TRAITÉ É1ÉMIÏÎTA1RS
espèces d’équations de la même manière que les autres. Il est facile de les reconnaître, car ce sont les seules qui , par la concentration , ne présentent pas immédiatement une série convergente de concentration ; alors on a recours au moyen qu’on vient d’employer.
a4a. Je viens maintenant au cas où le radical originel
«st imaginaire
alors les deux quasi-valeurs
* = V~rt
- = ïA + i|^,
doivent être considérées comme la réunion de deux racines dépareillées , et , comme dans ce cas, les racines ont en fonction imaginaire ce qui constitue leur inégalité , je décompose * et n de cette manière :
iA>
+ jA —
ÏA, '
+ iA -J- — r;
et je reforme les deux facteurs de l’équation de çette manière ;
*' + iA«+^T7=°-
Par ce moyen les quasi-valeurs des racines s# trouvent appareillées dans les deux facteurs. Il s’agit de confirmer et d’éclaircir ceci pà» différens exemples.
Soit d’abord l’équation
dont les facteurs sont
Dans ce cas-ci , comme la partie imaginaire domine la partie réelle , ce qu’on reconnaît toujours parce qu’alors les derniers coëfficiens de l’équation C et D sont très-grands par rapport au premier coefficient A , je fais donc
et j’ai la nouvelle équation z 4 + 44 z3 -h j3 5z% 4- 553 22 + i584o = o y qui a pour facteurs
j’ai
V — r — V — 72 , alors j’ai les deux nouveaux facteurs
344 TR, VITE élémehtairb
** + rA • -f* ïï A* -f- ;r ) r**-f*2*+x39 ||o,
•* + T A s +r~^} ~ [** + 23 * + 1 »3,t)5 II o ;
je concentre alors selon la me'thode ordinaire , j’ai d’abord
<a = 23. ES I ll\.
h 9 = 20,6835 kv~ 1 15,5776.
En concentrant ainsi directement je vois que la série est convergente et alternative ; pour accélérer je prends le terme moyen entre k! t et * :'V , j’ai donc
«n compensant
Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin pour voir comment la concentration se fait rapidement.
Si l’on eût opéré ainsi immédiatement sur l’équation en x , on aurait passé par-dessus les valeurs, et on aurait obtenu des résultats sans aucune loi qui auraiènt averti de la nécessité de faire x — e + a.
. Soit maintenant proposée pour deuxième
DU CALCUL DBS I NÈ Q U JlTIO » S. 345
exemple l’équation
4" 3#3 -{- g ** -f- QX + IO = o,
qui a pour facteurs
** + J'+2)(æ‘ + 2Æ+ 5) = 0, et qui est, comme on sait, composée de quatre racines imaginaires ; néanmoins elle peut se résoudre immédiatement sans qu’il soit besoin de la préparer , en la résolvant comme cidessus ; on a d’abord
et la transformation des deux facteurs donne
x*+|Ax + ^A*+irl
j ai donc
i" * — i,ooo3
On voit avee quelle rapidité s’effectue directementla concentration. Les valeurs auxquelles on aboutit sont *• = i , v = a.
Soit enfin, pour troisième exemple, l’équation
x* 4- *3 -f- x* + x -f- io = o, dont les racines sont toutes imaginaires et in-
eommensurables , comme elle ne peut pas se décomposer en facteurs susceptibles de concentration , telle qu’elle est , je fais
x = z + io ,
et j’ai
x* + 4i x3 + 63i x* + 43a i* + 11120 = 0; j'ai d’abord
\/~r= l/— If,
et pour les deux facteurs transformés
j’ai donc
v — io4.
Je vois que la série de concentration va en décroissant, et je remarque qu’elle a une marche assez lente, ce qui est une conséquence du rapport de n à *r , qui diffère peu de l’unité , et c’est ce qui doit arriver toutes les fois qu’on transforme l’équation en ajoutant à x une valeur assez considérable pour que les valeurs de "■ et n diffèrent peu entr’elles. Pour accélérer la concentration , je ne la fais plus marcher directement , mais par une suite de substitutions successives ;
BU CALCUL DES INEQUATIONS. 347 Différences.
je fais£'<tf=ig j’ai h' *>=91,3973.
d’où *' «r:=i 8,9535.
