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man s(m+n) puisque pour obtenir la dernière de ces probabilités, il faudra joindre aux termes employés à former la première, tous ceux qui précèdent am'"+rnm—r, c’est-àdire, comparer avec le développement de (m2 +n)"+", la somme de tous ses termes depuis le premier, m'etm, jusqu'à à'm'"'n'"+T inclusivement.

Conséquences de la Probabilité mathématique.

39. J'ai exposé dans les Notions préliminaires, comment celle de la probabilité s’établissait dans motre esprit, par l'influence de la répétition des jugemens favorables à la production du même évènement, influence à laquelle il est impossible d’échapper lorsque cette ré- pétition a lieu un grand nombre de fois , en sorte qu il en résulte une probabilité mathématique très voisine de l’unité; et j’ai dit en même temps que le calcul rattachait à ce cas celui. d’une probabilité beaucoup

DES PROBABILITÉS. 63 plus faible (5). C’est en effet où conduit la proposition de Jacques Bernoulli (34), ainsi que l’a fait voir Condorcet, en discutant avec beaucoup de-sagacité, et des intentions bien louables , dans l’excellent discours préliminaire de son Essai sur l’ Application de l'analyse à La probabilité des décisions, la nature de la probabilité. Il a réduit cette théorie aux trois propositions suivantes ;

1°. Sz la probabilité d'un dbbiens surpasse ?, il y a lieu de croire que cet évènement arrivera, plutôt que de croire qu’il n’arrivera pas.

2°. Plus cette probabilité augmente, plus le motif de croire augmente.

3°. Il-croît proportionnellement à cette probabilité. (Z'oyez pag. vij du Discours cité plus haut.)

4o. La première découle immédiatement de la proposition de Bernoulli ; car, puisqu’en multipliant autant qu'il sera nécessaire, le nombre des épreuves, on peut atteindre à une Déabilité aussi voisine de l’unité qu’on voudra, que le rapport du nombre des répétitions d’un évènement , au nombre des épreuves , sera renfermé dans des limites aussi voisines qu’on voudra de sa probabilité , il est démontré par là que si cette dernière est tant soit peu au-dessus de + , il deviendra aussi probable qu’on le voudra ; que le ‘nornbre de répétitions de cet évènement surpassera la moitié du

nombre des épreuves : ses répétitions seront donc plus fréquentes que celles de l'évènement contraire : on sera donc forcé de lui assigner une plus grande possibilité ; et le calcul, en la faisant dériver de la possibilité simple de l'étincnsants en appuie la conséquence $ c’est-à-dire la FRERE répétition du même évènement, sur une probabilité qu’on peut rendre de’ plus en A grande.

64 TRAIÎTÉ ÉLÉMENTAIRE Concevons , par exemple, nn évènement dont la probabilité soit g 5 : ha la transformant dans la frac tion équivalente 5555 , On pourra, par le n° 36, calculer le nombre d'épreuves suflisant pour porter à ooese la probabilité que cet évènement n ’arrivera pas moins - de-1009 fois sur 2000. Sa supériorité sur l’évènement contraire , quoique fort petite en elle-même, puisqu'il. n’a qu’une chance de plus en sa faveur dans un nombre total de 200 , sera néanmoins établie sur une probabilitéégale à celle de tirer une boule blanche d’uneurne qui en contiendrait un million de cette couleur, etuné seule noire. | C’est donc sur un caleul rigoureux que sont fondées l’assertiôn par laquelle se termine le n° 5, et l’acception donnée dans le n° 9, au mot probable. La circonstance que ce mot exprime est en eflet bien digne de remarque, puisque tout partage inégal dans le nombre des chances d’un hasard quelconque , établit dans la répétition des deux évènemens contradictoires une inégalité dont, à la longue, la pr obabilité peut appr ocher aussi près qu’on le voudra de la certitude, | La croyance commandée par une telle probabilité, établit donc la nécessité de croire à une probabilité beaucoup moindre , et fixe en même temps Te sens et la valeur du motif. si dans chaque épreuve considérée .à part, la probabilité d’un évènement l'emporte. peu, sur celle de son contraire, le motif de croire qu’il arrivéra plutôt, que de croire qu’il n’arrivera pas ; demeure très faible; mais lorsque l’on considère d'avance un grand nombre d'épreuves, le développement de toutes les combinaisons qu'elles pi oduisent, donne de plus en plus aux ‘combinaisons où les Haye sim ples sont distr ibués dans des rapports approchans de

DES PROBABILITÉS. 65 leurs probabilités, la supériorité sur toutes les autres. Le nombre des épreuves, et par conséquent presque toujours le temps , entrent donc nécessairement dans l’évaluation du degré de confiance qu’on doit attacher à la probabilité mathématique. De là vient qu’il est contre la prudence de s’ exposer sans nécessité aux chances d’un hasard qu'on ne peut tenter un très grand nombre de fois. Cette règle, indiquée par le simple bon sens, prend ici le caractère d’une vérité mathématique dont l’importance est fixée par le calcul, et fournira dans la suite les moyens d’apprécier numériquement , et selon nos vrais intérêts , les diverses spéculations qu’on peut faire sur les évènemens incertains.

