Le 248 FRE NTRA si
Ce nombre étant divisé par 6f — 1296 , qui marque celui de toutesles chances possibles dans le jet simultané de 4 dés, on aura la probabilité 2%, 'environ --, d’amener avec ces dés le point 16.
En ne supposant que 3 dés, et cherchant le nombre de manières d’amener les RM 3, 4, 5, 6, 7, 8, get 10, on prendra successivement pour p, À rad des nombres
2, 9) 4, 5, 6, 7 8, 9; et, par ces valeurs, on trouvera les suivantes : 20.110 8590:20
dont la somme 108 est moitié de 6 — 216, nombre total des chances : il est donc également probable, avec 3 dés, d’amener dans un seul jet un point inférieur à 11 ou supérieur à 10. Cette remarque est le fondement du jeu nommé passe-dix.
57. La recherche de la probabilité que tous les numéros d’une loterie seront sortis après un nombre donné de tirages, problème qu’Euler et. Laplace ont résolu par des moyens différens, offre, dans un énoncé simple, une question curieuse.
La considération du polynome y serait applicable aussi; mais ne me paraissant pas devoir mener facile-
ment à la solution générale, je vais passer à l'ex plication de la formule donnée par Euler (Opuscula analytica, t. IT, p. 333). On trouvera dans la note II la solution de Laplace.
Soit m le nombre des numéros dont se compose la loterie, et dont il en sort i à chaque tirage; on demande la probabilité que tous seront sortis dans n tirages ?
Les chances égalément possibles dans un tirage sont toutes les combinaisons qu’on peut faire des mnuméros, pris en nombre z: celui de ces chances aura donc pour expression
à Ci 4? RAA ct 1 à 1.2.3
Désignons-le, pour abréger, par P,, afin de pouvoir représenter par Pn 1, Pm-a, etc., ce qu'il devient quand on y change men m—I1,mMm—2, elc.; et pour éviter toute confusion, substituons M lettres a, b, c, d, e, etc., aux numéros de la loterie. Cela posé,
n tirages donneront (P,,)" — P? arrangèmens des
premières chances prises n à n, parmi lesquels se trouveront compris, tant ceux qui contiennent toutes les lettres, que ceux où il en manque quelques-unes ; ; la question se réduit évidemment à soustraire ces derniers du nombre total, pour arriver à l'expression du nombre de ceux qui Fennlisent la condition du problème. Ilest d’abord évident que les arrangemens qui ne contiennent pas une lettre désignée, a par exemple, se trouveraient tous dans une loterie formée des m3 — 1 lettres restantes; qu'ils sont par conséquent au nombre de P"
Ty 1 ?
et qu’en exceptant ainsi chaque lettre à son
tour, on aura déjà mf°, arrangemens à ôter de
P", ce qui donnera <
P" nee e P"
Mais il faut observer que parmi les arrangemens qui ne contiennent point la lettre a, se trouvent ceux qui ne-renferment en même temps ni a, ni b, qui de même se, trouvent aussi parmi les arrangemens ne renfermant point d: chacun de ceux où il manque 2 lettres
a donc été retranché 2 fois, lorsqu’on a êté de P° les
arrangemens où il manque une lettre; or, les pre-
miers, qui sont au nombre de RAR SCT P°,,n’au-
raient dû être retranchés qu’une seule fois : il faut donc les ajouter r fois à t’expression formée ci-dessus, et l’on aura
m mm — P” AT P” + ( ) 4 ‘
m 14 M— 1 1.2 mn 2
Les arrangemens où il manque 3 lettres, a, D, €, par exemple, ont été retranchés d’abord 3 fois ; savoir , avec ceux où 4 manque, où à manque, où c manque ; ils ont été ensuite ajoutés 3 fois ; savoir, avec les arrangemens où a et à manquent en même temps, ou bien aetc, ou bien à et c. Si on les a ôtés d’un côté 3 fois, on les a remis autant de l’autre; il faut donc les soustraire de nouveau, et leur nombre we 1 TND = ] IN = 2 4 étant Sr P,,3, on aura, après cette opération ,
