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En substituant successivement oes tuoisquasin valeurs dans la proposée . \ ..jj.j.. .i*,], .j : >■

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on aurait , pour la première et la dernière valeur de y , des quantités négatives , et une quantité positive pour la valeur moyenne dé x ? ainsi la courbe aurait-un maximum compris entre deux minimum , et on .aurait la ; trace numérique , telle qii’on la vojt ( fig. 7 ). ,.

283. Pour prendre les points d'inflexion, je différentie de nouveau , j’ai

r. i . • : i ru ; j j’i p:»u?.

en faisant cette valeur =0, 1 ai pour, les deux

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points d inflexion,

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Qn voit è[« ’il y aura deyx points d’inôexion , le premier plus loin dé l’origine et que le pre-

mier minimum P M , et le deuxième plus près que. le deuxième minimum P"M". Ainsi la trace numérique a deux inflexions comprises entre le premier et le dernier minimum.

En général , on peut voir que quand toutes les racines sont réelles , il y a autant de maximum ou minimum ([il il y a de racines dans l’équation moins une ; et autant de points d’inflexion qu’il y a de racines moins deux.

Si je différentie l’équation proposée une troisième fois , comme les deux premières, j’ai

dx3

284. On voit qu’J* chaque différentiation , si on fait = o , lés expressions

dy . d\y d3.y dxs d x' ’ d x3 ’

les valeurs qui en résultent , pour x>f perdent successivement un radical de tous ceux qui entrent dans la formule de solution de la proposée ; mais que les radicaux qui restent renferment toujours des relations de coefficiens qui appartiennent à l’équation proposée ; qu’enfin , à la dernière différentiation, on a, pour x , une valeur qui convient aux racines

DU CALCUL DES INEQUATIONS. 4aï

toutes égales , et qui est dépourvue de toute fonction qui constitue l’inégalité des racines. r

285. On peut remarquer que ces différentes valeurs naissent de l’inégalité des racines ; elles sont toutes en fonctions de radicaux qui déter-< minent l’inégalité des racines. Ainsi la méthode générale de solution qu’on a développée dans} la première partie , détermine tous les points d’intersection des traces numériques avec la> ligne des x, et les équations qu’on obtient des expressions différentielles qu’on fait = o , déterminent toutes les variations d’inflexion qui résultent également de l’inégalité des racines.