TRAITÉE ÉLÉMENTAIRE

Passons maintenant au cas où l’on embrassérait 10 épreuves, et où il faudrait par conséquent obtenir au plus 6 et au moïns 4 évènemens Z; nous prendrons alors, dans le développement de (Hp), la partie

2 tree 259e5f5 + 91 oe!f”,

dont on trouvera la valeur égale à £Z © 2, qui revient

L’accroissement de la probabilité cherchée est encore fort petit; mais il devient plus rapide à mesure qu’on augmente le nombre des épreuves. Lorsqu'on en considère 100, nombre dont les ? — 60 et les ?— 40, on doit prendre , dans le développement de (e + f}, la partie qui commence au terme affecté de ef°f# et finit au terme affecté de e4°f® : l’opération s’abrége un peu lorsqu'on part du terme du milieu rapporté dans le n° 27.

En représentant par C le coefficient de ce terme, par C;, celui du terme qui vient après, par C;; celui du terme qui vient après ce dernier , et ainsi des autres, on formera l’expression

à 5o | I Cesf5° + Core +C, 2 eff... + CoAlotepre,

où l’on voit comment chaque terme se forme du précédent, et où il faut observer qu’à cause de e= f— +,

cf mie l9 ft ....—ef 6o —

Quant aux 10-termes qui précèdent Ce”°f ®, comme ils sont les mêmes que ceux qui le suivent, ilsuflira de doubler les derniers pour tenir compte des premiers 8 et en s’aidant des logarithmes, on trouvera sans bete

que la somme cherchée est environ £,, panne fort approchante de l'unité. ;

Si l’on avait assigné au rapport du nombre des évènemens À avec le nombre des épreuves, des limites plus resserrées ; on aurait trouvé une probabilité moindre. En n’étendant, par exemple, l’expression RrÉCÉr dente que depuis le terme affecté de e%f# jusqu’à celui qui est affecté de e5f%, on aurait pour limites

55 + 27 OL 45 — + n 25 = 20) Et 66 30) dont LÉ différenceavec+, est seu-

lement 355 mais on n’obtiendrait qu’une probabilité égale à -#-.

Ces résultats ne pourraient être que pressentis par le raisonnement seul ; il faut le secours du calcul pour en déterminer avec exactitude la valeur et même la nature. On peut bien voir aussi par ces exemples, que l’augmentation de probabilité, à mesure qu’on embrasse un plus grand nombre d'épreuves, n’a lieu que pour les limites du rapport de ce nombre avec celui des évènemens d’une espèce donnée, et non pas pour un nombre déterminé d’évènemens composés.

Si l’on cherchait, par exemple, la probabilité de n’obtenir qu’un évènement 4 de plus ou de moins que la moitié du nombre des épreuves, en prenant ce nombre égal à 10, la probabilité demandée se composerait de la somme des termes affectés de eff, e°f”, etf$ dans le développement de (e + f)",'et s’éleverait à 555 environ; tanglis que pour 100 épreuves; la même probabi lité, formée encore de trois termes, savoir, des termes affectés de e°'f49, e%°f%°, ei9f5! dans le développement de (e + f)'®, ne serait plus que d’environ #5, ce qui s’accorde bien avec ce qu’on a vu dans le n° 32.

Au contraire, quandil s’est agi des limites? et ?, dans le rapport du nombre des épreuves à celui des évènemens 4,le nombre des termes composantla probabilité

Re <°

cherchée, a toujours été en croïssant : il yen avait 2 pour 5 épreuves, 3 pour 19, et 21 pour 100.