Ph Pr +
__m(m—1)(m— 2) n 2.3 Ps
Passant aux arrangemens où il manque {4 lettres, on vérra de même qu’ils ont été retranchés 4 fois avec ceux où il marque r lettre, ajoutés 6 fois avec ceux où il manque 2 lettres, et retranchés { fois avec ceux où il manque 3 lettres: ayant donc été retranchés 2 fois de plus qu'ils n’ont été ajoutés, il faut les: ajouter encore 1 fois, et leur nombre étant m(m — 1)(m — 2)(m — 3). P;
AT PE F5 il en résultera
Pr Paie 1.5 #7 Russ __ mm 1)n—2) pu 1.220 di mm — x)(m — 2)(m — 3 Dm RD pe 2.3.4, rt La loi de cette expression est maintenant assez évidente pour qu’on puisse la pousser aussi loin qu’on fe voudra; mais pour en constater la vérité indépendaniment de toute induction, il suffit d’observer qu’un arrangerhent où il manqué‘ un nombre p de lettres, est
retranché £ fois avec eeux.où.il en; manquer, ajouté
pp) foïsi avec ceux. où il en: D Ces 2l, :1e- 1.2
ai y} 7 4 | ”* e— Ji tranché HR ne avec. ceux où il en
manque 3, et ainsi de suite; ce qi donne pour ré-
DES PROBABILITÉS. 95 sultat l'expression AT:
A 0 + PC — 1) PP — 1) p— 2) L Hg! | I \
CR
renfermant tous les termesdu développementde (1—1Yÿ, à l’exception du premier terme, qui est Ær1, et du dernier, qui est Æ1, selon que p est impair ou pair, L'expression ci-dessus est donc égale à o dans le premier cas, età —2 dans le second; ainsi dans l’un on aura encore à retrancher les combinaisons où il manque p kettres, et dans l’autre, ces combinaisons auront été soustraites 2 fois au lieu d’une : il faudra par consé-— quent joindre à l'expression du nombre des arrange-
meus cherchés, le terme
avec le signe — si p est impair, et le signe + si ce: nombre est pair. | |
Le problème proposé est donc complètement résolu par la formule
| % PR PR SL Pme). OR EErS ne 0 Sem 1.2.....p a
tant qu’on se borne aux considérations algébriques, puisque cette formule donne le nombre de chances favorables à l'évènement désiré, et qu’en la divisant
par P%, nombre total des chances, on aura la pro-
babilité demandée, que tous les numéros de la loterie seront sortis dans un nombre n de tirages.
. ‘ m On voit que la question suppose z > à, êt, Euler
96 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE remarque, en effet, que la formule ci- dessus demeure
nulle tant que n << — De plus , il faut, dans les va-
leurs de P, s'arrêter à p—m—; numéros, parce qu’alors il ne reste dans la loterie que m— (m—i) = i numéros, et que tous les tirages sont les mêmes ; aussi trouve-t-on P°— 1.
Il est à propos d'observer aussi que P”, se réduirait
àm",sil ne sortait qu’un numéro à chaque tirage, c’est-à-dire si rt on avait 2= 1-
sx
58. Euler a montré que pour mettre facilement en nombres la formule ci-dessus, lorsque les valeurs de et de n étaient considérables, il suffisait de calculer le logarithme durapport défchaque terme avec celui qui le précède.
En «effet, si pour abréger, on pose
LL MURS m(m — 1) 7 Pi Fa 1.2 mi TB) m(m — 1)(m— S TAKE ANR x ) Pets O7 EI, 1.2, s MS on aura n 4 A Ps B M—r "À — =Mm——, ——= —— A 2 mn | Li nm su A Fly 6 nm Creme < TL | Are n puis remontant aux valeurs de PER FE SNS PT Etc.
DES PROBABILITÉS. 97 on obtiendra
P° ; Oo (Mm—1)...(m—1i) l= m— ir P’ ar { m(m—1). . .(M2—i+4 1) ns =) ,
Pme Te (m— 2). (m— dm 1) mi
P' DEC ok — Uni ) ,
etes; ù
d’où l’on conclura
AÀ m —) D M— I M—i— 1 —- J =
Passant aux logarithmes, on aura
il al =Iimnl B M—I1 M] = — — — ms — A , 2 PINS RE C m — 2 m—2 RE 4 RCE odhi s.