41. La seconde proposition (39) suit naturellement de ce qui vient d’être dit. Le motif de croire à la production d’un évènement doit augmenter avec la probabilité de cet évènement; car lorsque celle-ci croîtra, il faudra moins d’épreuves pour obtenir une très grande probabilité que le rapport du nombre des répétitions de l’évènement au nombre total des épreuves, ne tombera pas au-dessous d’une limite donnée ; ou, si l’on considère le même nombre d’épreuves et la free limite, 6n obtiendra une plus grande probabilité de cette limite ; ou enfin le nombre des épreuves restant le même , la même probabilité répondra à une limite plus élevée , c’est-à-dire qu’elle indiquera un plus grand nombre de répétitions de l’évèneément désigné, et par conséquent une plus grande possibilité dans sa | production , par suite de l'augmentation de sa Len bilité simple. è

42. Quant à la troisième proposition (39), ellesemble assez évidente par elle-même dès qu’ona reconnu quele motif de croire à la production d’un évènement aug-

3° édition. 5

mente avec sa probabilité, et qu’on admet que ce motif ést fondé sur la répétition des jugemens de possibilité (6,7). Elle peut aussi se déduire immédiatement des calculs de Jacques Bernoulli ; car 1°. puisque dans un nombre quelconque d’épreuves, le plus probable des évènemens composés est celui où chaque évènement simple se trouve répété proportionnellement à sa probabilité; 2°. qu’en multipliant les épreuves , on peut rapprocher autant qu’on le voudra de l’unité, la probabilité que le rapport du nombre des répétitions de cet-évènement au nombre des épreuves s’écartera de moins en moins. de sa probabilité, c’est-à-dire du rapport du nombre des jugemens favorables à sa production, au nombre total des jugemens portés sur tout ce que peut amener le hasard dont il s’agit (6), il est naturel de prendre ce dernier rapport pour mesurer la possibilité de l’évènement désigné, ou pour évaluer le motif de croire à sa production ; ét on yést forcé dès qu’on accorde l'influence qu’une probabilité très grande doit exercer sur notre opinion.

43. C’est en considérant la liaison mathématique établie par les lois des combinaisons, entre la probabilité d’un évènement et le nombre de ses répétitions à mesure qu’on en multiplie les épreuves , que Jacques Bernoulli conçut le premier la possibilité de faire servir, d’une manière incontestable, l’observation des évènemens passés à la détermination des .évènemens futurs, et de. donner ainsi au calcul des probabilités un but bien autrement important,que.celui de régler la conduite des joueurs, pour lequel ilavait d’abord été inventé (*). Bernoulli compara les évènemens dont

(*} C’est l’objet de Ta IVe Partie de P Ars conjectandi. Cet ouvrage posthume, imprimé en 1743, contient déjà les principaux

la cause est inconnue ; aux tirages répétés dans une urne contenant un nombre inconnu de billets blancs et de billets noirs, mais qui demeurait le même, parce qu'après chaque épreuvé on remettait dans l’urne le billet qui en avait été tiré, hypothèse fondée sur :ce que le nombre total des évènemens naturels. pouvant être regardé comme infini ,.ne diminue pas sensiblement par l’arrivée d’un petit nombre de ces évènemenus. Il se proposa en conséquence cette question : Chercher si, en augmentant sans cesse le nombre des observations , on faisait crottre la’probabilité d'obtenir le vrai rapport entre Le nombre de: cas dans lesquels un évènement peut arriver, et les cas contraïres ; en sorte que cette probabilité surpassät un degré de certitude donné (*)? I] retint pendant vingt ans dans son portefeuille, la solution de ce problème qu'il regardait <omme le plus difhcile et le plus important de ceux qu’on pouvait se proposer sur cette matière. Quant à son utilité , Les considérations précédentes me.semblent déjà suflire pour la niettre hors de doute ; mais Bernoulli la portait encore plus loin , puisqu'il avait pour but, comme le montre l’énoncé ci-dessus, d’arriver à connâître la probabilité des faits d’après les observations seulement, c’est-à-dire à posteriori, afin d’appuyer sur l’autorité du calcul les inductions qu’on peut ürer de la répétition des phénomènes. À la vérité, il

- fondemens de la philosophie du caleul des probabilités; mais elle

y est demeurée presque ensevelie, jusqu’à ce qne Condorcet lait appelée, perfectionnée et étendue.

, (*) L'expression un degré de certitude , reçue faq le langage ordinaire, ne me paraît pastrès exacte ; mais Bernoulli s’en est servi comme équivalant à la probabilité, qui, étant expriméé par une fraction, tandis que Punité représente la certitude , est pour ainsi dire une portion de celle-ci.

Les

un.

confondait ainsi qu’on le Mine à seeonde section de ce Traité, la manière d'évaluer le s probabilités à posteriort, avec leur détermination à priori, ou par la connaissance des combinaisons ; mais la différence des résultats de ces deux procédés diminuant d’autant plus que le nombre des observations est plus grand, on peut se servir de ceux de l’un pour faire entrevoir ceux de l’autre.