34. Ce qu'on vient de voir sur des exemples particuliers résulte d’une proposition de la plus haute importance , démontrée, PO la première fois , par Jacques Bernoulti , et qui s’énonce ainsi :

On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, qu’il donneune probabilité aussi approchante de la certitude qu’on le voudra , que le rapport du nombre de FÉPÉRPLORS du méme évènement à celui des épreuves ne s’écartera pas de la probabilité simple de cetévenement, au-delà de limites données, quelque resserréés qu'on suppose ces limites. ” K: |

le} 4) Pour le prouver, soit = la. probabilité d’un évèmn

nement À, p le nombre “x épreuves , qui fournirait m

de évènemens de cette espèce, s'ils se répétaient mn |

exactement d’après leur probabilité simple ; mais sup posons que le rapport, au lieu d’être précisément égal à ———, soit seulement compris entre les fractions mn

ets mn. m++in

,-en sorte que sur le nombre p d’é-

preuves il n’y ait pas plus de Lin p;ni moins de mn x

Ag do p évènemens À ; et pour que ces derniers nom-

bres soient entiers, faisons p =r (m + n). Hs devien-

dront -respectivement rm +- r, rm —r; ainsi dans le

développement de (mi + n)rmtrr, les ar + 1 termes pris

depuis celui où l’exposant de la lettre #2, est rm + r,

jusqu’au terme où cet exposant est 772 — r inclusive-

ment, donneront toutes les chanc es pour les évènemens

DES PROBABILITÉS. 57 dont la composition est renfermée entre les limites assignées ci-dessus. Le plus grand terme du développement se trouvera placé au milieu de ceux que je viens d'indiquer ; car leur ensemble pourra être représenté par

mn... H emenn LM nnET,

Cela posé , il suit de la proposition démontrée dans le n° 31, que la somme des r termes compris entre 47 et Z inclusivement, peut être rendue aussi grande que l’on voudra par rapport à la somme de r termes, pris sur la gauche de Z,, ou en allant vers le premier terme du développement. En effet, sil’on désigne par F,G, H,etc., les termes compris entre Wet Zen allant de Hà L, puispar P,.Q, R, etc., les termes qui précèdent Zen allant vers le premier terme m'"+", comme le rapport des termes consécutifs du développement dont il s’agit, croît en allant vers la gauche, à partir de HZ (29), on aura

ME Slotaf 4 Pi: CG F< p: CS Q'H < RE d’où Me LF G H <P<SG<R etc. ;

mais il est évident que

M. M, M ME DM F8 Lo P+O+R+ec

. M en substituant donc à T° dans le second membre’,

Fi G je 71 D) A: x CC, Qui surpassent tous —, L'ART D PEN

les rapports 7

58 TRAIÏTÉ ÉLÉMENTAIRE

LA ORNE pe te :

mi Pi * je

PP+GO+SR+et P+Q+R+etc. « ? A + . F G H tc.

c’est-à-dire, <<. FF VER ee

il en résultera + <

11 suit de là que la valeeu de r qui rend E > c, ren-

F+G+H<+Hetc.

PH Q+HRE ete. ? °?

dra à plus forte raison

F+G+H+etc. > c(P+Q+R+etc.).

Or, le terme A, affecté de mn", en a rn avant lui ; L, pris r places avant 47, a par cette raison rn — r ou r(n — 1) termes avant lui, qui pourront être partagés en n —1 groupes composés chacun de r termes dont la subordination sera la même que celle qui vient d’être indiquée entre les termes F, G, etc., placés sur la gauche de M jusqu’à L, et les termes P, ©, etc., placés à la gauche de Z, dans le groupe qui précède ce dernier. Si donc on prend c=— i{(n—1), ce qui donnera

F+G+H+etc. >i(n—1)(P+Q+R+etc.),

le premier groupe surpassera z fois le second pris(n — 1) fois, c’est-à-dire autant de fois qu’il y a de groupes, desquels chacun est plus petit que celui qui le précède à partir de A : il est donc vrai que ce premier groupe surpassera au moins z fois la somme de tous les autres. |

On prouverait de même, en posant c = ?(m—1), que la somme des termes pris depuis 4Z exclusivement jusqu'à L', surpasserait # fois les #2 — 1 groupes der

DES PROBABILITÉS. 59 termes compris depuis L’ te dernier terme

sur la droite du développement; si T Les i(m—i1): la

somme des termes compris depuis L jusqu’à L’ inclusivement (sans même y faire entrer le terme M), surpassera donc plus de z fois le reste du développement de (m + ny+rt, En désignant ce reste par R, et posant seulement £R pour la somme des termes depuis ZL jusqu’à L' inclusivement, on aura

AMI HN ee AE Am InntT. 1iR (mes {RTR; Sy z I ee = ——— nommer sud ] z I ‘ 1 Hit Li A

fraction qui approche d’autant plus de Punité, que est plus grand. Aïnsi la probabilité de n’avoir pas plus de r(m+- 1) et pas moins de r (m — 1)évènemens À, c’est-à-dire que le rapport du nombre des répétitions de Æ au nombre total des épreuves, demeure renfermé entre les limites

A m+i de M—I m+n m+n

approchera de l’unité aussi près qu’on voudra.

