HE 32 AE

ce qui revient à environ 07987» un pe moins de $ Le

fi FA premier joueur ne cédait qu' un point sur trois, alors les chances en sa faveur seraient de gagner les trois points de suite, ou en quatre coups au plus ;'éar s’il manquait deux coups, son adversaire gagnerait la partie ; ainsi l'on aurait +

épfer, où fes r, en mettant pour f, sa valeur 1 —e. Cette équation étant résolue ferait connaître e ; on trouverait 0,0143

environ (%. vis

26. Fa Bhéideretion des divers évènemens composés qui peuvent arriver dans lesé épreuves répétées du même jeu, mérite toute notre attention, parce qu elle fournit, ainsi que l’a remarqué d’abord Jacques Bernouilli dans la quatrième partie de l’Ars conjectandi , et ensuite Condorcet dans ses divers écrits sur le calcul des Probabilités, les meilleures bases que l’on puisse donner à la philosophie de ce calcul , pour fonder l'utilité de ses applications.

Les termes du développement de (m+-n)? quant les chances favorables à chacun des évènemens composés qui, dans un nombre p d’ épreuy es, peuvent résulter des diverses successions d’évènemens simples A et B, il est facile dé déterminer lequel. de ces évènemens composés- a le plus de chances en sa “faveur, et est par conséquent le plus probable. I suffit pour : cel de chercher quel est de tous les termes du Du pement (m + n}, celui dont la valeur est la plus considérable. Avant de passer à la solution générale dece problème, ; je crois à propos d’en donner quelques exemples nu

{*) Doctrine of Chances, page 35.

40 TRAITÉ-ÉLÉMENTAIRE mériques, pour ceux des lecteurs à qui l’Algèbre ne serait pas très familière.

Premièrement, si l’on fait m—=n, le plus ‘grand terme sera celui qui occupe le milieu] de la: formule, quand le nombre p est pair ; et lorsque ce nombre sera impair , il ÿ aura deux termes consécutifs égaux , surpassant tous les autres et placés aussi dans le milieu du développement, comme on le voit eï-dessous dans les premières puissances du binome m + n.

(mn) =m°+2mn + n°,

(m+n)—m43mnt 3mn° + n° (mn)=mi+/{min- Gm'n°+ mn + nt,

CRE SU ET met d'Or" n+ Smniyns. d

Les termes 2rn et 6 m' n° Au milieu de la seconde et de la quatrième devi iennent respectivement 2° et Gm!, lorsque m—n, et ce sont les. plus considérables, parce qu'ils ne diffèrent des autres que par leur coeflicient, qui est le plus grand de tous ceux de la formule. Les termes 3m°n et 3mn* dans la troisième puissance ;, changeant en 3m*, deviennent égaux ; il en arrive au tant, dans la cinquième, aux termes 1om°n° et 10m 2n3 qui se changent én 10m et ont le plus grand coefficient. (

Il résulte de là que si l’on considère un jeu où le nombre des chances soit le même en, faveur de l'évènement À et de son contraire B, les évènemens composés les plus probables” seront 1 fois 4 et 1 fois Z dans 2 épreuves, 2 fois 4 et 2 fois Z dans 4 épreuves, et ainsi de suite lorsque le nombre .des épreuves est pair. Quand ce nombre est impair, il y a dans chaque épreuve deux évènemens composés dont la probabilité est égale et surpasse celle de tous les autres, savoir, ceux d’amener 2 fois À et x fois B, ou2 fois Bet 1 fois 4, dans 3 épreuves ; 3 fois

Aet 2 fois Z, ou 2 fois 4 et 3 fois B, dans 5 épreuves, et ainsi de suite.

Les probabilités de ces divers évènemens seront

: 2 I pour 1 fois 4 et 1 fois B, Po à, | 2 fois À et 2 fois Fi rt pour 2, fois 4 et 1 fois B 1° 3m° 3 ou 1 fois À et 2 fois B j (mm). 8° pour 3 fois À et 2 fois B | 107 :. 10 5 où 2 fois À et 3 fois B |? (mm) 32 16

… Ces diverses probabilités décroissent à mesure que

de nombre des épreuves augmente ; et cela est tout simple, car si chacune est la plus grande de toutes celles qui naïssent du nombre d'épreuves dont elle fait partie, elle ne répond qu’à un seul des évènemens composés, qui se multiplient à mesure que l’on embrasse un plus grand nombre d’épreuves.

