I. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS
1. Les équations composées se ramènent, comme on l’a dit à la formule générale ,
+ Xxm~l + B*"'-» . . . + Mx + N = o.
La prèmière propriété de ces équations , qu’on peut regarder comme un fait analytique , consiste en ce que leur résultat peut devenir =o en substituant à la place de x plusieurs valeurs différentes. Ces valeurs doivent donc être considérées comme appartenant toutes à l’équation : on les appelle racines. Ainsi si les quantités a , b , c , — d , — e , — f, etc. satisfont également à l’équation, en rendant son résultat =o par leur substitution à la place de x, on aura également x—a,x = b, x = c , x— — d , etc. : ce qui ne veut pas dire que l’inconnue que l’on cherche a toutes ces valeurs , mais seulement qu'elle a l’une ou l’autre.
En analysant les équations composées d’après cette propriété , on démontre qu’elles peuvent être ramenées à un produit
(x—a) (x — b) ( x — c) (x + d) (x-t-c), etc. = o
d’autant de facteurs simples qu’il y a de valeurs qui sont susceptibles par leur substitution à la place de x de rendre leur résultat = o, et que la limite du nombre de ces facteurs est égale au nombre des unités du degré de l’équation.
En effet , supposons que a soit une des racines de l’équation , en mettant sa valeur à
la place de x, l’équation generale deviendra om 4- A o ' 1 -+- Bum * . . . . Mo -f- N = o (i)«
Si je mets pour N dans la proposée la valeur qu’on obtient de cette dernière équation ; on aura
AC*"’-' — a.ïm-1)...+M(x— a)=o.
Or tous les termes de cette équation sont divisibles pari — a , et la proposée, toute réduction faite , acquiert la forme suivante en appelant C',etc. les coéfficiens qu’on obtient
(xm-'+Axm-' + B*m-3 . . . + M ) (*— a) = 0(2).
Or, maintenant, si cette équation a une autre valeur b qui rende son résultat =0, en substituant b à la place de a;, on aura comme ci-dessus (1)
( bm - ' + A 'b— + B 'bm— {b— a) = o ,
le facteur b — a ne peut pas être =0, il faut donc que l’on ait
bm~' + A 'bm~' + B'ô'"-3 . . . 4- M — o (3) ou en mettant a: à la place de b,
xm~' + AV-* + Ba;m-3... -t-M = o (4).
Ainsi les deux facteurs de l’équation (2) sont séparément =0, non pas à la fois, mais successivement en faisant x = a, x = b.
Maintenant en prenant la valeur de M dans
DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 9 l’équation (5) , et la substituant dans lYqua~ tion (4) , on aura comme ei-dessus (xm~‘ — 6*m— * — B*m— ’)+... +L'(* — b)— o
qui sera divisible par x — b, et donnera une nouvelle équation de la forme (*m-a + A"xm~3 + Wx”-* . . . + L')(ar— b) y en opérant comme pour l’équation (2).
La proposée sera donc ramenée à la forme , + A/'*m-3 + B"*m-4. . . + L')(*— a)(x—b) =0, si une troisième valeur x — c rend encore le résultat de l’équation identique , on parviendra, en opérant de même, à ramener l’équation générale à la forme
A"'a.m-4+B»'xm-5-f.Q) {x—a) [x—b) (x-c) =0 ,
et ainsi de suite. On voit que l’équation s’abaisse d’un degré à chaque valeur de x qui rend son résultat =0 ; la limite de la décomposition sera donc lorsque l’équation sera amenée à ce degré de composition (ar-pA'")^ — a){x — b)(x — c) . . . ( x — m) — o alors l’équation proposée réduite au facteur b simple x + h* sera le dernier facteur qui ne pourra plus se décomposer. Il pourra donc y avoir autant de facteurs qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation , et il ne pourra pas y en avoir davantage.
fftAÎTÉ ÉLÉMF.WTA.IHE
2. Il faut considérer que cette démonstration ne s'applique rigoureusement qu’aux racines reelles et commensurables de l’équation ; il n’y a que ces espèces de valeurs qui puissent rendre son résultat =o. Lorsque l’équation n’a que des racines incommensurables , il n'est pas possible d’assigner une valeur qui puisse en rendre le résultat = o, c’est ce qui constitue la propriété d’incommensurable.
