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et en les ajoutant on trouve l’unité, puisque les probabilités qu’elles expriment renferment tout ce qui est
possible.
5r. Les épreuves répétées que suppose le problème dont jé viens de rapporter la solution, se rapportent à celles que j’ai considérées dans le n° 21; le nombre des chances diminue à chaque épreuve. Ce. genre de hasard ne peut être assimilé au jet des dés : il revient au tirage dans une urne où l’on ne remet | point les boules qui-en sont sorties. Les formules qui, | dans cette hypothèse, remplacent le développement
des puissances du binome m+n, sont assez remar- |
quables pour trouver place ici.
Soit une urne contenant 2 boules blanches, n Poules noires ; si l’on désigne par À la sortie d’une boule blanché , par 2 ces d’une boule noire ; que pour abréger on fasse mnt, et que ont ait;-soin, après chaque tirage , d’ôter 1 tant du nombre total des boules que du nombre de celles qui-sont de la couleur supposée sortie à ce tirage, on trouvera pa le principe des probabilités composées, les suivantes :
Au 1° tirage,
.m & n | pour À, T2 pour B, pe ” si
. à Au 2° tirage,
on 4 Ra pour AB, au 3° tirage, | pour AAA, , Part Di | | ABA, RE PS TR ad em,
(Te (—2).
L'examen attentif de ce petit nombre de itties suffit: pour faire connaître la loi suivant laquelle se composent toutes les probabilités des diverses successions des évènemens 4 et B. Ici, comme dans le n°21, les coefficiens s’introduisent ane les successions mé
3° édition. bd :
langées, dès qu’on fait abstraction de l'ordre des évè- |
nemens : la probabilité d’obtenir 2 évènemens 4 et
0e LE Perd m(m—i)n
1 évènement B., par exemple , sera 3 =:
ANPOOREMRRONPA + FT) (5)
‘ D’après cette observation ; on verra facilement que
la probabilité d'obtenir, dans un nombre p d'épreuves,
pag évènemens À, et. évènemens B , sans distinction |
d’ordre, sera exprimée par j |
POEDADEL ER LS q m(m—1).….[m=æ(p=9)+1)Xn(r-r)... (gr) æ) t(i—r). ss... (i—p+1) |
2. La théorie des permutations et des combinaïsons: est, comme on l’a dû voir dans la plus grande partie de ce qui précède, un des moyens les plus féconds pour. résoudre les problèmes concernant le calcul des probabilités. Cette théorie, servant de fondement à la démonstration la plus élémentaire de la formule du binome de Newton, se trouve dans les ÉZémens d’ AIgèbre; mais on n’y partage qu’en deux groupes la totalité des lettres dont on cherche les arrangemens divers; et pour s'élever à toute la généralité que le sujet com+ porte, il faut, déterminer ce qui doit arriver lorsqu'on | partage en un nombre quelconque de groupes, le nom-| bre delettres donné. Les formules propres à cette détermination se trouvent dans le développement des: puissances des polynomes. / ,
En raisonnant sur les produits des trinomes
dE OE d', at +0" Æet, at 4 DE ef, ete!)
+} Gatte. formule a. été indiquée par, Laplice, dausiles, Hé
moires des Savans étrangers, t. IV, page 623.
DES PROBABILITÉS. | NE à comme on l’a fait dans le n°gx , sur ceux des binomes
mLn, m'+n, m We ñn', étet, on verra, par les lois de la multiplication, que ces produits comptéttiént tousles arrangemens qu’ on peut faire : des lettres
À 0 6 D 05 ©, d'p 07, Cr ete.
en en prenant une AE chaque facteur du produit. Il suit de là que si les lettres a’, 4’, c’, a", etc. , désionant respectivement le ATTEE de chances qui amènent les évènemens 4, B, Cala 1”°, à la 2° àla3°,etc., “preuve, un produit are a'b"c"b!", par exemple, féra connaître le nombre de chances qui répondent à la succession d’évènemens simples désignée par ABCB.
Quand on supposera que
f=a"—a"... —a, b'—= ‘is D"... db, 6 cc"... 6, le produit (a+ b' He") (a" + + c”)(a" + b" + c") etc...
se changera dans le trinome a Æ b + c élevé à uné puissance marquée par le nombre des facteurs, ou, ce qui est la même chose, par celui des épreuves; un termé quelconque de ce produit, a’ b" c" bY devenant ab, se trouvera répété “tar de fois qu’il est possible de former des produits différens contenant les lettres a ét c ! 1 fois chacune, la lettre b 2 fois, et soumises alternativementaux accens”, ”, 7, ‘...., portés jusqu’au nanebre marqué par celui des HS CHTUEE
Soit » ce dernier nombre; l’expression du np. général du développenient ê (a + b + c)''étant,
84 TRAÎTÉ ÉLÉMENTAIRE | à |
NU ET | à —— —— œbic! gen ( 1.2...) XX Tag DC Te BeeiT absc?, si p +4 n (*),
on a pour le terme ab°c, .
y n=4, pP=1i, 922, Ti;
ainsi le coefficient de ce terme est r2.