Je fais h '^=18 £*V=l3,g85o5.
d’où i"V=ri 8,0067.
J’ai donc
Comme la dernière différence est à peu près dix foi^plus petite que la première,
je fais *'"«•= 1 8, r... j’aii'"*=:83,78a3.
+o,ooi.
d’où Æ”'w=i8,ioi.
Je fais i,T»=i8,2 , . i,T»»=84,58a.
d’où ky Jr=i8,ig62.
J’ai donc
Comme la première différence est trois fois plus petite que la deuxième ,
je fais kif w=i8,ia. v— 83, 94296,
d’où £»i*r=i8,i3oa52.
Je faia*”w=i8,i3 ^^=84,0234.
d’où t-v"»— 18,1297.
J’ai "donc
Comme les différences sont à peu près égales,
Différences.
je fais k"'ir — i8,ia5
. j’ai Jr,uv=83,983i68.
d’où i'11'»— 18,124987.
Je fais /fcr,,,w— 1 8, 1 24. . ,
, t""vr= 83, 975 126.
-j-o, oooo63.
d’où *•* »=i8,i24o37.
J’ai donc
Comme la première différence est plus petite,
je Tais *'**.=18,1248 i‘V=83,9^i5235.
août 18, 12479994.
Je fais 18,12475 tl e=83,g8i i56.
J’ai donc
p > 18, ia475o3.
Je fais l « w=i 8, 1 2478 *“ «>=83,98 1 4,
d’où 4*"a-=i8, 12^77903.
J’ai donc
Comme les deux différences sont sensiblement égales, je prends la valeur moyenne, en m’arrêtant à ce degré d’approximation , et j’ai enfin
P = 22,875235 Q— i3a,4io464.
Dû CALCÜt DES INÉQUATIONS. 34g
En reprenant enfin la valeur de *, l’équation proposée se trouve décomposée en ces deux facteurs : '
x * ■+• 2,875235 x 4- 3,658ii4 = o.
243. On peut également résoudre une équation dans laquelle le radical originel serait nul.
Soit l’équation
jai
d’où je fais
d’où
« — i A, n = iA}
j’ai donc
k" v — 0,1 186.. .......... A‘V = n,fio3i.
La série de concentration est alternative ; pour la rendre plus rapide, je faip ici la compensation par les. quasi-valeurs de q j pour faire voir qu’on peut compenser indifférem-
35o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
ment par les quasi-valeurs de/> ou de y, j’ai doue
d’où
k'irzsi 0,1271 kr v — 0,61 3;
j’ai pour quasi-valeur moyenne
d’où
En décomposant encore , et prenant de-là la valeur de kv , j’ai les deux équations avec 4 décimales exactes : • »>
Maintenant si j’avais l’équation
x* + 4 x3 + 6 a:* 4- 3 x + 1=0, qui ne diffère de la quatrième puissance du binôme x + 1 que par le coefficient du troisième* terme auquel il ihahque une unité; on ne pourrait par la méthode précédente que décompose^ rëqilâtiôn'en' deux quarrés parfaits ( x' + 2 X + l)(iC*+2#4- I ) = O,
et l’expression
Cv — Av
donnerait une valeur infinie, elle est égale à | quand la quatrième puissance est exacte.
