SAP+ P

on a

Aa — 2AP + P*>3P’ — 3AP + 3B;

d’où l’on tire

P<t(A + yr 5 A* — 12 B) =s< n.

p >7 (A— V^5A*— iaU}=s>,.

La première de ces deux quasi-valeurs appartient à la somme des trois plus grandes racines , et la deuxième à la somme des trois plus petites.

En appliquant ces formules à l’exemple cidessus , on a

les vraies valeurs sont :

P = i5 et p = 6.

Pour avoir les quasi-valeurs de q et de r , on suivra une marche semblable à celle qu’ou a tenue, parles différentes équations qu’on obtiendra , on fera disparaître les différentes puissances de q , et l’on aura sa quasi-valeur en fonctions de v ; puis celle de r. Il sera aisé ensuite de compléter «- en fonctions de ces deux dernières quasi-valeurs.

11 en serait de même des équations des degrés plus élevés , s’il ne se trouve pas de jointures pour décomposer une équation du septième , du huitième degré , etc. , en facteurs du deuxième; c’est - à -dire si la séparation que l’on veut faire tombe entre les deux racines imaginaires; alors on la décompose en facteurs du troisième degré , et alors la séparation qu’on veut faire rencontre nécessairement une jointure ; c’est-à-dire qu’on peut trouver pour les facteurs des coëfficiens qui sont tous réels.

En résumant tout ce qui précède , on voit qu’il n'y a aucune équation , quelle que soit sa nature , et quel que soit son degré , qui ne puisse être résolue de plusieurs manières par le calcul des inéquations.

256. Indépendamment des méthodes de concentration qui ont été développées , on

peut

dans toutes les méthodes de solution

qui ont été exposées, s’arrêter aux quasi-valeurs complètes que donnent les formules ; puis avec la quasi-valeur de la première racine qu’on aura obtenue ( en l’appelant a ) , faire

et transformer l’équation proposée en y , la résoudre par les mêmes formules , on obtiendra la quasi-valeur a de la valeur de^ ; et en faisant >' ...

on obtiendra la quasi- valeur de z , et ainsi de suite.

Mais , en général , il fai^| observer que pour tout mode de solution quelconque , quand on ne se borne pas aux quasi-valeurs originelles , et pour concentrer d’après les méthodes précédentes , il faut que l’équation soit transformée de manière à avoir toutes les racines du même signe, ce qu’on peut toujours faire, comme on l’a vu.

TRAITÉ ÉtÉMEHTAÏR»