35. Ces fractions, quoique déterminées en apparence, peuvent représenter des limites aussi resserrées qu’on voudra; il suffit pour cela de mettre à la place de m et de n des nombres de plus en plus grands, ce qui est permis, pourvu qu'ils soient dans lé même rapport que ceux des chances primitives (6) ; c’est-à-dire que, si l’on désigne par n° et m' ces derniers, on pourra faire m— sm, n=— sn; les limites ci-dessus

6o TRAÏTÉ ÉLÉMENTAIRE

deviendront

LA / m PL = sm + Hunt + +

Sn) mn? mn) mn En

on aura en même temps

r(m+n) = rs(m+ n).

On passerait , au contraire , à des limites moins res-

: + mr n , \ 9 C4 serrées, en posantm——, nn ——, d'où il résulte- S

rs rait à m +1. AA M—r M —Ss min mn min min

36. Jacques Bernoulli applique ses formules au cas où m'—3, n — 2 ; il pose d’abord m = 30, n — 20, et cherche le nombre d’épreuves nécessaire pour avoir une probabilité au moins égale à 22° que le rapport du nombre de répétitions de 4 au Hombre des épreuves, sera renfermé dans les limites + et =. Dans cet ÿ. US il faut faire z — 1000; bsninbt alors, dans les formules du n° 31, £(n — 1) à c, pour les termes de M à L, ilen résulte

lifn— 1) __ {2787536 AIT l(m+r) lim EE FS RP

rCm en) = q (+2) + = (m2 + n) << 24729;

et posant c == 1(m— 1), pour ceux de A7 à E, il vient |

DES PROBABILITÉS Gr

li(m— 1) __ 44623980 2e M 211093 me

r(m+n)=q(m+n) 4 je bah nas (me in) = Li . 3

ce dernier nombre étant le plus fort, est celui qu’il faut adopter ; ainsi , en embrassant 25550 épreuves , la prapañhite des limites 5 et © surpassera 1000 ‘

égales à 2%, La ; et, pour ces nombres, qui s’ohtiennent en faisant

Ê— 10000, == 100000, il trouve

31258 et 36966;

ce qui fait voir déjà que la probabilité augmente plus rapidement que le nombre des épreuves: celui-ci croit, dans l’exemple actuel, par des différences constantes et

égales à 5708.

37. L’accroissement de la probabilité avec celui du. “nombre des.épreuves , tenant à celui du nombre des termes dont se compose l'expression rapportée sur la page 99, à mesure que l’on embrasse un plus grand nombre d'épreuves, dépend du facteur r. Si l’on supposait ce facteur constant, et qu’on fit croître l’expression rs(m' + n') par le tâctdur s, ce qui resserrerait de plus en plus les limites assignées à la distribution des

évènemens simples, alors l'expression de la proba- ; P

bilité, ne renfermant toujours que le même nombre de termes, diminuerait de valeur, ainsi qu’on l’a dit dans le n° 32. Entre ce cas et le précédent , il en doit exister un dans lequel r et s variant à la

62 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE fois, et chacun de ces nombres croissant moins ra-

pidement que celui des épreuves , la probabilité demeure constante. *

38. Si la probabilité que le rapport du nombre des répétitions de l’évènement Z au nombre des épreuves sera renfermé entre les limites

m1 AL dm sm 1 SM — I

nm+n m+n sm Lan + n°) 5 s(m 4 n'}2

peut être rendue aussi approchante qu'on voudra de l'unité, à plus forte raison en sera-t-il de même de la probabilité que ce rapport ne sera pas moindre que