En effet, les formules de Bernoulli, montrant que dans une ob suite d'épreuves du même hasard, la distribution dés évènemens simples tend sans cesse à se rapprocher du rapport indiqué par leur pr obabilité, détérminent ainsi avec une probabilité de plus en plus grande, la condition de l’urne d’où sortent les évènemens observés , et lient à des probabilités très voisines de l’unité les ét bretsés répétitions du même évènement ; en sorte que la croyance au retour de cet évènement est commandée par le calcul comme par l'habitude , mais alors sur des motifs de valeurs com-

parables.

44. En insislané comme je viens de le faire, sur les notions précédentes de la probabilité, Cote crut devoir rappeler qu il n’y a pourtant « aucun rapport

, direct et nécessaire entre la probabilité d’un évène- » ment et sa réalité » (voy.. p. x du Discours cité p. 63); et pour le prouver, il observe que quoique le sort eût déjà prononcé sur un évènement, il ne sortirait pas du domaine de la probabilité à à l'égard de toute personne qui ne connaîtrait que la condition du jeu qui l’a produit, et qui serait restée dans lignorance du fait arrivé. Si, par exemple, d’une urne contenant 10006 billets blancs et 1 noir, on extrait un billet, et qu'après en avoir reconnu la coblaur, on le replie pour le montrer à quelqu'un qui n’était pas présent au

DES PROBABILITÉS. 69 tirage, cette peau ne pourrait affirmer autre chose

sur ce billet, sinon qu’il y a une FrAbABNS 55 2 qu'il est blanc, et seulement une probabilité += qu'il est - noir; néanmoins l’un de ces deux évènemens est certain pour les personnes qui ont déployé le billet en le sortant de l’urne : ainsi un évènement certain pour ces personnes peut n’avoir qu’une très petite probabilité pour la première. L’ignorance du fait introduit ici la probabilité à la place de la certitude, et laissant l'esprit dans le même état où il se trouvait avant la’ décision du sort, le jugement ne saurait être porté que sur la connaissance des conditions de l’urne. Mais ce que Condorcet n’a point fait remarquer, c’est que; soit qu’on fasse prononcer ce Jugement avant ou après les tirages , s’ils sont exécutés avec fidélité, la personne qui ne les aura pas vus aura toujours la mème probabilité de ne‘pas se tromper sur un nombre donné de jugemens, dans un nombre donné de tirages ; en sorte que la liaison de la probabilité avec la répétition des évènemens , conserve toute sa force dans ce cas comme dans les autres; et c’est vraiment sur cette liaison que reposent toutes les applications légitimes du calcul des

probabilités.

45. Avant de terminer ces'remarques, je rappeflerai que lorsque les diverses chances d’un'jeu sont rigoureusement d’une égale possibilité , tant par la construction des instrumens aléatoires que par la manière de s’en servir, les éyènemens passés ne sauraient avoir aucune influence sur les évènemens futurs. Si, cependant , d’après des épreuves réitérées, on aperçoit une fréquence marquée dans l'apparition de certaines chances , il y a lieu de penser que la constitution de l'instrument, ou l'habitude de celui qui l’emploie, détermine cette fréquence ; mais la recherche de sa

‘70 * TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE probabilité rentre dans celle des probabilités à postertort. | Lorsqu’ona lieu de soupçonner d'avance quelque inégalité de ce genre, il est tout naturel d'attendre plutôt la répétition de l’évènement qu s’est offert le premier, puisqu'on doit croire plutôt à à l’arrivée du plus probable qu’à celle de l'autre. Il n’est pas plus difficile d’apercevoir que toute inégalité entre les probabilités doit favoriser les répétitions du même : ce n’est là qu'une conséquence de la proposition dé Bernoulli, que le bon sens indique suflisamment;"mais |” appréciation de effet de cette inégalité se fait: d'une manière très simple, ainsi qu'il suit. re

Soit e la probabilité exacte qu’aurait unévènement 4, d’après les conditions du jeu qui le produit, et e’ la différence en plus ou en moins entre cette probabilité et celle qui a lieu réellement; la probabilité d’amener : n fois cet évènement étant e", deviendra (e+-e‘)", si l'erreur -est par excès, et (eze’)", si c’est par défaut ; inais si l’on sait seulement que l'inégalité existe , sans savoir dans quel sens elle:se trouve, et qu’on regarde comme épalement probable qu’elle soit additive ou soustractive, on aura pour la répétition de l’évènement À, dans la première hypothèse ! Lee)", dans la seconde :(e—e’)", et pour la probabilité totale,

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développement dont tous les termes sont additifs. Ainsi cette probabilité surpasse là probabilité primitive e". On trouverait un semblable résultat pour la probabilité de Ja répétition de l’évènement contraire ,

DES. PROBABILITÉS. MM, 7x

exprimée alors par le développeiens de 3 f—e)" 5 (f + € CR 1

L'augmentation qui a lieu dans ce cas pour r une et pour l’autre de ces probabilités est prise sur celles des évènemens composés du mélange des deux évènemens contradictoires : cela peut se voir aisément. Dans le cas de deux épreuves ; par exemple, la probabilité 26f d’ainener la combinaison 4B se change en