” Si donc on fait abstraction de l’ordre dans la succession dés évènemens , le terme 12ab°c, dans le développement de (a+ b+c)t, exprimera le nombre de chances pour obtenir, en 4 épreuves, les évènemens 4et C, chacun 1 fois, et l'évènement B, 2 fois. |
Le coefficient 12 , provenant de la réunion de termes contenant 4 facteurs différens qui peuvent se partager en 3 classes, savoir, celles des a, celle des b et celle des c, indique, dans la réunion de ces termes qui laisse subsister les classes , le nombre de manières de partager 4 choses en 3 classes ou groupes, dont 1 est composé de 2 de ces choses , et les 2 autres de r seule. :
De même le terme général
1,2. e vevt aPbic' 1.2...D XX 1.2... XK 1.2.7 ‘
exprime le nombre de chances pour obtenir sur un
nombre p+g + r d'épreuves, p évènemens À, q évè=
nemens 2, r évènemens C; et le coefficient qui multi plie æbic', indique le nombre de, nanières de distri= buer p + g + r choses en 3 grôüpes, dont le 1‘ en comprenne un nombre p, le 2° un nombre g et le 3° un. nombre r. ! .
(*) Voyez le Complément des Élémens d'Algèbre, ou bien | VIntroduction placée à la tête du premier volume du Traité d Calcul différentiel et du Calcul intégral.
DES PROBABILITÉS, 85 53. Cette dernière proposition se prouve directement , en observant que p + g+r choses peuvent
être cohibinées P à P) en un, nombre de manières, égal à
(p+g+r) VASE TEUEN EE
PR dej da su
et qu'en ôtant p choses sur p + g + r, il en reste g9+r qu’on peut encore combiner entre elles en nombre q; d’un nombre de manières égal à
| GED +r= ms n, FE sea ET
on aura donc en tout un nombre
(p+g+r) (p+qg+r—i)., ri) Fadlie DCR EMI
de manières d’ôter de la totalité des p + 9 + r choses, deux groupes, le 1°* contenant un nombre p et lé 2°un nombre g de ces choses. Si l’on écrit au numérateur et au dénominateur de l’expression ci-dessus, les' facteurs DE IR OCT et qu’on y change p+g+renn, ôn retombera sur la formule du n° précédent.
On aurait les arrangemens au lieu des combinaisons,
si l’on supprimait les dénominateurs. |
54. En général, tout ce qui regarde les épreuves ré pétées pour un nombre quelconque d’évènemens simples, est compris dans le développement des puissances d’un polynome formé de la somme des nombres qui : expriment les chances d’où résulte chacun de ces évènemens.#
* Si l’on pose p + g +r4+s+1i=n, le terme gé- :néral du développement de (a + b he + d+ AE
étant
je
806 TRAULÉ , ÉLÉMENTAIRE "} ! | | Fr FA a Ai] 78. Ve
RRQ PRO EUMEEN TE 7" — atbtcïde”, res g.2+29 TA 2. !S.1.2..
donne le taie des chances qui peuvent hp ed V’é-, vènement composé d’un nombre p d’évènemens 4,
| C'RORTARE À de À MIRE: CA OS TE LA
Lt à *
là probabilité de cet évènement composé s’obtiendra donc en divisant l’expression ci-dessus par. ...7..... | (a+ b+ c4+d+'e)", nombre total des chances.
IL suit de là que pour avoir immédiatement cette probabilité, on peut substituer auxlettres 4, d, c, d, ee qui marquent le nombre des diverses espèces de chances dans une épreuve, les probabilités simples qui en. dérivent. .
Le plus probable des » Fer composés que peut: amener le même nombre d'épreuves, est encore celui dans, lequel les évènemens simples entrent proportion nellement à leurs probabilités respectives. Si, par exemple ; On ne considère que 3 éyvènemens cables: et. qu’on fasse n —=m(a + b +. c), il sera facile de voix que le plus grand terme du développement de (a + b+c)"G+5+c), est, le terme affecté de.arcbmbore : ear en faisant d'abord b. + ec = 8, et développant (a + ACTE on aura pour le plus grand terme, çer, lui qui est affecté de ag" À (29); mais ilpeut se développer à son tout en substituant à 8% le développerent dé (8 + eÿ"b +0 Gont le plus grand
terme est celui qui est affecté de pb M6 : ainsi Le plus. [ui € | P
grand terme du produit a"tg"Ë sera celui qui est
affecté de a”pbeme
55. Pour donner une idée de la multitude à la quelle peut s'élever le nombre des combinaisons, lors mème que les élémens n’en sont pas très notibteux., je vais chercher en combien de manières les 32 cartes d’un jeu de piquet peuvent se distribuer entre les deux joueurs, qui, comme l’on sait , en prénnent d’abord chacun 12, etentre les deax paquets qui forment le talon, dont l’un contient Scartes et l’autre 3. Le nome bre demandé étant le coefficient de a"b'2543 dans le développement de (a + b ouate “+ d}#, a pour expression “
