Le terme général du développement de (m+n} étant

PP 1)(p ‘8, 2)...(p—9+ 1 mP—In1 | (# le

QE PROEMNANTN Lee est précédé par

pP(p— 1)(p— 2)... right Ris... (D 1) J et en divisant la première de ces expressions par la seconde, on aura 1227 qu FCURSS q m pour le rapport de deux termes consécutifs pris à une place quelconque du développement proposé, valeur qui diminue à mesure que le nombre 7 augmente. Cela posé, il est évident qu’un terme surpassera celui qui le, précède, ou sera moindre, selon que | [4 — 1 AUS : Ah LE 24: 18 M — Dr, où <<...

46 TRAIÎTÉ ÉLÉMENTAIRE

Dans le premier cas on aura

Le ke | » pr+n pn—qutn> am, d'où 9 < ET, et dans le second è ee > à pr+a, prn—qgn+n<qm; d'où g> HR

La valeur deg, après laquelle le rapport dont il s’agit deviént moindre que 1 , étant celle où s'arrête l'accroissement des termes consécutifs, donne néces-— sairement le plus grand terme, à partir duquel les autres vont en décroissant vers chaque extrémité du développement.

si Pre

était un nombre entier, en le prenant m+n

pour la valeur de g, le rapport dont il s’agit serait pré— cisément égal à l'unité : il y aurait donc deux termes consécutifs égaux , et plus grands que tous les autres. Dans le cas contraire, il faut prendre pour la première valeur de g, le nombre entier immédiatement au-des-

n+n Aa : À sous de 2 , et qui, par conséquent , en diffère de mn

moins que l'unité : ainsi g est compris entre les nom-— bres fractionnaires ,

pr+n pr—m pr+n a — — A Mn pere OU m+n m+n mn dont la différence est 17 US ï.

m+n Lorsque p —r (m + n), il vient DR n L CEE g< n m£Ln e 2 y18 m +7 .

q est donc le nombre entier rn, et.par conséquent

Maintenant, soit #7 le terme le plus considérable du développement de (#+n) ; la probabilité relative de l’évènement composé auquel il répond , comparé à celui auquel répond un autre terme X, étant exprimée par M 2 KL (r D

approchera d’autant plus de Punité, que X sera plus petit par rapport à A7, ce qui démontre la remarque faite dans le n° 26, en la généralisant, puisqu’ici rm et z sont supposés quelconques.

On voit donc par ce qui précède, que de ious les évènemens composés qui peuvent se présenter dans un nombre r(m+n) d'épreuves, le plus probable comparativement à chacun des autres en particulier, est celui qui répond au terme affecté de m'"n", dans lequel les évènemens À et B sont répétés l'un rm fots, l'autre rn, c’est-à-dire proportionnellement à leur probabilité bhréutas d

30. Après avoir reconnu la forme du terme qui surpasse tous. les autres, il faut encore examiner la marche de ses rapports avec ceux-ci.

Pour cela prenons comme ci-dessus p—r(m+4 n),

lient (Or SAS q

q deviendra rn , et l’expression ——

du rapport de deux termes consécutifs , donnera

rm +n)—-mm+in rm + 1

mm m rm

pour le quotient du plus grand terme divisé par celui qui le précède immédiatement. Si l’on divise parrm, le numérateur et le dénominateur de ce quotient, on

48 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE obtiendra 1 +, quantité qui approche d’autant

plus de l'unité que at nombre r est plus grand. Si l’on prenait le plus grand terme pour diviseur, au lieu de celui qui le précède , le rapport devenant

Sa . SAT I inverse, serait exprimé alors par Len I Lee — Mau: le terme qui suit M, g dan mm +i,et l’on a

fraction qui tend sans cesse vers l’unité à mesure quer augmente.

En passant ainsi à des termes distans de deux, de trois , etc. places du terme 7, on reconnaïîtra sans peine que de chaque côté de ce.terme le décroissement devient de moins en moins rapide, lorsqu'on augmente la valeur assignée au nombre r. De là résulte, dans les environs du plus grand terme, la réunion de ceux dont les valeurs sont les plus considérables , et qui composent la plus forte partie de celle du développement entier.

31-Quand on s'approche davantage des'extrémités de ce développement, on arrive à des termes dont le rap- PR avec M décroït de manitre qu’ on peut toujours assigner à r une valeur assez grande pour que ce rapport devienne aussi petit qu'on'voudra. Voici à peu près comment Jacques Bernoulli a démontré cette im-— portante proposition.

En considérant le plus grand terme 47 et deux autres qui en soient éloignés de r placés, soit avant,

Le

soit après, on aura à comparer les termes: |

” ATEN S eme, F4 mtTEntr, RLLTYRR ET

dont, pour abréger, j'ai représenté les égolciaus par à, w et 2" et si ces trois termes sont. dé signés respectivement par les lettres L,; Met L on aura vi

ee ' pros pie au VS L+ er js: n°

TT (rn—r+ 1)(rn—r +42): mo ?

