J3> AV
Je fais à présent , pour dépasser la valeur ,
Aw=l,ooi j’ai v— i,ooo5,
d’où AV = i,ooo5.
Puisque la concentration diminue, la valeur de A», je conclus que j’ai
p < h V = <C 1 ,ooo5 ,
et que , par conséquent, la concentration converge vers la valeur dans un sens opposé ; 4’ où j’ai
p < 1 ,ooo5.
24 1. le viens maintenant au cas où les deux racines imaginaires sont les deux racines moyennes de l’équation, ou lorsque les deux racines réelles sont la première et la dernière de l’équation ; par ce qui précède on voit que les formules ci-dessus décomposent toujours l’équation en deux facteurs, dont le premier contient les deux plus petites ou les deux pre-
aa
338 TR AITll ^LjÉMENTAIRK
mières racines de l’équation, et le deuxième, les deux plus grandes. Il s’ensuit que , dans ce cas, chaque facteur doit contenir une racine réelle avec l’une des deux de la paire de racines imaginaires ; on ne peut donc obtenir leur valeur qu’en expressions imaginaires ; c’est-à-dire qu’on ne peut pas y parvenir, parce que la concentration ne peut conduire qu’aux valeurs exactes des quantités réelles.
Dans ce cas on peut avoir recours à la décomposition de l’équation en facteurs simples; la première racine est alors réelle, et on obtient facilement sa valeur par la concentration. ( Il faut observer que les deux racines extrêmes ne peuvent pas former la paire de racines imaginaires, puisque leur partie rationnelle est la même. )
Néanmoins on peut encore, par la seule décomposition en facteurs doubles et indépendamment de l’autre méthode, parvenir à dé- , composer les équations de cette espèce , et à concentrer les deux facteurs doubles réels.
. On a vu que lorsque lesdéux premières racines étaient de même espèce ou toutes deux réelles ou .toutes deux imaginaires , on aboutissait aux valeurs vraies des deux coè'fficiens par deux directions opposées , d’où l’on a conclu * que l’on s’éloignait par la concentration de la
bU CALCUL DES INÉQUATIONS. 33g
■deuxième combinaison de racines en aboutissant toujours à la première ; mais lorsque la première combinaison ou lorsque la paire des deux plus petites racines est composée d’une réelle et d’une imaginaire , alors on franchit par la concentration les valeurs des coëfficiens de cette première paire > et, l’on aboutit; à la deuxième qui est composée de deux racines imaginaires, et dont tous les. coëfficiens soijit par conséquent reels. ,1
Mais , pour y parvenir il faut faire l’incont nue x =y + une autre quantité assez grande pour que les plus petites quasi- valeurs, des parties réelles surpassent la partie imaginaire de 1 équation , qui reste toujours la même dans ce changement. Ceci via s’éclaircib'par des eXëmplpà.
Soit l’équation
ar4 + 8 x3 + a3 +;3a x + 16 = o , dont les facteurs sont .? ■ : N. t - ; n
(* + O (<*•*■ 3‘*H-'4)(* + 4) — cf,
fai
ky'l> =
3,ao3.i,
Se
34iO TRAITÉ ÉtÉMEStAltlÈ
On voit d’abord dans Cet exertiple que la -quasi-valeur originelle •* a dépassé la valeur de la partie réelle des deux plus petites racines, qui est i , pour la racine réelle , et i pour la partie réelle de l’autre racine '1,5 ; la concentration fait également franchir la -paire des deux: racines imaginaires , ensuite où Obtient' des quasi-Valeurs divergentes qui J n’ont aucune loi j et qui dépendent de la partie imaginaire qui est une quantité pürément additionnelle ajoutée au quarré d’un binôme, i- Mais , maintenant , si je fais * '== y H* 4» j’aurai l’équation
yi jl. ys ■+■ si5ym + 856 y + 1 280 = o
-dont les facteurs sont s. . • . >
Différences de A»v
k w5=IO, 63*22 •
, • sfr r
V ir= 10,6794.
. . .iV— 29,8481.
k"'w= io,7a3a.
nü CALCUL - DES I If ÉQ TJ ATIO HS. 34l
On peut observer d’abord que la quasi-valeur de v dépasse , comme dans le premier cas , la valeur de la partie rationnelle de la première paire de racines. Ensuite, en remarquant les différens pas de concentration ou les différences de h x, on voit d’abord que la deuxième différence est plus grande que la première , parce que la concentration va en s’éloignant de la valeur de la première paire , puis ces différences vont en décroissant , parce que la concentration se rapproche de la deuxième paire de racines, il en résulte une série de concentration, dont la limite est la valeur de cette deuxième paire. Il est aisé d’accélérer sa marche par les mêmes moyens qu’on a employés ci-dessus, et on verra que la concentration aboutit vers la deuxième paire de racines qui est = 1 1 par deux directions opposées ; car si je fais *
k v = io,g A-p = 3i,3o5g,
j’ai k' ir = io,ga35 ;
et si, en dépassant la valeur, je fais
lc-r= n,i kv— 3fl,75i42 ,
j’ai k'ir-=. i i,o5i5.
Cette dernière quasi-valeur se rapproche de la vraie valeur 1 1 dans une direction contraire à la première. On peut donc résoudre ces