1)U CALCUL DES INÉQUATIONS. 35r
Il ne faut pas conclure de-là qu’il y a des e'quations composées, que le calcul des inéquations ne puisse pas décomposer en facteurs du deuxième degré.
a44. En effet en reprenant ci-dessus (23a) , on a, x°. delà troisième inéquation auxiliaire
Q—SZllZ; ' '
2°, .. . Q.<jP.*; :
j’obtiens de-là l’inéquation
P3 — APa + 4C
9> 4P ’ et avec l’inéquation
j’obtiens l’inéquation du deuxième degré
P* — AP + • < o ;
de-là on obtient encore les deux quasi-valeurs P<i(A + \y A‘ — — ...T.... = <*,
Ces deux quasi-valeurs sont les mêmes que les deux précédentes n et «• ;. la seule différence est que le radical originel exprime la relation des deux coëfficiens A et C ; elle est telle qu’il
35a TRAITÉ ^LÉMTEîtÏAfni!
est s=o quand toutes les racines sont égales,
Gomme pour l’autre radical
En appliquant ces nouvelles quasi-valeurs au problème proposé , on a
On a pris ici les quasi-valeurs de Y et v par les formules
comme ci -dessus. En se servant des mêmes formules pour la concentration , on a
Je » = 0, 56o8.. . . . w k' t>= 0,3597.
k" w = 0,546 kn v — 0,2594.
Je vois (Jûè la série est décroissante , pour la franchir je prens . .
Comme la série retourne en croissant , je con-
Dû CA-LCUt DES INÉQUATIONS. 353
dus que 0,5457 a dépassé la valeur, et que l’on a par conséquent
en prenant les quasi-valeurs moyennes, les deux facteurs de l’équation deviennent x' + 0,54576 -+• o,a55gg5, x% + 3,45425 + 3,90625.
On voit que les quatre racines sont iraagn* naires.
a45. Enfin il reste à déterminer le cas où l’on a à la fois
y/ 3 A* — 8 B = o et
alors les relations des trois premiers coé'fficiens qui sont affectés 3e x appartiennent à la quatrième puissance du binôme * + i A ,
il n’y a plus que le dernier terme composé de quantités connues qui n’appartiennent pas à une puissance exacte. On résout cës sortes d’équations comme celles du deuxième degré, en complétant la quatrième puissance : elles ne peuvent avoir que cette forme :
en complétant cette quatrième puissance , on a
*4 + A*’ + ‘s A‘*‘ +Tq ASx+^A4=^A4-D
et
~* + lA= =*=1/ ^A4~D-
Ainsi l’équation
x * •+■ 4*® + 6 a?* + 4# + 3 = ot
donne
Les équations du troisième degré dans lesquelles le radical originel
se résolvent de la même manière. Ainsi l’équation
donne
En général , une équation d’un degré quelconque, dans laquelle tous les termes conviennent à la puissance exacte d’un binôme excepté le dernier , se résout comme celle du deuxième degré. Et on reconnaît cette qualité dans une équation par la relation successive de tous ses coèfficiens avec le premier.
DU CALCUL DES INEQUATIONS. 355 On peut voir que la résolution des équations du quatrième degré, par leur décomposition en facteurs doubles , est plus simple que par la décomposition en facteurs simples, surtout lorsque l’équation contient des racines imaginaires.
DEUXIÈME SECTION
â46. De la résolution des équations du cinquième degré.
Soit l’équation générale a?5 •+• A*4 + B*5 + Cx*-1-Da;4- E — o , je la décompose en
(jr3 + P#* + Q^ + R) (■*•* + + q) = o,
jr5 + P x* + Q jc3 4- R x“
+ p x* d-Pp*1 +Qpx% + Rpx
D’où j’ai les équations auxiliaires
B = Pp + Q + ^ a.
C =t= R + Vq + Qp 3.
D = Rp + 4.
et les deux inéquations
Q<jP‘(2a8) i.
Ç >ïP* 3.
Des équations 1 et a , et de l’inéquation 1 , j’obtiéns
aP' — 3 AP + 3 B q> ;
et de l’inéquation a ,
q<i{k' — a AP + P*);
d’où
P* — { AP<| A* — -y-® J
d’où enfin
P<ÿ(3A + a y/” 3 ( a A* — 5 B ) ) = < ri.
P>|(3A — ayA 3 ( a A* — 5 B)) == > *.
D’après les raisonneinens qu’on a faits cidessus , la première de ces deux quasi-valeurs appartient à la somme des trois plus grandes racines , et la deuxième à la somme des trois plus petites. Pour avoir p , j’ai A — p<n et A —
