CHAPITRE PREMIER

De la résolution des équations qui renferment y à la première puissance et avec une fonction de y* à un degré quelconque.

279. Les équations de cette espèce se divisent en deux classes , la première renferme celles où y n’a pour coefficient que des quantités constantes ; et la seconde renferme celles où y est affecté d’une fonction de x .

La première sorte renferme les équation» dont la forme générale est

y— p (xm + Axm~ ’ + Bxm* + Ma; + If )=o ;

je considère d’abord toutes les racines réelles ; elles équivalent donc à

■ y—p[(x + o)(x + b)(x + c)(+ etc.]

Si on traduit cette équation en une trace numérique , on voit que « étant successivement = o, en correspondant au* différentes racines a , b , c , etc. cette trace , ou cette courbe , coupera l’axe des X aux points , etc. , comme on le voit ( fig. 4 ) ; et le deuxième membre de cette équation changeant de signe en passant d'une racine à l’autre , il faudra que la courbe aille en serpentant alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe.

Les racines se trouvent placées selon leur ordre de solution , tel qu’on l’a vu dans la première partie. Lorsqu’elles sont en partie positives et en partie négatives , la première est la plus grande racine positive , et la suite des racines va en décroissant de X vers X' , et quand elles ont franchi l’origine des valeurs A, elles sont négatives. Si elles étaient toutes négatives, la première racine serait A*, (fig. 5), qui est la plus petite en nombre , comme on l’a vu.

y étant positif ne parvient à la valeur zéro que par des valeurs qui décroissent successivement , et comme après avoir franchi zéro , il devient négatif , il s’ensuit que sa valeur continue de décroître , et en continuant de décroître , ses ordonnées s’alongent dans le

sens négatif ; mais comme sa valeur doit redevenir = o , puis positive , elle croît donc de nouveau , et elle commence à croître au point où son ordonnée négative est la plus grande ; de même , elle commence à décroître au terme où son ordonnée positive est aussi la plus grande ; les termes d’accroissement et de décroissement sont donc des maximum ; il faut donc avoir recours au calcul différentiel pour les trouver.

Soit d’abord l’équation du troisième degré