Soit pour abréger
m n | Mn AT de le développement Li E mP— pp—1) Pr, (m—+n) LAb 1 re F 1.2 EST) -Fretei]
duquel se tirent toutes les probabilités des ea évènemens composés que peut offrir un nombre P d’épreuves (21), se changera en
e + af + 2e Dépripr.
PPT 1) : EURE, œ MP ere TAN
formule dans laquelle un terme pris isolément exprime la probabilité d’un évènement composé de 4 répété autant de fois que-le marque l’exposant de la lettre e, et de 2 répété autant de fois que le marque l’exposant de la lettre f. ia
Le plus souvent on né fixe pas d’une manière précise le’ nombre de répétitions du même évènement, mais on lui assigne seulement une limite. C’est ainsi qu'on peut chercher la probabilité de h’avoir pas moins de p—1 évènemens À sur le nombre p d’épreuves, énoncé qui admet aussi le cas où il arrive
rait p évènemens À ; et auquel satisfont par consé- 3° édition. 3
34 - TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE quent les deux piemiers termes de la formule eidessus : la probabilité.de ces. évènemens sera donc indiquée par A | noie: ii ep fs, »
somme des deux premiers termes.
De même la somme des trois premiers,
RE 15 Arme DAS PL POIf — e? JE D F L( . 2.
indiquera la probabilité de ne pas avoir moins de p—2 évènemens À, et plus de 2 évènémens B.
Et en sénéral la somine des termes de la formule, depuis le premier jusqu’à celui qui est affecté de e?71f}, c’est-à-dire
Ave, pŒ@—1).-X\p=9+#+1) ep SEPT PE. NE I ee PET fl aa PORT INA DER: U P indiquera la probabilité de n’avoir pas moins de p — q évènemens À, etplus de g évènemens B.-
Si, par éxemple, on demande la probabilité d’amener le point 6 au moins 2 fois dans quatre jets suc cessifs d’un dé à six faces, on fera
, L'Upe or l eg Î =; P= #4; et il viendra pour cette probabilité ë
def 6ef= 3H SELS HR
| RUE entre LR 7 1296 ? age: 8 *
Si l’on eût demandé seulemént d'amener 6 au moins une fois, il aurait fallu prendre la somme des 4 pre- miers termes du développement de (e+f)t; mais
DES PROBABICITÉS. 35 comme e + f—=1, et que par conséquent (e+f)= la somme des 4 premiers termes est égale X 1 — f! : il est donc plus court de calculer directement le terme f pour le retrancher de lunité, ce qui donnera 5t 022 d'Anna | 6e 108. rad. : «TR pour le probabilité demandée ; et puisqu'elle surpasse ; ! ,ilen résulte qu'il est phobable que le point 6 arrivera au moins une fois dans quatre. jets (Q).
La probabilité de l'évènement contraire est fi =. puisque le terme ft, ne contenant pas la lettre e, indique la répétition des seuls évènemens B: c’est die parsa contraire que nous avons déterminé la probabilité demandée; et il faut opérer ainsi toutes les fois que l'expression de la première est plus THE que celle de la seconde.
23. On voit encore par Fexemple précédent comment la Hiopabinte GiAener le point 6 au moins une fois, qui n’était que 5 à la première épreuve, s’est accrue par la répétition des jets du dé, Ce changement peut faire naître la question suivante : April le nombre d'épreuves nécessaire pour qu'un événement acquière une probabilité donnée ? Si Yon demandait en combien de jets: du même dé on obtiendra la probabilité g que le point 6 arrivera au moins une fois, on aurait e=}%, f—=?,qj—=p—:1,etil faudrait déterminer p par la condition que la somme des termes
ep + € Per fl D ht + À fr
fût égale à g ,ce qui ne pourrait se.faire immiédiate-
ment que par: des essais répétés ; mais en, prenant la
probabilité contraire , exprimée par le seul terme f?,
et qui,. dans l'hypothèse proposée, doit être égale à da L
36 | TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE 1—g ou k, on aufal’équation
PR, d’où plosf= log, PE Er
NT CU ERTES ADR AT" Si l’on substitue aux lettres f'et Æ Les fractions -, ; | s'£4.
on trouvera
J’appliquerai cette formule au problème qui paraît avoir été le premier de ce genre que les géomètres aient résolu, c’est celui de trouver le nombre de jets de deux dés, dans lequel il y a autant de probabilité d'amener deux six (ou sonnez) que de ne pas le faire. Pour cet exémple, on a
ÈS k=: = = = ape A | 7 Vi 24,6 ;
ce qui montre que l’évènement proposé est moins probable que le contraire, quand on n’embrasse que 24 jéts, et plus probable, quand on en prend 25.
