D’où

Pl>i(A— V^aA*— 5B))... =>tt.

pl0<r( A + \/ 3(2 A* — 5B)). . . =<*.

La première de ces deux quasi -valeurs provenant de n, appartient par conséquent à la somme des deux plus petites racines , et la deu-

DD CALCUL DES INEQUATIONS. 35j xième à la somme des deux plus grandes, elle est par conséquent la dixième combinaison des cinq racines prises deux à deux ; voilà pourquoi je les exprime par

/»«>» et Pi „<<P*

Pour trouver la quasi- valeur de q , j’ai des équations auxiliaires,

3 R = C — A q + npq — Bp + Ap* — p*.

A J>T> — Bq+ A pq —p'q + q *

De ces deux valeurs de R, j’ai

y‘=(B — 2Ap-h3p*)q — (D — Cp-hBp* — Ap’+p4),

puis avec l’équation auxiliaire 5 ,

et la première des deux valeurs de R ci-dessus t j’ai

(A — 2jp)y* = (C — Bp + Ap1 — p3)q — E; avec ces deux valeurs de q * , j’obtiens

(A — 2p) (D — Cp + Bp* — Ap3 -f- p4) — E ^ (A — 2p)(B — 2Ap4-3p“) — (C — Bp-f-Ap* — p3)

On conclut «Je - là immédiatement les deux quasi-valeurs extrêmes de y.

TRAITS ÉLÊMEHTAIR*

^ (A — a»-)(D — Çw-f-Bnr» — A«r3 -f »<) — E

(A— aw)(B— aAw-f-Sir2)— (C— Btr+Aw*— w3

^.(A — ap)(D — Cf + B^a — A f 5 + f 4) — P „ .

î,0<(A-a?)(B— 2A?-f3<pg-qC-Bp+A<p3-f4—

Pour avoir la valeur de kv et h , ou la quasivaleur complète dep, et p10, je prends une direction opposée en cpmmençant par la dernière équation auxiliaire de 5 et 4 , j’ai Q=D£-Ep>

d’où q

(3) Ep* = (D — ?*)p?+ Ey-Cy* + \q\

de a et 4 ,

qp‘ = (A?* — E)P + q3 — Bÿ* + Dgrj

avec ces deux équations on a

^Egr(D — By) + g*(C — Ay)

P E(E — A y*) + y* ( D — y* ) ’ d’où l’on conclut

Pt >

E*(D — Bv) + p4(C — Av) ^

E(E — A/) + t>3 ( D > — pa )~~ ^ *’

Ew(D — Btv) 4- %v*(C — Aw) E ( E — À ) + *p3~( D — W' )

25o. Il faut remarquer que dans la résolution des équations du quatrième degré , la

1HT CAtCDL DES I ItÉQ V A.TIONS. 35$

dernière combinaison des racines p , où la quasi-valeur de ps se confond avec n , et celle de qe avec la quasi- valeur de Q , voilà pour-r quoi il n’en a pas été question. Au lieu que dans le cinquième degré n appartient à la somme des trois plus grandes racines y et $ à la somme des trois plus petites, et ne font pas partie des combinaisons des racines deux à deux ; il en est de même des quasi - valeurs de Q. La même observation a lieu pour les degrés plus élevés.

Pour appliquer ceci à un exemple , soit l’équation

x5 4- I 5 X* + 85 X3 -|- 235#*+ 2']/±X-\- 120=0 y qui a pour facteurs

j’ai

Les mêmes formules servent à la concentration ; les valeurs de A« iront en croissant jusqu’à la valeur de pt ; si je fais

jt'» = 3,o85.

Ainsi , si l’on dépassé la valeur de p-, , on aboutit , par une série opposée de coneen tration , à ta vraie valeur qui est =: 3.

36o TRAITJÊ ÉLÉMENTAIRE

Je ne m’occupe pas de la concentration de ou de la somme des deux plus grandes racines. Les formules de concentration renferment implicitement des fonctions de B — &<p , comme on peut s’en assurer, et, par cette raison, elles renferment toutes les variations qui sont produites par la relation de <ï> à ç> , comme dans la concentration des quasi-valeurs des racines simples.

Ce qu’on a dit ci-dessus, pour la résolution des équations du quatrième degré en facteurs doubles , s’applique également aux équations du cinquième degré et des degrés supérieurs,