B Un Evan sur etces .
et en observant que
VE p il C € | s 3 ? ni 7 G? elc,, | 3° édition. % 7
on déterminera , par une suite d'autant plus couver= gente que le nombre n sera grand, le rapport de chaque terme de la formule proposée, comparé au premier ; ce qui donnera la probabilité demandée ; car cette for-
mule étant divisée par P°, , devient, par les dénomi-
nations employées ci-dessus,
A BP C7 1 — + — — + etc.
ASP Lo Ne
En prenant m—0Q0; i—5,n—100, on obtient, | au moyen des six premiers termes de la formule , pour la probabilité de la sortie des 99 numéros de la lo= terie de France , la fraction 0,7410, exacte à moins de —!,3 , et qui surpasse beaucoup : (*). Il ne serait pas’ difficile , en rétrogradant, de s’assurér que c’est du 85° au 86° tirage que cette probabilité passe au-delà de +. En portant le nombre des tirages à 200, il suffit des deux premiers termes de la formule, qui donnent 0,9990 ; probabilité très peu différente de r. |
Dans Le Mémoire cité, Euler ne se borne pas au
roblème dont je viens de donner la solution : ilcherche aussi les probabilités pour la sortie de m—1,Mm—2, etc. numéros ; et parvient à des expressions très remar=| J'indiquerai également aux lecteurs un Mé-| moire inséré dans ceux de l’Académie de Berlin, pour l’année 1791 (p. 255), où il détermine les probabilités dans le jeu de cartes appelé jeu de reñconire. Le seul
quables.
(*) Euler trouve 0,7419; mais Trembley, qui est revenu sur cell question dans les Mémoires de l’Acadéni. de Berlin, ann. 1794 €l 1595 (page 76), ayant mis plus d’exactiende dans les calculs, es! parvenu aü nombre rapporté ci-dessus.
emploi de la théorie des permutations le conduit à des résultats très élégans et très curieux (*).
Sa. Je terminerai cette suite de questions en donnant une idée de celles qui concernent les parties jouées en rabattant , c’est-à-dire en ne comptant Jamais que l'excès du nombre de coups gagnés par un joueur, sur le nombre de ceux que l’autre a gagnés, de sorte que le gain total, ou la fin de la partie, dépende d’obtenir, non pas un nombre donné de points, mais un nombre qui surpasse d’un excès donné, celui des points gagnés par l’autre joueur.
Pour éclaircir ceci par un exemple , montrons d’abord ce qu’il peut arriver lorsque l'excès de points qui fait gagner est égal à 2; désignons par 4 et B les joueurs , ainsi que les points qu’ils gagnent , et supposons que la probabilité d'obtenir un point soit 1, Il est
évident que tous les arrangemens dans lesquels la même lettre se trouve aux deux premières places, doivent | être exclus dès qu'il y a plus de deux places, poule | désignent un coup qui ne pourrait se présenter qu’a- | près la terminaison du jeu; ainsi l’arrangement 44 faisant gagner le joueur 4, exclut l’arrangement 448. | On voit aussi que la même lettre ne saurait se trouver | plus de 3 fois de suite après la première place ; l’arran- | sement BAAAAB > par exemple , ne peut entrer dans | ceux du 6° coup, puisqu'il dérive de l’arrangement BAAA , qui terminerait le jeu au 4° coup. D’après ces observations, on trouvera que les divers évènemens
| (*) La même question, présentée sous un autre énoncé dans la
| Théorie analytique des Probabilités, par Laplace, p. 217, a été traitée de nouveau par M. Tedenat, dns Je tome XII des 4n- ) nales de Mathématiques pures’ et appliquées , publiées par M. Gergonne (p. 120).
possibles sont,
au 1° coup, au 2°, CRE au 4°, etc.
| A AA AB A AB AA ou Z AB ABB AB AB BA B A À ABB A
