DEUXIÈME PARTIE

De la résolution des équations composées à plusieurs variables.

273. O n a vli que la multiplicité des racines provenait du produit des différentes inconnues qui ne différaient entr’elles que par des quantités additionnelles. Ces différens produits sont toujours le résultat de l’élimination ou de la réduction à une équation finale qui ne contienne plus qu’une inconnue. Si l’on a deux équations complètes à deux variables , l’une du degré m , et l’autre du degré n , l’équation finale sera du degré m n ; il en résulte donc une surcomposition, et par conséquent une multiplicité d’équivoques à débrouiller , indépendamment de la complication et de l’excessive longueur du calcul que leur solution exige.

• Il est donc important de résoudre immédiatement ces équations à plusieurs inconnues 6ans avoir recours à l’élimination , c’est ce que l’on fait par le calcul des inéquations.

4o4 TRAITÉ ÉLÉMENT AI lit

274. L’équation à deux inconnues du premier degré se réduit à

on voit qu’on ne peut avoir de valeur de y qu’au tant qu’on en suppose une à x, et qu’en se bornant à cette seule équation , y est susceptible d’une infinité de valeurs correspondantes à l’infinité de valeurs qu’on peut supposer à x. De sorte que si l’on considère que cette équation n’appartient qu’au système numérique, la résolution de cette équation ne peut être représentée que par un tableau à deux colonnes, dont la première contiendrait les valeurs numériques supposées à x ; et la deuxième , les valeurs correspondantes de y ; alors x et y ne s’appellent plus inconnues > mais variables. La question des problèmes indéterminés consiste à chercher dans ces espèces d’équations , quels sont les nombres entiers qu’il faut supposer à x , pour qu’il en résulte d’autres nombres entiers pour y-.

275. Maintenant si je considère que l’équation appartient au système géométrique , je vois qu’en prenant du point A (fig. 2) , comme origine des valeurs , et sur une droite indéterminée AX une portion AC =so, et qu’en tirant

DU CALCUL f>£S INÉQUATIONS. 4o5 ensuite la ligne CD = i, si je mène par les deux points A et D la droite indéfinie ADN , et si je tire les parallèles PN, P'N' à des distances variables AP= x , en appelant les parties correspondantes PN=*:y, j’aurai l’équation

et en menant enfin la parallèle BM à une distance

l’équation proposée

bx 4- c

exprimera la corrélation des valeurs géométriques AP, PM, AP', P'M' , etc. Je reforme mon équation à l’aide d’un théorème de géométrie , mon équation en est donc la traduction. Par cette operation j’applique l’algèbre à la géométrie.

Maintenant si je considère que l’équation proposée appartient au système numérique , les lignes AP, PM , AP', P'M' n’en représenteront pas moins la corrélation des valeurs numériques de x et de y ; alors, sous ce point de vue , la figure deuxième devra être considérée comme une espèce d’écriture , qu’on peut appeler algèbre graphique , les lignes ne tirant

4o6 TRAITÉ ÉLÉMEIfTAÎ RE

plüs leur origine du système géométrique se* ront considérées n’exprimer que des nombres dont l’unité sera représentée par une petite droite élémentaire, et la ligne BMM', qu’on appelle le lieu de l’équation, n’est plus une ligne géométrique , mais doit être considérée comme une trace numérique .

Lorsque l’équation est du premier degré , c’est-à-dire lorsque les variables ne sont point multipliées par elles-mêmes , il en résulte , dans son application à la géométrie, que cette ligne est droite, et il en résulte plus générale* ment que tous les points de la trace numérique sont dans la même direction.

Si dans l’équation les variables sont multiples entr’elles , le lieu de l’équation est une courbe qui est d’un degré désigné par le degré de l’équation-

276. Il faut bien distinguer ce qu’on doit appeler courbe d’avec les traces numériques , dont les points ne sont plus dans la même direction. Quand , d’après des loix quelconques, je trace une ligne qui se trouve courbe en vertu de ces loix , je crée véritablement une courbe qui appartient au système géométrique. Ainsi je fixe une des pointes du compas et je promène l’autre , elle trace une courbe qui, par la nature de sa construction, a tous

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 4°7 ses points également éloignés du centre. Pareillement je fais rouler une circonférence sur une droite , et je remarque la courbe que décrit un des points de cette circonférence pendant son mouvement. Cette courbe a une origine géométrique, et je l’appelle cycloïde.

Pareillement encore je fais mouvoir une ligne de manière qu’une de ses extrémités A reste fixe , et l’autre B parcoure une circonférence en même temps qu’un point mobile partant de l'extrémité fixe parcourt la longueur de cette ligne , je remarque la courbe que parcourt ce point mobile en vertu de ce double mouvement. Cette courbe a encore une origine géométrique , et je l’appelle spirale : et ainsi des autres.

Au contraire, j’ai une équation quelconque — f“ composée à deux variables , et je détermine d’après cette équation différentes valeurs des ordonnées PM, PM', etc. , correspondantes aux abscisses AP, AP' ( fig. 3). Si je joins toutes les extrémités M , M', M", etc. des ordonnées par des droites M M' , M' M" , etc. , je n’aurai qu’une trace numérique , parce que dans cette , y opération, je ne remonte pas à l’origine d’une ' ***-

courbe géométrique, dont les loix de sa créa- vÿ**- . tion seraient exprimées par l’équation propo- i sée , je me borne à traduire une expression

4o8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

algébrique en une autre espèce de langage o» d’écriture qui est tout aussi générale que l’algèbre , et qui peut convenir indistinctement à une question géométrique ou à une question arithmétique.