Mais il faut remarquer que les équations composées ofct encore la propriété de donner des résultats qui changent de signe en substituant à la place de x, successivement différentes valeurs : or, de cette propriété, il faut encore conclure que l’équation est composée d’autant de facteurs inégaux (x — a ) (x —b) (x — c ) etc. qu’il y a de changemens de signe dans les résultats de l’équation , quoique ces racines soient incommensurables , ou quoiqu’on ne puisse pas assigner une valeur qui rende l'équation =o.
En effet , supposons que dans une équation composée quelconque, on obtienne d’abord un résultat positif en substituant à la place de x une valeur p, qu’ensuite on obtienne un résultat négatif, en substituant une autre valeur q , je dis qu’entre ces deux valeurs p et q il y a nécessairement une valeur assignable*
DD CALCÜl DES I HÉQU ATI O HS. II
ou non, qui doit rendre le résultat de l’équation = o : car puisque l’on passe du positif au négatif, il faut nécessairement conclure qu’en supposant une infinité de valeurs entée p et q , on arrivera, en partant de p vers q, à la limite des valeurs dont la substitution rend le résultat de l’équation positif, et en partant de q ver sp, à la limite de celles qui rendent ce résultat négatif; or ces deux limites opposées coïncident nécessairement à la valeur assignable , ou non , qui doit rendre le résultat de l’équation = o, donc il faut conclure que l’équation a une racine réelle entre p et q.
Pareillement si en continuant les substitutions, j’obtiens un autre changement de signe dans les résultats de l’équation entre les deux substitutions p' et q' , il s’ensuivra par la même raison que l’équation a une autre racine réelle entre ces deux valeurs ; et ainsi de suite. D’où l’on doit conclure que toute équation composée a autant de racines réelles x = a, x = 6, x = c qu’on peut obtenir de changemens de signe dans les résultats de l’équation , et qu’elle peut être également considérée comme composée de facteurs simples ( x — a) (x — b)
(x — c ) etc. = o, dont le nombre peut être égal à celui du degré de l’équation, par le même raisonnement qu’oti a développé ci-dessus.
3. Le nombre des racines del’équationnepeut être égal à celui dudegrédel’équationquequand toutes les racines sont réelles. Mais il arrive souvent que l’équation se trouve multipliée par un facteur composé xn + A'x"~' + B'*"-* + etc. dont le résultat est toujours positif, quelque valeur que l’on suppose à x, soit négative, soit positive. Comme il ne peut jamais devenir =o, on doit conclure que ce facteur n’a pas de racines. En le supposant =o, on fait une erreur, et les valeurs de x qu’on peut obtenir sont imaginaires, c’est-à-dire impossibles : leur expression indique l’erreur qu’on a commise en faisant le facteur composé =o.
En considérant donc les racines a, b, c, d, etc. comme des valeurs réelles ou imaginaires, on pourra dire généralement que toute équation est décomposable en facteurs simples ( x — a)(ar — b ) (a? — c) etc. =o, dont le nombre est toujours égal à celui du degré de l’équation.
4. On démontre que toutes les racines imaginaires dans une équation quelconque , qui a tous ses coëfficiens réels, ne peuvent se trouver que par paires de la forme
T=a-\-b\/ — i f x=a'-\-b' \/ — 1 pr —d'-\-b"\/ — 1 x—a — b \/ — i , |x— a' — b' j/ — i , a" — bn\/ — i e*C
En effet , supposons qu’une équation con-
BU CALCUL DES I HÉQ U AT f O H S. l5
tienne une racine imaginaire ; or quelle que soit la forme sous laquelle on pourrait l’obtenir, on sait que toute expression imaginaire se ramène à la forme x = adab y1 — i , par conséquent s’il y a une racine imaginaire dans l’équation , elle peut se ramener à cette forme. Supposons donc que la valeur de cette racine soit x—a + by/ — i, en substituant cette valeur dans la proposée , elle rendra son résultat = o , on aura donc
(a-J- b [/~i )m-f-A(«+Z> \/— i)m~,+B(a-f-b ~i )m-»-f-etc.=o. En effectuant , on aura pour résultat une équation de la forme
Or, maintenant, cette expression ne peut être = o qu’autant que P ou la somme de tous les termes réels sera =0 séparément. II ne peut pas être == o conséquemment à la valeur de Q\/ — i , parce que des quantités imaginaires soustraites des quantités réelles, ne peuvent donner un reste nul : donc Q [/ — i =o séparément, donc on a
Supposons, maintenant, qu’à la place de x on substitue la valeur a — b y1 — i, dans la proposée elle deviendra (a — b \/ — i)m + A (a — b y' — i)m, + etc.=o.