Il n’en est pas ainsi pour les probabilités relatives des divers évèneméns composés fournis par le même nombre d'épreuves. Par exemple, la probabilité d’amener plutôt 1 fois À et r fois Z, que 2 fois 4, étant le quotient de la probabilité absolue du premier de ces deux évènemens composés , par la somme des proba-

bilités de l’un et de l’autre (13), on aura

ARS | 1 2 À Z I Fs "6: 3

La probabilité d’avoir plutôt 2 fois 4 et 2 fois 3 que 4 fois À de suite, se trouvera de même égale à

fraction qui surpasse 2. On obtiendrait toujours des résultats semblables en poursuivant le calcul; et on en conclurait la différence de possibilité entre les évènemens composés de la répétition constante du même évènement simple , et celui dont la composition se rapproche le plus du rapport de possibilité des évènemens simples. Le seul bon sens suflit sans doute pour mener à ces conclusions, mais il n’en pourrait donner les valeurs précises, de même qu'il, n'avait pu faire deviner au chevalier de Méré la réponse à la question qu’il s'était proposée : l’emploi du calcul sera donc indispensable toutes les fois qu'il s’agira de déterminer des valeurs résultantes d'opérations. compliquéés ou comprises dans des limites étroites.

27. Les formules générales correspondantes aux remarques du numéro ‘ écédent se présentent d’ellesmêmes , puisqu il ne s’agit que de calculer le terme qui tient le milieu dans Île développement d’une puissance paire du binome , ou les deux qui en prennent la place , quand la puissance est impaire.

L'expression du premier est

PP — 1). Ce

Me ame (+:

| Es mr INR ’ # à

25! L Sad

lorsque = n; celle des autres est

P(P — 1) … (p 1 + ) +1 1) si

+ fais th hi gli LL UE À — ah | pp) (EE +) | Do or

Pour en calculer la valeur, quand p est très grand , il faudrait former des produits composés d’un nombre considérable de facteurs, ce qui devient bientôt impraticable, à moins qu’on ne s’aide d’une formule très curieuse et très commode, découverte par Stirling, ou de celles que Laplace a données dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, années 1781 et 1782 , et dans sa T'héorie analytique des Probabilités : on trouvera la première dans la note I, à la fin du présent Ouvrage.

En l’employant au calcul de la probabilité d’obtenir 5o fois l'évènement 4 et 5o fois l'évènement Z, sur 100 épreuves , on trouve 0,0795892 , probabilité très petite en elle-même, parce qu’il ne s’agit que. d’un seul évènement pris parmi 101; mais si on la compare à celle d'amener 100 fois de suite l’évènement À, on aura |

0; 0790 x x : J —————, "Ou très peu près 1 —

me +0,0796 . 20%<0,0706 ?

ce qui ne diffère pas sensiblément de l'unité, puisque le dénominateur de la-fraction qu’il faut rétrancher de cette unité, étant développé, aurait 30 chiffres.

Ce résultat montre la différence énorme qu'il y a entre les possibilités respectives des deux évènemens dont je viens de faire la comparaison : Mais aussi il faut observer que la probabilité d’amener sans interruption , soit l'évènement #, soit l'évènement B , est plus petite que celles de tous les autres évènemens composés; celles-ci vont en augmentant à mesure qu’on,se rapproche du termé moyen.

28. Lorsqu'il n’y a pas le même nombre de chances en faveur de chacun des évènemens simples 4 et B, l'évènement composé le plus probable est encore celui dans lequel le nombre des évènemens À est’ à celut des évènemens B , dans le rapport du nombre des chances favorables au premier, au nombre des chances favorables au second. ;

Pour bien faire comprendre cet énoncé , prenons m—3,n—2, et faisons successivement p—5, — 10. Dans lepremier cas, le terme le plus considérable du développement de (m+ n)° sera

FA 8 d 1080 1080 10Mm'n"—=1000, et donnera 5. 3:08) environ 3

pour la probabilité d’obtenir en 5 épreuves, 3 fois l’é-

vènement À et 2 fois l'évènement}. Le plus grand terme du développement de (m + n)"° est

10.9.8.7 Ent — 6,)t — 4 — DIE 3.4 mnt 21007 210.3" ;0 | atOfR

d’où il résulte