J’ai , par exemple , l’équation

Si j'observe que cette équation est l’expression de la loi qui détermine la création du cercle y et si , en conséquence, je trace géométriquement une circonférence, j’ai une courbe. Mais, si, comme dans le ens précédent, je me borneà déterminer différens points, par cela même que je ne remonte point à une origine géométrique , la suite de petites lignes droites qui joindra ces points ne sera qu’une trace numérique ; ces petites lignes droites sont étrangères à l’équation, il n’y a que les extrémités des coordonnées qui lui appartiennent, et qui par leur position déterminent la forme de la trace.

Construire géométriquement une courbe , en former une équation ou traduire en algèbre la loi de sa création ; c’est ce qu’on peut appeler la synthèse des courbes ou leur composition.

Remonter, au contraire, d'une équation à la courbe qui a pu la former , chercher à trans-

Dü CALCUL DES INÉQUATIONS. 4og

former cette équation en une autre qui appartienne à une courbe que l’on connaît : chercher encore dans les propriétés d’une trace numérique que l’on construit, d’abord une loi d’après laquelle on puisse construire géométriquement une courbe qui puisse rendre l’équation que l’on avait; ces opérations appartiennent à l’analyse des courbes. L’ensemble de ces deux marches opposées dans leur direction appartient à la théorie des courbes.

277. Les sections coniques offrent un exemple d’une théorie complète; d’abord le cercle, l’ellipse , l’hyperbole et la parabole se tracent géométriquement, ou par un mouvement continu selon des loix d’après lesquelles on établit leur équation. On forme encore géométriquement ces quatre courbes par la section du cône, et on obtient de-là encore leur équation. D’un autre côté toutes les équations du deuxième degré à deux variables s’appliquent à l’une de ces quatre courbes.

Mais le nombre des courbes dont on a ainsi une théorie complète est très-limité. La presque totalité des équations à deux variables qui surpassent le deuxième degré , ne conduit à aucune courbe connue ; elles ne sont donc susceptibles que d’être traduites en algèbre graphique , et toutes les prétendues courbes

4ïO TR AITÉ ÉLÉMENTAIRE

qu’on en obtient ne sont que des traces numériques.

Néanmoins la traduction de toutes les équations des degrés supérieurs à deux variables en traces numériques a un grand but d’utilité. Si j’ai deux équations de cette espèce, je construis leur trace numérique avec les mêmes axes des coordonnées , et avec la même origine des valeurs ; alors les points d’intersection de ces deux traces , ou les points qui leur sont communs , déterminent immédiatement les valeurs de x et de ^ qui conviennent aux deux équations, et dispensent, par ce moyen, de J 'énorme calcul qu’exige l’élimination des inconnues.

278. Lorsque les équations renferment trois variables , leurs valeurs corrélatives se déterminent à l’aide de trois plans coordonnés perpendiculaires entr’eux , dont les intersections forment les trois axes des coordonnées x ,y, z; les points de la trace numérique ne se trouvent plus alors dans le même plan : le lieu de tous ces points appartient à une surface courbe, si l’on peut remonter à une construction géométrique qui puisse rendre la même équation ; autrement on n’aura qu’une trace numérique qui aura la forme d’un polyèdre , dont toutes leé facettes et les arrêtes.

seront étrangères à l’équation , il n’y aura que les sommets des angles solides qui lui appartiendront.

Si l’on a trois équations composées à trois variables , on aura trois surfaces courbes , ou trois surfaces de polyèdres , qui , étant rapportées aux trois mêmes plans coordonnés, détermineront, par leur intersection, les valeurs x , y , z qui conviennent au problème. Ces points d’intersection peuvent se déterminer par les projections de ces surfaces courbes, ou de ces polyèdres sur les plans coordonnés , et , par ce moyen , on. ramène la solution de ces espèces d’équations à celle des équations à deux variables , et par le moyen des traces numériques simples tracées sur des plans.

Tel est l’apperçu général de la résolution des équations composées à plusieurs variables par le moyen de l’application de l’algèbre à la géométrie.

Les géomètres , n’établissant aucune distinction entre les courbes et les traces numériques , considèrent une équation quelconque comme appartenant à une courbe géométrique, mais dont on ignore les loix de construction. On peut bien considérer les équations de cette manière, et il le faut bien quand on ne distingue pas les courbes des traces numéri-

4l2 TBAITÎ ÉLSMKMTAIRK '

ques ; mais alors on rapporte toutes les équations à des chimères lorsqu’elles surpassent le deuxième degré. Et , en les appliquant toutes au système géométrique , On fait une application étrangère au but qu’on se propose car toutes les courbes , ou presque toutes les courbes qui surpassent le deuxième degré , ne sont que des échafaudages dont on se sert pour déterminer les valeurs corrélatives des variables ; elles ne sont donc qu’un instrument général dont on se sert pour résoudre les équations, quelque soit leur objet, quel que soit le système géométrique ou arithmétique auquel elles appartiennent ; elles ne sont donc enfin qu’une algèbre graphique, et non pas une application spéciale de l’algèbre à la géométrie. C’est sous ce point de vue que je les considère.

Les courbes ou les traces numériques ne sont que des moyens accessoires pour résou-* dre les équations composées à plusieurs variables ; c’est le seul but auquel je tends.

Je considère d’abord les équations à deux variables; les moyens de solution qui leur conviendront s’appliqueront immédiatement aux équations à plusieurs variables.

Je considère i°. les équations dans lesquelles une des deux variables , y n’est qu’au premier

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 4t3 degré avec une fonction quelconque de x à un degré quelconque;

2°. Les équations qui renferment une fonction de y au deuxième degré , et une fonction de * à un degré quelconque ;

3°. Les équations qui renferment une fonction de y au troisième degré et une fonction de x à un degré quelconque , et ainsi de suite.