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ou qu’il en sortira

not ANR X + X 90.80.88.87.86 4213, ne DAS À En ds 90 RE g6 2076, 3... Ex x gs 00476 4. 7x Here * go ne ler ig gite 18.17.16.15.14 22,8... PIS à

la somme des cinq dernières probabilités, ou, ce qui est plus simple, l’excès de l’unité sur la première, égal à 2, donnera la probabilité qu’il sortira au moins 1 des 18 numéros choisis.

5o. Huygens, l’un des premiers géomètres qui se soient occupés du calcul des probabilités, a terminé l'écrit intitulé de Ratiociniis in ludo aleæ (Opera varia, tome IV, page 727) par cinq problèmes , pour quatre desquels il n’a fait qu’indiquer les nombres de la solution, et dans le second, il n’a rien ajouté à l’énoncé que voici : 7 rois joueurs À, B,C , ayant réuni 12 jetons, dont 4 sont blancs et 8 noïrs , conviennent que celui d'entre eux qui, les yeux bandés, tirera le premier un jeton blanc, gagnera. C’est À qui doit tirer le premier, B le second, et G le troisième; on demande la probabilité que chacun a en sa faveur ? Cet énoncé a présenté deux sens différens à Montmort et à Moivre (*). Le premier croyait que le jeton tiré devait

(*) Voyez l’ Analyse des jeux de hasard de Montmort, page 364, les Miscellanea analytica de Moivre, page 199, et PA4rs conjectandi de Jacques Bernoulli, page 57:

78 TRAITÉ ÉVÉMENTAIRE être remis chaque fois au tas , afin que les probabilités restassent les mêmes dans toutes les épreuves. Moivre pensait le contraire; et dans ce sens, qui complique un peu la question, il l’a résolue fort simplement au moyen des probabilités composées : c’est ce qu’on va voir. |

Soit »# le nombre des jetons blancs et 7 celui des jetons noirs. Au premier tirage, où le nombre des jetons de chaque espèce est complet, il y aura pour la sortie d’un jeton blanc, ce qui fait gagner À, la probabilité

HER la sortie d’un jeton noir ,—"— ..

mn , et pour las ] le Ni ” Cette dernière probabilité sera aussi celle du second tirage, dans 1squel le nombre des jetons noirs, diminué de celui qu'a tiré le joueur 4, sera réduit à n—1. En conséquence, les probabilités dans ce tirage seront

m Serre TN 1 mHn— 1

d'amener un the blanc,

d’amener un jeton noir ;

il faudra les multiplier par la probabilité particulière du tirage pour avoir celles des deux évènemens qui en résultent (16), et cela donnera les probabilités

Let

mn om

m+n MmÉn—i1

en faveur de B.

71 1 MAI | contre B, ou celle du 3° tirage.

Mn Thé pl .

Si. B amène un jeton noir, il n’en restera plus au tas que n—2; et en raisonnant pour ce tirage comme

pour le pr écédent , on trouvera les probabilités

N(T—1 de > APE Loi huis 4 VAR Liu en faveur de €, {m+n)(m+n—1) m+4+n—2

1—] There 2 $ :

as mp. Contre C, ou celle du 4° ti-

(mn) Om+n=—1) ‘m+n

rage. Si € n’amène qu’un jeton noir, À tirera de nouveau, du tas où le nombre de jetons noirs sera réduit àn—3:il aura donc la probabilité

n(n—1)(n—2) m (m+n) (m+4n-—1) (mn+n—2) LE n(n—1)(1—2) n—

(m+n) (m+n=3) (m£n—2) es n—3

de gagner, T3 de ER

* En continuant ainsi, et pour abréger faisant mnt,

on formera la suite

m mn mn(n—1) MT PE) NEA (ral mn(n— 4) (n—2) mn (n—1) (n—2) (n—3)

E(i— 1) (é—2) 3) Ki) (2) (3) (CL) mn(n—1)(n7—2) (n—3)(n—4)

LG 1) (2) (3) (4) —5)

» CiC.,

dans laquelle les 1°°, 4°, 7°, étc., termes expriment les

probabilités en faveur du joueur À, les 2°, 5° 8°, ete.

| les probabilités en faveur du joueur B ; enfin les 3°

6°, 9°, etc.!, les probabilités :en faveur du joueur C. Le jeu finit au plus tard lorsque le nombre des jetons noirs, est épuisé ; puisque alors il n’y à plus d’incertitude sur celui des joueurs qui doit gagner, | et la probabilité totale pour chaque joueur se forme en ajoutant celles qu’il a dans chaque tirage. Le,calcul des termes

de la suite indiquée devient très facile quand. on rap-

porte chaque terme à celui qui le précède ,.comme je J'ai fait dans le n° 33. ent

00 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE Les nombres proposés par Huygens donnant MISNINUINRSS D, JEU:

on trouvera pour le joueur 4 la probabilité 8.7.6 8.7.6.5.4.3

4 sù # 8.7 À 4 7 sr 5 12 12/HL.40.9 7 32,11.10.0.6.7.

pour le joueur 2, la probabilité

ABLE Lite bu 8.7.6.5.4.3.0

IRD A2 UN DSP ARLrS 11.10.9.8. 7.6.5”

‘pour le joueur €, la probabilité

4 8.7 4 8.7.6.5.4 4 8.7.6.5.4.3.2.1 FAUNE 12 11.10.9.8.7 12 11.10.0.8.7.6.5.4"

Réduisant toutes ces fractions au dénominateur com- : un le plus simple qu’elles puissent avoir, les sommes ci-dessus deviennent respectivement