Cette équation ne diffère de la précédente que par le signe qui précède les quantités imaginaires; en l’effectuant , elle deviendra donc
or on a P = o, Q = o, donc on a P — Q y/— 1=0;
donc l’équation contient encore la racine x = a — b y/ — i .
Si je multiplie cette dernière racine avec la précédente , j’aurai le facteur réel du deuxième degré ,
x' — 2ax 4- a* + b* — o, ou (* — a)l-4-£* = o; par conséquent l’équation proposée sera (*m-a + . . + J; (** — 2ax+ a * + 4») =o.
Supposons maintenant que l’équation ait une racine imaginaire x—a'+b' y/ — i. En substituant sa valeur dans cette dernière, elle deviendra
[(*’ + b'- y/ ^7 )"*-*+ A' (a'+è' v/— i)"-s + etc.)
(a'+iij/;iT).ao(«'+iy;iT)+«*+i«]=o.
Cette équation ne peut être = o que par son premier facteur, et non par le facteur double (a + b' y/ — i)* — etc. Si on effectue les différens termes , on aboutira au résultat
P' + QV^7=o.
nu CALCUL DES 1HÉQUATI0MS. l5
On démontrera, comme ci-dessus, que l’on a è"= o, Q"= o , d’où l’on conclura encore que l’équation a une autre racine x~a — b' y — i » et que par conséquent elle contient encore le facteur réel du deuxième degré *’ — aa’x + a'*+ b'*— o, ou (x — a')' + b'%=o -, par conséquent la proposée se ramènera à l’expression
( xm~ * + A"nxm~i + etc. ) (x* — a a x + a* + 6’) ( x* — 2 a x + a * + b'*) — o.
On fera le même raisonnement pour une troisième racine imaginaire , x=a“+ b" y — i ; et ainsi de suite. On parviendra donc à décomposer l’équation en facteurs réels du deuxième degré , jusqu’à ce qu’il ne reste plus que le dernier facteur double, x* + A"-,x-t-B",=o , si l’équation est d’un degré pair, ou le dernier facteur simple x + A* , si elle est d’un degré impair; ces deux facteurs ne contiennent que des quantités réelles.
5. Delà il suit, x°. que toute équation d’un degré impair a au moins une racine réelle ;
6. a0. Que toute équation , quelles que soient ses racines , réelles ou imaginaires , est décomposable en facteurs réels du deuxième degré.
Cette décomposition peut toujours s’effec-
l6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
tuer par le calcul des inéquations, comme on le verra.
On peut remarquer maintenant que pour former un polynôme, composé avec des racine^ imaginaires, et qui ne contienne cependant que des coëfficiens réels , on ne peut y introduire que des racines imaginaires par paires, telles qu’on vient de le dire. En effet, comraea + A^ — 1 et — — 1 donnent la même valeur élevée à une puissance paire quelconque , et qu’elles conservent leur signe étant élevée à une puissance impaire ; si on multiplie plusieurs paires de facteurs imaginaires de cette forme x — a + b j/ — i et a; — a — b\/ — i, les unes par les autres, les racines imaginaires, précédées du signe + , seront multipliées par les mêmes quantités que celles qui sont précédées du signe — , elles se détruiront donc toutes. Ce qui ne pourrait pas avoir lieu , s'il s’en trouvait une seule racine imaginaire qui ne fût pas appareillée , ou s'il s’en trouvait une paire qui n’eût pas les conditions requises.