Mn Cr D CE 0 mn ‘Er Gm=rE 0 (M ETE 2). rm. na,

après la suppression des facteurs, communs. aux:deux termes de chaque rapport. Le second ne diffère du premier que par le changement de m. én net réei= proquement. 12

Cela posé , il faut d abord Et que es SANTE du

rapport peut être rendue aussi grande qu’onlé

voudra ; pour cela on décomposera les puissances. 7” et m' ins leurs facteurs, afin de les iaindre à à chacun de ceux dés coefliciens, ce.qui donnera:

M rmn+rn. DR Ernie se rm, 7 ° , LL rmn—rm+m D ete | -rmn

produit composé de r facteurs. Celui dont le rang est marqué par g, a pour expression

rene re (qi PU, Eu Jet rmn— rm + qm + m :

T9 TR. mn —m+T ;

hotte | cr Ag mars Wéthféténft

lorsqu’ on divise les deux tee par r. Il faut d’abord observer que tôus ces facteurs surpassent l’u- 3° édition. 4

ss

| nité; car si l’on retranchede dénominateur du numé-

Etlur, le reste (mn + n) ( ee 1) += se réduit à

7 quand on y met pour g sa plus grande valeur, r, et

demeure par conséquent toujours positif.

On voit ensuite , que pour une même valeur de g, le numérateur croît, GUE que le dénominateur décroîit, lor squer ou le nb hre des facteurs augmente ; d’où il suit que leurs valeurs augmentent avec leur nombre + et que par conséquent leur produit devient de plus en plus grand.

Enfin, pour une même valeur de r, le numérateur diminuant lorque g augmente, tandis que le contraire a lieu pour le non Et AE il est évident que. les facteurs dont il est question forment alors une progression décroissante dont le premier et le dernier termes , À

mt mn + - WE

mn

mnn

m Mmn—m suis

comprennent entre eux la quantité

mnæ4n mi MOST M :

Or, ilest toujours possible d’assigner la valeur d’un

M} 1\7 , NI 7 nombre g , tel que ( ) égale ou surpasse un

nombre donné c ; car en posant

et passant aux logarithmes , on trouve: A Le TOP NET

Si cette valeur de g n’est pas un nombre PRES on

prendra celui qui la surpasse immédiatement. i Maintenant on peut faire en sorte que le facteur placé

g{1 (+ "is à 0 d’où I= RE

. M au rang marqué par g, dans la valeur de T devienne

m FPE | ù La égal à ; il suffit pour cela de poser l’équation

rmnm—(g—i1)n m1

crmn—rm#gm 4

-et de déterminer r en conséquence. Cette équation, qui revient à

donne

reg PT, r(m+n) = +2 PL +):

Par cette valeur de r, les g—1 facteurs pris sur la

gauche de celle de æ, surpassañt CR 3 qui est égal

à celui du rang g, le produit des premiers multipliés par ce dernier, surpassera nécessairement

) c'est-à-dire le nombre c; enfin les facteurs qui suivent étant tous > 1, le produit complet ou la

valeur de JT Surpassera à plus forte raison le nom-

bre c.

52 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE * Par ce qui précède , on a donc déterminé le nom-

bre r, de manière a en élevant le binome mn à

la puissance marquée par Ft mn); , le rapport T surpassera tel nombre donné qu’on voudra.

ALES, M . s

Pour traiter de même le second rapport Ti? il suf-

fira, suivant la remarque faite à la page 49, de di men n, et réciproquement, dans 4 formules précé—

dentes, ce qui donnera

n + I\1 Es le (Æ ) ra MCE EN CE

qm—m 7

: __f ,9m=m) POTRTN r(m+n)=—= a ni AT + n).

Lorsque cette valeur de r différera de la précédente, ce qui aura lieu presque toujours, il faudra employer

la plus considérable des deux, qui rendra en mème temps

PE qu

M M FT ct T Ar

32. Si, d’après ce qui précède, la probabilité relative de l’évènement qui répond au plus grand terme du développement de (m-+n), augmente avec p,.il n’en est pas ainsi de la probabilité absolue de cet évènement: celle-ci diminue , au contraire, à mesure que le nombre des épreuves augmente, ainsi qu’on l’a déjà vu par des exemples, dans le n° 26; mais pour s’assurer de la chose en général , il faut avoir recours à la formule de Stirling ; citée à la page 43; c'ést ce qu’on verra dans la note I. Admettant ici le fait que cette proba bilité peut être rendue aussi petite qu "on le voudra, en prenant r suffisamment grande, ils’ensuivra la même M.

Ps

conclusion pour les autres probabilités , qui sont toujours moindres que celle-là.

Geci prouve encore que la probabilité d'obtenir un nombre d’ évènemens À plus grand ou moindre que rm d’une quantité constante g, diminue sans cesse et peut devenir aussi petite qu’on voudra; car cette probabilité se compose des termes commençant à celui qui est affecté de m'"+in""-3 et finissant à m°"—In"+3 inclusivement, dont le nombre est 29 + 1, et dont chacun peut devenir aussi petit qu’on voudra.

33. Mais par suite de la réunion des termes dont la valeur est la plus considérable, dans les environs du plus grand de tous, i/ y a une probabilité qui va toujours croissant, c'est celle que les nombres qui marquent les répétitions des évènemens simples À et B, étant comparés au nombre des épreuves, formeront des rapports qui ne s’écarteront pas des probabilités de ces évènemens , au-delà d'une limite donnée.

Considérons d’abord, pour plus de simplicité, le cas où il y a le même nombre de chances en faveur de chacun des évènemens simples, et cherchons la probabilité d’en obtenir d’une composition telle, que le nombre des 4 ne surpasse pas les : du nombre d’épreuves, et ne soit pas moindre que es ? & fractions entre lesquelles se trouvecomprise +, probabilité particulière des évènemens 4 et B, et dont elle ne diffère que de - en plus ou en moins. Si nous ne considérons d’abord que 5 épreuves, la probabilité de ne pas obtenir plus de 3 et moins de 2 évènemens 4 , se trouvera en prenant, dans le développement ( e+f )É la partie

en Yi faisant e = f— ! , elle donnera = —?.