pabd j j

=F c ( + ad 1

=pacd [ [

=p d J + bc \

=pbcd | J

1 +bd

j + cd 4

Je remarque, i°. que le deuxième terme a pour coefficient la somme de toutes les racines , chacune avec le signe qu’elle a dans son facteur , ou avec un signe contraire à celui de sa valeur ; que le troisième terme a pour coefficient la somme des produits des racines multipliées doux à deux ; que le quatrième a pour coefficient la somme des produits des racines multipliées trois à trois , et ainsi de suite. Qu’enfiu le dernier terme qui n’est point affecté de l’inconnue x , et qui est ici le cinquième, est le produit de toutes les racines de

DU CAÏ.CÜIj DES IlfÉQTJATIOItS. 31

l’équation. On démontre que ces lois ont lieu quel que soit le nombre des racines.

Je remarque , en second lieu , que lorsque les racines sont positives x=a , x—b , etc. , les coëfficiens sont alternativement négatifs et positifs ; c’est-à-dire, qu’ils sont négatifs dans ceux où les racines sont multiples à un degré impair , et positifs dans ceux où elles sont multiples à un degré pair : ce qui doit être. Au contraire , quand les racines sont toutes négatives , elles sont positives dans leur facteur (x + a)(x -f b){x + c) etc. , ce qui rend tous les produits des racines positifs, et , par conséquent, tous les coëfficiens positifs. Ainsi l’équation générale des racines, toutes positives , doit avoir cette forme :

xm — A*m— 1 -f- B*m— * — Cx™- 3 -f- D*m~4— etc. = o , et celles des racines toutes négatives ,

xm + Axm~' + R*“~* + Cxm~3 + etc. = o.

Cet ordre est interverti d’abord par les racines imaginaires, ensuite lorsque les racines sont en partie positives et en partie négatives. Il est inutile de discuter ces deux cas.

g. Mais il est bon de remarquer que l’on peut toujours ramener une équation à avoir toutes ses racines, du même signe, ou toutes négatives ou toutes positives. Car soit l’ëqua-

33 TRAITÉ ÉtÉMERTAIRE

tiôn qui a pouf facteurs ( x — 5) (* — 3 ) (* + i ) (* + 4) = o; si je fais x =y + 6 , j’aurai (y + 6— 5)(r 4- 6— 3)( y +6+ï)(iy+6+4)=o; les racines seront alors toutes négatives. En faisant au contraire x’ —y — 5, j’aurai (> — -lo) (y — S) {y — 4) (./— i) = o ; lés racines sont alors toutes positives.

Il suffit , cortime on voit, de faire x=y + a, el dë prëndfe pour a une valeur qui surpasse la plus grande racine positive, pour les avoir toutes négatives ou réciproquement. On parviendrait à ce but en prenant pour a la limite des racines (7); ihais elle a trop de latitude, le fcalcul des inéquations donne immédiatement une limite très-rapproehée.

De la résolution des équations algébriques du troisième degré.

1 0. In serait trop long de rapporter ici toutes les méthodes générales et particulières qui ont été imaginées pour parvenir à exprimer par des formules algébriques les valeurs des racines que recèlent les équations composées. Aucune de ces méthodes n’ft pu franchir le quatrième degré ; toutes ont abouti aux mêmes résultats

I>U C AXiCUL DES INEQUATIONS. û3 et aux mêmes inconvéniens. Je me bornerai à exposer ici les deux méthodes les plus simples, qui sont en même temps les plus anciennes, l’une pour le troisième, et l’autre pour le quatrième , quoiqu’elles ne soient pas précisément d'après le même mode de solution.

Pour parvenir à leur solution, il est nécessaire de leur donner une nouvelle forme, dans laquelle le second terme ait disparu , et l’on y parvient toujours dans l’équation générale

x -4-A*m * + , etc. =o en faisant x—y ,

et en substituant dans la proposée cette nouvelle valeur à la place de x. Soit donc propose de résoudre l’équation du troisième degré dégagée de son second terme

x! + Bx+C = o.

Je commence par former une équation de la même forme , dont je supposerai les racines connues ; je fais x = a + b , d’où j’ai

x3 — a3 + 3a'b + ^qba + b3 ,

ou x3 = a3+b3+ 3ab(a -f-ù).

Puis mettant x pour (a + b), j’ai

x3 — 3 abx — a 3 — b^ — o, ?

équation delà nqême forme que la proposée. Si je considère que ces deux équations sont les

mêmes , j'aurai

B = — 3 ab, G = — a 3 — b3 , d’où je tire

tf + Cb3 — — = o,

équation qui ne contient plus que l’inconnue ù, et qui peut se résoudre par la méthode du second degré. J’ai donc

a = V7— i C =fc V/l Bs + ~ C\

puis. . b — \/ — + ;C',

d’où la racine x = a + b devient

Je n’ai mis que le signe supérieur devant le

radical intérieur V ~ B3 + ; C’ , parce que l’on a toujours la même quantité , soit que l’on prenne le signe supérieur ou le signe inférieur de ces radicaux.

Si je divise maintenant l’équation x 3 — 3 abx — — b3 •sx. o par la racine x — a — b = o qui

y est contenue, j’aurai pour quotient ,

x% + (a + b) x+ a' + b' —ab — o ,

AiqpV7— -3\ /idrV^N,

d'où *=-(—■ )<•-( 3 J6-

et en mettant pour a et b leurs valeurs (l±^~) v' — ; c — v7 ^ b‘ + ; c-.

11. Ainsi la résolution du troisième degré Tn’ a donné trois racines différentes. Mais il faut observer maintenant que quand le radical intérieur V/^B3-f jC* est une quantité réelle, la première racine qu’on a obtenue (1) est réelle , et ces deux dernières sont imaginaires, à cause de V — 3 qui entre dans leur expression. Ainsi dans ce cas, la proposée a une racine réelle et deux imaginaires. v

Mais lorsque ce radical est imaginaire, ce qui a lieu toutes les fois que B est négatif , et que l’on a ~ B3 -f j O <. o , alors la première valeur de x a une forme imaginaire, ainsi que les deux dernières (2) ; il ne s’ensuit pas que les trois racines de la proposée soient imaginaires ; au contraire, cela est impossible, elle ne peut contenir qu’une paire de racines imaginaires de la forme x + a + bx/ — 1=0, x + a — bV — 1 — O* comme on l’a démontré. Il faut donc conclure que les expressions imaginaires contenues dans les valeurs de x se détruisent les unes par les autres , et que les valeurs de x ne sont ima-

36 TRAITÉ ÉLÏMENTAIRB

ginaires qu’en apparence. On commencera à s’en convaincre, si l’on fait attention que les quantités imaginaires qui sont dans la première valeur de x , sont par paires avec les deux signes contraires, et — , tandis que les quantités réelles sont les mêmes.

Pour obtenir les valeurs réelles des racines dégagées des quantités imaginaires qui leur sont étrangères, il faut réduire en série l’expression des deux grands radicaux ; je fais pour

cela C =/, V ± B3 + i C* = g V^T. J’aurai

pour la première valeur de x (i) ,

gi/ — i 2g* a.5^1/ — i 2.5.8 g*

gV~

a g* a.5.8 gt 3.5.8.11.14^*

~f" > etc.

+ , etc.

Si l’on réduit en séries également les deux autres valeurs de x (a) , et si l’on observe que ^ — ixV^ — 3 = — V^3, toutes les quantités imaginaires se détruiront, et l’on aura

, etc.