Quand les racines sont toutes égales
» • 1 9 ■■ , a * ' • . « . it v» J * 1 1 *
1 équation generale équivaut à
jr=p(* + a)"; ,. c
dans cette expression y ne peut être qu’une fois =0; si m est pair, il ne cesse 'pas d’être1 positif, s’il est impair , il ne passe qu’une foi^ du négatif au positif.
Pour obtenir les maximum de cette courbe , je fais la première différentielle = o , j’ai
d’où , : - • I ;■>
Si je substitue cette Valeur dans les différentiations successives , : i
d~x* = m-m~ IP(X + «)" *>
rfV
-j— i ;t= m.m-r- i . WJ — - a /> ( a; + o )"
TO./n — i .m — a.m — 3p (x + a)
,nv-4
=tz m.m — Km— s.to — 3 i.p;
. .. ii. • >
elles seropt toutes égales à zéro, excepté la
V' .%• * II» I' f ° # *
dermere qui ne contient point de fonction de æ. Maintenant , si m est pair , la dernière ex-5 pression différentielle est paire , et comme elle rie peut pas être =0 et que sa valeur est positive , il s’ensuit qu’on a un minimum , et qu’il n’y a point de point d’inflexion.
c La; valeut x — — a , qui correspond au lieu du minimum , étant substituée dans l’équation proposée
y =p(x*, etc. , •:
donne y=o; on a donc une courbe ou une trace de la forme représentée par la fig. 8.
Si m est impair, l’avant-dernière expression différentielle , qui est paire , étant la dernière qui puisse être = 0 , il s’ensuit qu’on n’a qu’un point d’inflexion et point de maximum ,• on
a donc une courbe ou une trace de la forme
représentée ( fig. 9 ).
On peut remarquer que, si m — a 4 la trace numérique sera une véritable courbe , ce sera une parabole qu’on peut construire géométriquement, et non pas par points- . )iA-
287. Supposons maintenant que la fonction de x de l’équation proposée, contienne, des facteurs imaginaires , je considère d’abord quç la fonction de x n’est que du troisième degré , l’expression des deux valeurs de x qu’on a obtenues pour le maximum
x — — y(A — y/ A1 — 3B) indique qu’il y a "encore un minimum et un maximum , si \/ A* — 3 B est réel , et qu’il, jo y en aura point s’il est imaginaire $ car l’expression imaginaire indique , par elle - même f qu’on a commis une erreur en faisant
d’où 'elle est résultée. Mais, dans tous’lés éasv’bn aura un point d’inflexion , parce qu’eu faisant
on a ■ * ■ • ,„1 î . a
qui est toujours réel.
i ;On:aura, pour ces différens cas * des traces numériques qui seront représentées par les fig. ia, 1 1 , 12, i3 ; les traces fig. 10 et n appartiennent au cas où V ^ A* — 3 B est réel , la première des deux quand x, est réel , et la deuxième quand c’est . Celles fig. 1 2 et 1 3 appartiennent au cas où \/ A* — 3 B èst imaginaire , la première des deux quand a:, est réel , la deuxième quand c’est la troisième racine 288. Je viens maintenant au cas où la fonction de x de la proposée est du quatrième degré, en faisant
dy
pour avoir les maximum , on obtient une équation du troisième degré , comme on a vu cidessus (282) ; si ces trois valeurs sont réelles, on aura trois maximum ou minimum , comme dans le cas où toutes les racines de la proposée sont réelles. En différentiant une seconde fois , les deux valeurs qu’on obtient
; *=— J(A=FV^A*-ÎB)
annoncent qu’il y.a encore deux points d’inflexion. Les fig. j 4 et i5 indiquent la forme que doit avoir la trace numérique dans oe cas. La première des deux est pour le cas où la
DU CALCUL DLS INÉQUATIONS. 4^5
fonction de x , dans la proposée a deux facteurs réels et deux imaginaires ; et la deuxième est pour le cas où elle a ses quatre facteurs simples, ou ses quatre racines imaginaires.
On peut toujours s’assurer immédiatement de ce cas par la relation des coëfficiens de la proposée ; il faut pour cela qu’on ait à la fois
2 (A* — (a A3 — 8 AB + iGC)>o,
d’après la formule ci-dessus (282).
Si l’une de ces deux dernières inéquations était négative , il y aurait deux racines imaginaires dans l’équation des maximum , il n’y en aurait qu’un seul , et il est nécessaire qu'il y en ait un ; parce que l’équation des maximum , qui est du troisième degré , a nécessairement une racine réelle. Les fig. 16 et 17 expriment la forme de la trace numérique pour ce cas ; la première des deux convient au cas où la proposée aurait ses deux premières racines réelles , et la deuxième au cas où elles seraient toutes imaginaires.
