B AAA

BAAB

r BABA BABB :

En cherchant dans ce tableau, dont la continuation : ne présente aucune difficulté, les arrangemens. où le nombre des répétitions d’une même lettre surpasse de 2 celui des répétitions de l’autre lettre, et qui termi- | nent le jeu, on en trouvera 2 au 2° coup, savoir, 44

et BB ; 4 au 4° coup, savoir,

ABAA, ABBB, BAAA, BABB,

et ainsi de suite. Les probabilités étant + pour chaque

évènement du 2° coup, 3 pour ceux du 5°, = pour. s ceux du 4°, etc. , on aura la probabilité 2.5 = à que la partie se terminera au 2° coup, hi =E qu'elle finira précisément au 4° coup, et par conséquent la probabilité 5 + qu’elle ne se prolongera pas au-delà » de 4 coups: on trouverait + +i++ pour le 6° coup, x et ainsi de suite; car il est d’ailleurs évident que la | partie ne peut se terminer qu’à un nombre pair den coups. as | Si le gain de la partie dépendait d'obtenir une supé— riorité de 3 points , le tableau des évènemens possibles

à chaque coup, deviendrait beaucoup plus compliqué ; mais Moivre a bien simplifié le problème, en cher-

DES PROBABILITÉS. IOI

chant, en premier lieu, la probabilité qu’à un coup déterminé , la partie ne sera pas finie (*).

60. Quand la supériorité demandée est seulement de deux points, comme dans l’exemple ci-dessus, la partie ne pouvant pas être décidée en moins de deux coups , il faudra considérer d’abord la formule

C+fY=e +2f+f,

dans laquelle les termes e* et f*indiquent la probabilité du gain de deux points de suite, soit par 4, soit par B,

et 2ef celle que la partie ne sera pas finie. Maintenant,

pour aller plus loin, il faut, d’après Les règles concer-

nant les probabilités composées (17), multiplier 2ef par e+f; ce qui donnera, pour le 3° coup, Îles

termes

2e°f + 2ef”, | répondant aux évènemens AAB, ABB,

dont aucun ne peut décider la partie : passant donc au coup suivant, on multipliera encore 2e°f + 2e f*° par

6 SE P , ce qui donnera ft ef taf

dont le terme du milieu 4{e°f? répond au cas où la partie w’est pas finie. Déjà l’on voit que cette partie ne pouvant finir que dans un coup d’ordre pair, il est plus simple de prendre pour multiplicateur e+2ef+f ; et l’on reconnaît sans peine que les probabilités cherchées forment la progression par quotient

3ef 114 sn: SFR » 1 ENS:

{*) Doctrine of Chances, page 202.

102 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE En supposant, comme dans notre exemple , que les probabilités simples soient égales à ? , on aura

1 ' 2v 2 go) ElC.,

pour la probabilité que la partie ne sera pas finie au 2°, au 4°, au 6° , etc., coup ; et en retranchant de l’unité ces fractions , il viendra

he 3 7 ao Dong x CIC.,

pour les probabilités de la terminaison de la partie. Lorsque le gain de la partie dépend de plus de

deux points, on ne tombe plus sur une progression par quotient; mais en suivant la même marche, on parvient aisément à cette règle donnée par Moivre :

Pour trouver la probabilité que la partie dans laquelle le joueur A doit enlever q jetons au joueur B , ou celui-ci, p jetons au joueur À, ne sera pas finie dans un nombre x de coups, multipliez le binome e + f par lui-méme , autant de fois qu'il y a d'untiés dans x — 1, en observant, après chaque multiplication , d'effacer les termes dans lesquels l'exposant. de la lettre e surpasse de q l’exposant de la lettref, ainsi que les termes où l'exposant de la lettre f, surpasse de p celui de la lettre e (parce que ces termes répondent à des évènemens qui terminent la partie) ; les termes restans composeront la probabilité de mandée. s) Li

Si l’on avait Egg rien AA en suivant la règle ci-dessus, on arriverait à

DES PROBABILITÉS. k 103

+ mn * . è 0 » D.

et si l’on faisait e = f—=#, il en résulterait