sont réelles, c’est ce qui distingue les facteurs de racines réelles de ceux qui sont une combinaison de deux racines imaginaires.

Maintenant , au lieu de continuer la concen* tration de

je complète les décimales et je franchis, à des- sein , la valeur vraie qui est = 1 , en faisant

Ainsi , dans ce cas , la série de concentration a lieu dans une direction opposée quand on a franchi la valeur , comme dans les équations dont les racines sont réelles ; j’ai donc

T>U CALCUL DUS INEQUATIONS. 335 quasi-valeur moyenne

P If °> 99994-

En prenant les quasi-valeurs deAvet A V, l’équation se trouve décomposée en ces deux facteurs :

24o. Je viens maintenant au cas où l’équation contient deux racines réelles et deux iuia-

ginaires. Ce cas en renferme deux autres , le premier est lorsque les deux racines réelles forment ou la première OU la dernière combinaison des racines, ou lorsque la paire de racines imaginaires appartient à l’un des deux facteurs que donnent les formules ci-dessus. Ce cas ne souffre pas plus de difficulté que le précédent , parce que les deux facteurs sont réels. Je prends, pour exemple, l’équation

dont les facteurs sont

(x%-hx + 1 ) (** + 6æ + 9),;

et qui contient deux racines imaginaires et deux racines égales ; je concentre d’abord se» quasi-valeurs directement, et j’ai

= l,oor4 k“p = 1,00068.

k'"™ = i,ooo55.

Si je complète maintenant la première décimale qui n’est pas exacte , et si en dépassant la valeur

je fais A- ^ = 0,999 kp == 0,9995 ,

j’ai k' = 0,99981 ,

où l’on voit que la concentration fait remonter vers la valeur vraie qu’on avait dépassée.

La concentration, comme dans le cas précédent , converge vers la valeur en sens contraire de celui qui a lieu quand les racines sont toutes réelles. Ce n’est pas à dire pour cela que l’on doive avoir dans tous les cas où les facteurs sont des paires de racines imaginaires

mais on converge toujours en deux sens opposés vers la valeur , comme dans l'exemple suivant :

Soit l’équation

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 33j

dont les facteurs sont

(jr* + *+ i)(** + 6 X q- 8 ) = o ,

on a

p >Ax= >0,9834..... q >£*>=> 0,99.