24. Cette conclusion paraissait fausse au chevalier de Méré, qui proposa le problème à Pascal dont il tourna les méditations sur le calcul des probabilités. Ce chevalier , homme d’esprit, mais étranger aux Mathématiques, croyait que puisqu'il suffisait.de 4 jets pour arriver à une probabilité surpassant 3 1, d'amener le point 6 avec un seul dé, qui n’offrait que 6 chances à chaque coup, le jet ûe deux dés en présentant 36; ou 6 fois 6, il devait suffire de 6 fois 4 ou 24 jets, pour obtenir le même résultat par rapport à l’évène-
ki
nent 6,6 (ou sonnez) ; le contraire Jui paraissait un grand scandale, qui lui faisait dire hautement que les Propositions n'étaient pas constantes , et que lArithmélique se démentait. ( Lettres de Pascal à Ferniat, Œuvres de Pascal, t: IV, p. 419.)
La difficulté précédente , fondée sur l'ignorance bé formes du calcul, n’est pas la seule qu’on ait élevée contre l’évaluation des probabilités dans les épreuves répétées : d’Alembert a voulu jeter du doute sur les prineipes. mêmes. L'exposition et la réfutation d’une seule de ses objections suflira pour les faire apprécier toutes; car elles n’ont obtenu l'assentiment d’aucun géomètre distingué , et elles prouvent seulement qu’il peut arriver aux hommes le plus justement célèbres, de s’égarer même dans un sujet fort simple.
Suivant d’Alembert, lorsqu'on jette un dé à deux faces, que je désignerai par 4 et B , le pari d'amener la face Z au moins une ds en deux coups, n’a en sa
faveur qu’une probabilité © 3 au lieu de 7 que. donne le principe du n° 20 : Car, dit-il,'si l’on amène 4 du pre mier coup , le jeu est fini, et sil on amène au contraire la face B, il faudra jouer le second coup, qui donnera A ou B, en sorte qu’il ne peut réellement arriver que l’un de ces 3 évènemens, 4, BA, BB, dont 2 font gagner le pari (*). Cela M vrai; mais l’erreur consiste à SUPPORTER deux sé la même possibilité qu’au premier : elle est du genre de celle qui a été indiquée dans le n° 18.
En es la probabilité de l’arrivée de 4 au premier
coup est = , Comme celle de 8 ; mais celle des évène-
(*) Opuscules mathématiques de D’ Alembert, tome H, p: 20.
gs PA vd
# 38 | TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE menscomposés ZA et BB qui n’ont lieu qu’au deuxième
J Abby nn coup, est, avant le Dé OH “= :° amst LNE EN7" le joueur qui parie d’ amerier A au moins une fois, a
en sa faveur, avant.ce coup, la probabilité
la même qu’ on obtiendrait en embrassant les quatre arrangemens que présentent les deux épreuves com— binées ensemble, savoir, |
“ AA, AB, BA, BB (. dé
En général il est visible qu’il y a le même nombre de chances dans n jets successifs du même dé, et dans le jet simultané de n dés semblables. Il paraît, par les Lettres de Pascal à Fermat , qu’il était tombé d’abord dans une erreur analogue à celle-que nous venons de relever (**).
25, On peut aussi détérminer les probabilités simples d’après celles des évènemens composés. Par exemple, un joueur ayant reconnu que, dans une partie formée de trois points, il peut en cédèr deux à son adversatre, pour établir entre eux l'égalité, on demande la probabiliié qu'a le premier joueur de gagner un PAGE
Il résulte de l'énoncé, qu’il a la probabilité ! de gagner trois points dé suite, puisqu'il perdrait ‘à partie si son adversaire. en IAE un auparavant : l’on a donc poux! ce ca Ge DAME HIS
