a(é+e!) Fe .2 (e—e') UT de —=26f— 2e

Questions pour servir d exemples, de La bon tn à Or: des probabilités,

46. Montmort dans son 4nalyse des Jeux de hasard, et ensuite Moivre dans sa Doctrine of Chances (*), ont résolu un grand nombre de problèmes sur: les jeux de hasard ; mais il n’entre point dans le plan que je me suis has » de m’arrêter beaucoup sur.ce genre de questions, parce que la plupart exigeraient d’assez grands détails pour faire connaître les conditions des jeux qu’elles concernent, et que d’ailleurs une partie de ces jeux est passée de mode, ou inconnue à presque toutes les personnes qui chhsndent leur temps à létude. Les,exemples que je crois nécessaire d’offrir à mes ete , seront donc des problèmes tenant à des combinaisons simples, ou susceptibles d’être énoncés en termes généraux , êt choïsis pour donner une idée

(*) Ces dernières remarques sont tirées de la Théorie analytique des Probabilités, par Laplace, pages 185—186.

(**) Le prés de ces ouvrages a ex deux éditions : la dernière est de 1713; le second ouvrage, écrit en anglais, à eu trois éditions, dont la Pesiiéee ést de 1756. ù S

Ls 74

72 8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE des divers procédés de calcul employés dans. cette branche des Mathématiques.

Soit proposé d’abord de déterminer la probabilité qu'en prenant au hasard dans un tas composé de mn pièces, on en Olera un nombre pair ou un nombre impair ? Cette question peut être donnée en exémple de la nécessité de se défier d’un premier aperçu. Ne seraitil pas naturel en effet de penser que sa solution ne dépend que de la quantité de nombres pairs et de nombres impairs compris entre 1 et m2 inclusivement? Si m était D, par exemple, comme il y aurait 3 nom-— bres impairs 1, 3, 5, et seulement 2 nombres pairs 2, 4, on dirait que les probabilités sont pour les premiers et © pour les seconds ; et si m était égal à 4, comme on aurait alors 2 nombres impairs et autant de pairs, les deux probabilités seraient égales à ou +. | |

Il n’en est pourtant pas ainsi ; car, en considérant la chose avec attention, on voit que c’est suivant les-diverses manières dont elles peuvent se combiner les unes avec les autres, que les pièces d’un tas viennent sous la main, et non pas d’après les diverses manières de partager en deux parties le nombre des pièces de ce tas. Pour le montrer, nous désignerons ces pièces par les lettres a, d, c, d; elles pourront se combiner en nombre impair, soit 1 à 1 ou.3 à 3, ce qui fournira les 8 combinaisons

a, b, c, d, abc, abd, acd, bcd,

et en nombre pair, soit 2 à 2 ou les 4 ensemble, ce qui fournira les 7 combinaisons

ab, ac, ad, bc, bd, cd, abcd.

Chacune de ces combinaisons pouvant tomber égale-

ment sous la main, il en résulte que la prb pour “get 4 un nombre impair de pièces est À, et seulement - pour un nombre pair.

Méitcaènt si l’on se rappelle que les coefficiens des termes du développement de (æ+a}", à partir du second terme, donnent le nombre des combinaisons de m choses prises 1 à r, 2 à 2, 3 à 3, etc., on aura m(m—1) (m—

2) v + — Ra etc. — 7],

pour la totalité des combinaisons en nombre impair, et

PRO RRDMRE TE TL EP: nu

pour celle des combinaisons en nombre pair. Après avoir ajouté ces deux expressions , il sera facile de reconnaître, dans leur somme, tous les termes du développement de (1+ 1)", à l’exception du premier ; d’où il résulte que

éh = (HI) 20 —7.

En retranchant la première de la seconde, on aura P—I—(1—1)"—1=—1, d’où l’on conclura sans peine 2 Pom 1 :

et par conséquent si l’on représente par € la probabilité d’ôter du tas un nombre impair de pièces, et mE LÉ celle d’en ôter un nombre pair, on aura

Aa

, ee e.

La première de ces probabilités surpasse toujours la seconde , mais leur limite commune est +, lorsque le nombre m est supposé infini. Les calculs précédens sont tirés d’un Mémoire que feu Bertrand, de Genève, a présenté, en 1786, à l’Académie des Sciences de Paris , et qui n’a pas été imprimé ; la question se résout aussi par le calcul des différences. Voyez la note II, à la fin du présent Ouvrage.

47. Les probabilités simples des chances de la loterie de France ne dépendent que des coefliciens des 2°—6° termes du développement de la puissance du binomne ; et le calcul en est si aisé, que je ne m’y arrêterai pas ici, devant d’ailleurs y revenir pour comparer les mises avec les gains : voici sur la même loterie un problème dont la solution est un peu moins facile.

A chaque tirage il sort 5 des 00 numéros contenus dans la roue : la POUCRAE de la sortie d'un numéro donné, est donc ?- ou —; on a mis sur 2 numéros , on demande la probabilité qu’il en sortira au moins 1? La réponse n’est pas +; car sur ce nee en ne prenant que 18 numéros, on arriverait à +, ou à la certitude qu’il en sortirait 1 des 18, ce qui est absurde : mais un tirage étant une combinaison de 5 quelconques des 90 numéros de la loterie, peut avoir lieu de