Si A3 — |B était imaginaire, il y aurait toujours un minimum ; mais l’expression des points d'inflexion
X =■ — -^ ( A rç \/ A* — * B )
4 aG TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
indique qu’il n'y en aurait point ; mais la troisième différentielle
étant = o , donne qui est toujours
réel ; cette différentielle appartient au seul maximum qui reste , et la différentielle d’un degré pair
qui a une valeur positive, indique que c’est un minimum. Ainsi , dans ce cas, la courbe ou la trace aura la forme que l’on voit ( fig. 18 et 19). •
La première des deux est encore pour le cas où la proposée aurait deux racines réelles , et la deuxième pour le cas où toutes ses racines seraient imaginaires.
Ces deux courbes ne diffèrent pas, quant aux variations d’inclinaison , de la courbe ( fig. 8 ), qui appartient à une fonction de x, d’un degré pair dont toutes les racines sont égales.
289. Je passe à l’équation qui contient une fonction de x du cinquième degré ,
y = p(xs + Ax' + B*’ -f Cæs + Dx + E) ,
1)U CALCUL DES INÉQUATIONS. 427
JV; •
- = 5A;44-4AAr34-3BÆ*+2 Car 4 D ,
d’où l’équation des maximum est
x* + ±A*3 + f B a;* 4 -Cx + ÿD = o;
le radical \/ A'* — f B' du quatrième degré, devient
= ±v/A*-iB,
la petite quasi-valeür
devient
= t(A— 3V/A*-IB; en différentiant eiuore , j’ai d* y
— — = 20 *3 + 12 A x% 4 6 Bar 4 2 C , dx'
qui donne , pour l’équation des points d’inflexion ,
at3 4 o, 6 A** + o,3B*40)iC = o; le radical y/ A'* — 3B' du troisième degré, devient •| y/ "A* ■— j B ,
la quasi-valeur
devient
Je ne chercherai point à trouver les relations
des autres coëfficiens; mais, d’après ceci et d’après ce qu’on vient de voir, dans ce chapitre, on peut conclure cette réglé générale.
200. i°. L’équation des maximum d’uneéquation proposée d’un degré n , est du degré n — i ; ses quasi-valeurs dans le calcul des inéquations sont exprimées par les formules de solution du degré « — i; mais les relations des coëfficiens, ou les valeurs de iJH, SC , ÆD, etc. qui entrent dans ces expressions , sont celles qui conviennent au degré m, et le dénominateurgénéral du premier coefficient A, et de tous les radicaux est/n;
2°. L’équation des points d’inflexion est du degré n — 2 , ses quasi-valeurs sont également exprimées par les formule^de solution du degré n — 2 , et les relations des coëfficiens, dans ces expressions appartiennent encore au degré m, et le dénominateur général est encore m;
3°. Il en est de même des équations qui résultent de toutes les différentiations successives qu’on fait =o , et qui appartiennent aux maximum des racines qui suivent , si le degré différentiel est impair, et aux inflexions qui suivent si le degré différentiel est pair. De sorte que les formules de solution que donne le calcul des inéquations peuvent servir aussi à déterminer tontes les variations d’inclinaison de leur trace numérique.
29 1 . La deuxième sorte de courbes ou traces numériques appartient aux équations dans les- -queiles y est affecté d’une fonction de x quelconque , je prends d’abord le cas le plus simple , celui où le numérateur du deuxième membre de l’équation n’est qu’une constante , tel que , -• .
si les racines sont toutes- réelles, elle équivaut à •- ••
1 (ar +• a)(x + + c). . . . etc.
Dans ce cas il est clair que le dénominateur sera = o , et par conséquent’ y infini toutes les fois que la valeur de x tombera sur une des racines de la fonction , il changera néanmoins de sigue en passant d’une racine à l’autre ; la courbe ou la trace numérique devra avoir la forme telle qu’on la voit ( fig. 20 ). Le passage d’une racine- à l’autre est déterminé par deux asymptotes qui ont une direction opposée. Ainsi l’ordonnée la plus près de xt , avant d’y arriver , est encore positive ; mais comme elle est le plus près possible du point où le premier facteur
elle e$t donc la plus grande possible ; c’est donc une asymptote positive , immédiatement après quand x a franchi la valeur de la! pre-*mière racine , l’ordonnée qui est la plus près de ce terme est négative ; mais comme elle est infiniment près du terme où
elle forme donc une asymptote dans une direction opposée à la première. Le même raisonnement a lieu pour le passage des autres racines.
Ensuite , quand la courbe a franchi la latitude de toutes les racines , elle !se prolonge à droite et à gauche par deux asymptotes encore opposées qui s’approchent toujours de l’axe des x , sans jamais les toucher.
En effet , dans ce cas-ci où toutes les racines sont supposées négatives , quand x — o , ou a
abcd etc..