7. Je viens maintenant au changement de signe, produit dans le résultat de l’équation, par les différentes substitutions de x , au passage d’une racine réelle à la suivante : on voit e'videmment qu’il ne doit plus y avoir de variations de signe , quand on a franchi les va-
xt
DU CAICÜL DES INEQUATIONS, leurs de toutes les racines réelles. Voici comment on détermine la limite de ces variations. D abord il faut remarquer que quel que soit le degré d’une équation et quelle que soit la valeur de ses coéfficiens, ou peut toujours assigner un nombre qui rende le premier terme supérieur à la somme de tous les autres. Pour s’en convaincre et pour trouver, en même temps la valeur qu’il faut donner à a- , afin d’y parvenir, je prends le cas le plus défavorable, celui où tous les coéfficiens de l’équation seront négatifs et égaux; c’est-à-dire, si au lieu de *"• + Axm~‘ + B*"-* . . . + N =- o , on avait x" — — Sxm~* . . . Sx— $=o ,
S désignant le plus grand des coéfficiens A B, C , etc. Je donne à cette équation la forme xm—S(xm~‘ + + xm~s ... + i) = 0f
d’où x"1 = S ( xm-‘ -f x— » + etc . ) = S M
Sx"’ S * * '
puis X = —
Je rendrai le premier . terme xm de la proposée plus grand que le deuxième membre de cette dernière équation , qui représente la somme de tous ses autres termes , en faisant ’ Sx"* ... S
puis a = S+i;
d’où l’on aura x =
tS TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
c'est-à-dire, que pour rendre le premier terme xm supérieur à la somme de tous les autres, il faut substituer , dans l’équation , à la place de x un nombre égal au plus grand coefficient augmenté d’une unité. Or ce nombre est la limite de la plus grande racine positive de 1 équation : car toute autre quantité , supérieure à ce nombre , ne pourra plus faire changer le signe du résultat de l'équation. Si les racines de l’équation étaient toutes négatives, leur limite Serait — ( S + i ) par la même raison. Enfin , si elles étaient en partie positives et en partie négatives , elles auraient , à plus forte raison, cette limite.
Mais , pour juger de la latitude de cette limite , je l’applique à l’équation x%+ Gx* + ii * + 6 = o dont les facteurs sont (x + i)(a?+2)(* + 5)=o. La plus grande de ces trois racines est 5 ) ,
et leur limite est — ( 1 1 + t ) = — C1 2)- 0n peut voir , par Cet exemple combien cette limite est vague, puisqu’elle est quadruple de la valeur de la plus grande racine.
Quoi qu’il en soit de cette limite , il suit de ce qu’on vient de dire, i°. qu Une équation d’un degré impair a nécessairement une racine réelle, comme on l’a déjà démontre : car je puis donner à , dont l’exposant est
DU CALCUL DES INEQUATIONS. JQ
impair, une valeur négative pu positive qui surpasse la somme de tops les autres termes, quelle que soit leur valeur ; je puis dope toajours obtenir un changement de signe dans le résultat de l’équation ; il y apra donc une racine réelle : donc le polynôme , qui ne contient que des racines imaginaires, ne peut que d’un degré pair j ». ■
a*. Toute équation d’un degré pair, <^ofit le dernier terme est négatif , a nécessairement deux racines réelles. Car si je fais x — o , le résultat de l’équation se réduira au dernier terme, il sera donc négatif. Je puis ensuite supposer à x une valeur négative ou positive, telle que le premier terme xn , que son exposant rend toujours positif, soit plus grand que la somme de tous les autres , le résultat sera donc positif, il y aura donc changement de signe , il y aura d’abord une racine réelle; mais l’équation dégagée de cette racine sera d’un degré impair; donc, par cette raison , elle aura encore une racine réelle ; donc une équation , d’un degré pair, dont le dernier terme .est négatif, a au moins deux racines réelles.
8. Puisque toute équation peut être considérée comme composée de .facteurs ,(jc — a) ( x — b)(x — c ) etc. = o réelles ou imaginaires , on peut composer synthétiquement
TRAITE ÉL^MEWTAIRE
une équation de cette manière ; et la combinaison des racines , dans les différens coëfficiens , doit servir à découvrir les moyens de décomposer les différentes équations que présente l’analyse, et qui ont toujours une origine différente de celle-ci.
Si je compose une équation seulement avecles quatre racines (a^o)(*:^ô)(a^c)(A:q=G?)==o, j’aurai
x* a \ #3+ ab
=F b I +ac