AC
si on augmente x successivement dans la direction positive, le dénominateur ou le produit des facteurs • i ■ . - " T
- (jr 4- a) (a?+ &) (x + c) “ * •'*•
croîtra successivement, et rien ne pourra limiter l’accroissement qu’on pourra lui donner ; la valeur dey décroîtra donc dans la mê-
IUJ CALCUL DES INÉQUATIONS. 43l
me proportion, la trace nume'rique s'approchera donc constamment de l’axe des x.
Il en sera de même vers les x négatifs quand y aura franchi toutes les racines, les facteurs ( jr + a ) (a? -j- b ) etc.
formeront encore un produit qui ira toujours en croissant , il en résultera par conséquent une autre asymptote.
I/équation la plus simple de cette espèce est celle-ci
y=sJL-.
•ri"-* ■ i
la trace numérique qui en résulte est une véritable courbe , c’est l'hyperbole rapportée à ses asymptotes ( fig. 21) ; elle a une origine géométrique.
On voit , par la nature de l’équation proposée , que les maximum de la fonction de x , prise isolément, étant au dénominateur forment des minimum , et réciproquement.
Quant aux racines imaginaires, on voit que toutes les fois qu’il y a des racines imaginaires , • il n’y a point d’asymptotes correspondantes à leur valeur.
En général, les asymptotes tiennent ici lieu de l’intersection de l’axe quand la fonction de x est au numérateur ; le reste suit la même loi , mais toujours dans un ordre inverse.
43a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Enfin je viens à l'équation la plus compli-
quée, et qui est de la forme
p(xm + A xm~' + B#ra~* + N)
y q{x' + AVM- B' 7*-\7 + N' )
Dans la irace numérique qui résulte de cette équation , les racines' soit qu’elles soient au numérateur ou au dénominateur, suivent leur rang numérique , de sorte que celles du dénominateur viennent s’intercaler entre celles du numérateur , pour prendre la place qui leur convient , et forment des asymptotes au lieu d’intersection de l’axe. Soit donc l’équation suivante , décomposée en 'ses facteurs simples :
l’ordre alphabétique des lettres a, b, c, d , etc. y suit le rang numérique des racines, on doit avoir une trace numérique de la forme représentée ( fig. aa ) ; elle se termine par une asymptote le long de l’axe des x négatifs , parce que la dernière racine est au dénominateur ; il y en aurait eu une de même le long des x positifs , si la première racine x + a eût été au dénominateur.
Pour faire voir que c’est ainsi quelesracines se disposent , il suffit d’observer que la valeur
du numérateur ne change de signe qu’au lieu où les racines du numérateur coupent l’axe des abscisses, quand le numérateur 2=0, par la supposition de x égal à une racine, le dénominateur a toujours une valeur quelconque, à moins qu’il ne s’y trouve la même racine qu’au numérateur : dans ce cas la fraction proposée a un facteur commun qu’on fait disparaître. Le raisonnement est le même pour les racines du dénominateur , le lieu de leurs asymptotes est aussi invariable que celui de l’intersection de l’axe pour les racines du numérateur.
Il n’en est pas de même des maximum, des points d’inflexion, etc.; ceux du numérateur sont modifiés par ceux du dénominateur, et réciproquement. Il peut arriver , par exemple » que le lieu d’un minimum , au numérateur , répondît au dénominateur à un point trèsprès de la valeur d’une racine qui rendît le résultat du dénominateur assez petit pour former un maximum au lieu d’un minimum.
Pour avoir tous les points de la variation d’inclinaison de cette trace , il faut différentier successivement la fonction de x, l’équation des maximum se trouve être du neuvième degré ; en effet, cette fonction ayant dix racines différentes , est réellement du dixième
aS
4'3i TIl A ITK ÉLÉMF.NTAÏRF
degré : il a suffi pour trouver ces dix racines de résoudre séparément les deux équations du cinquième degré, du numérateur et du dénominateur; mais il n’en est pas de même pour trouver les maximum , leur position dépend de l’ensemble de toutes les racines.
On voit déjà comme le calcul différentiel sur-compose les fonctions , ce serait bien autre chose, si le numérateur et le dénominateur contenaient des radicaux. On verra comment on peut se passer de ce moyen , qui conduit à des résultats souvent très-compliqués, quand les fonctions de variables sont à un degré un peu élevé. L’on verra que les formules de solution qui ont été exposées dans la première partie suffisent pour développer la théorie des .courbes de tous les degrés.
, Je me suis étendu sur ce premier chapitre , qui, considéré d’une manière isolée , ne présente pas un grand but d’utilité ; mais ici il sert de base à la résolution des équations des différens degrés.
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BC CA.ECÜE DES INÉQUATIONS. 4^5
