__ 34 LE

et 1 — 44 == 47 pour la probabilité contraire , c’est-

64 6 | à-dire que la partie soit finie en 7 coups. On arriverait. immédiatement à cette dernière en formant la sonme de tous les termes rejetés dans le cours des multiplications indiquées ci-dessus, et l’on obtiendrait la pro. babilité qui se rapporte à chaque joueur, en prenant les termes où celle des lettres e, f, qui le concerne, à le plus fort exposant.

Il resterait à trouver la loi de ces termes, de manière à former la probabilité relative à un coup quelconque , sans passer par les précédentes : Moivre a seulement indiqué cette loi; mais la recherche en est trop longue pour trouver place dans ce Traité (vor. la note II) (*).

De la Règle des Paris, et de l'espérance mathématique.

61. Jusqu'ici je n’ai encore considéré les probabilités qu’en elles-mêmes; mais le plus souvent on ne les calcule que pour régler la mise et le gain dans les jeux,

» JA | (*) M. Ampère LA ses Considérations sur la Théorie ma= thématique du Jeu, est parvenu à cette loi, par un procédé purement algébrique.

Les jeux offrent encore beaucoup d’autres questions difficiles à résoudre ; l’une des plus remarquables est celle de la probabilité du refait de 31, aû trente et quarante. M. Poisson la traitée le premier par l'Analyse transcendante , et en à donné une solution précise. ( Voy. les Annales de Mathématiques pures el appliquées, publiées par M. Gergonne, t. ANT, D: 7

et en général pour apprécier l’avantage ou le désa= vantage pécuniaire des spéculations fondées sur des évènemens Iincertains. Avant qu'aucune théorie mathématique eût éclairé celle des hasards, on s'était déjà entendu pour regarder comme équitable tout pari dans lequel les parieurs déposent des sommes proportion-. nelles au nombre des chances qui les feraient gagner. Celui qui, dans le jet d’un dé à 6 faces, parierait d’amener une face désignée, ne devrait déposer au jeu que la 5° partie de ce qu’y mettrait son adversaire, puisqu'il n'aurait en sa faveur que 1 chance, tandis que Pautre en aurait5.

Quelque naturelle que soit cette conclusion, on la rendra peut-être encore plus évidente, en concevant: d’abord que chaque face du dé soit assignée à un parieur différent, et que la somme mise au jeu doive échoir à celui qui aura désigné la face amenée par le jet. IL n’y a pas de raison alors pour que la mise de l’un de ces joueurs soit plus considérable que celle de tout autre. Son gain sera donc quintuple de cette mise; et si quelqu’un voulait se substituer aux 5 autres, avant que le sort eût prononcé, il devrait nécessairement leur rendre leur mise : il déposerait donc 5 fois autant que le premier, c’est-à-dire précisément en raison du nombre des chances qui sont en sa faveur.

Ge que je viens de dire sur l’exemple précédent, s’appliquerait également à de plus compliqués : on peut. concevoir de même que 36 parieurs se sont distribué

Pol +.

-toutes les chances comprises dans le tableau de la

page 11 ; chacun de ces parieurs doit déposer la même somme au jeu, et la totalité des mises formerait le gain d’un seul, si la condition à remplir était l’arrivée de la chance dont il a fait choix. Mais si cette condition est seulement d’amener avec les deux

DES PROBABILITÉS. ‘ 105 dés un point désigné, tous ceux des joueurs qui ont pris une des chances formant ce point , ont un droit égal au gain : ils devront donc le prendre en commun, pour se le partager également. Si le point dont il s’agit est 8, par exemple, il y aura 5 gagnans > puisque ce point sénat de 5 chances ; et le fade du jeu, composé de 36 mises particulières, sera acquis par 5. Si done on remplace par un seul individu ceux qui ont les chances favorables au point 8, et par un second ceux qui ont toutes les autres, on voit que leurs mises respectives seront dans le rapport -de 5 à 37, c'est-à-dire proportionnelles au nombre de chances qui les font gagner.

Ces considérations, dont Moivre paraît avoir fait usage le premier (*), justifient suffisamment, ce me semble , le principe posé ci-dessus, d’après lequel, si deux joueurs, ayant en leur faveur les probabilités e et f, déposent des sommes a et à, il faut , pour former un pari équitable, qu’il y ait la proportion

ai, bi a, M on aire Ur

62. Ce principe suffit pour tous les cas où le hasard décide en une seule épreuve, parce qu’alors la condition des joueurs ne change que par la conclusion de l’évènement; en sortè que si la volonté des joueurs, ou un empêchement quelconque s’opposait à ce que le hasard, d’où dépend le jeu, fût tenté, chacun d’eux, renonçant aux chances qu’il avait acquises par sa mise au jeu, la reprendrait en entier. Il n’en est pas de même quand, pour terminer le jeu, il faut des épreuves . répétées, et que quelques-unes ayant déjà eu lieu, ont VW,

(*) Doctrine of Chances, p. 3.

106 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE modifié le nombre des chances favorables aux divers joueurs : leur espérance a changé, et avec elle leur droit sur le fonds du jeu. C’est sur ce nouveau pied qu'il faut régler le partage entre eux, en s'appuyant sur la convention généralement établie dans tous les jeux , d’après laquelle tout joueur perd la propriété de l’argent qu'il dépose, mais acquiert en revanche, sur le fonds du jeu, un droit proportionnel à la probabilité qu'il a de gagner ce fonds.

Par exemple, une personne parie d'amener deux fois le même point dans deux jets consécutifs d’un dé à 6 faces; la probabilité de cet évènement étant seulement 7%, et celle de l’évènement contraire +, cette personne ne doit mettre au jeu que 1": et son adversaire 35. Posons que le premier jet ayant eu lieu, le point désigné ait paru, et qu’alors les joueurs veuillent se séparer ; celui qui a parié d’amener le point désigné aurait encore au second jet 1 chance pour lui et seulement 5 contre: son espérance est donc très différente de ce qu’elle était avant le premier jet. Dans ce cas, la mise totale étant considérée comme appartenant au jeu, toutes les chances également possibles ont un droit égal au partage de cette somme, et celui qui réunit plusieurs chances doit avoir les parts correspondantes : ainsi le premier joueur prendra le 6° de la mise totale, ou 6fr-, et son adversaire les ?, ou 3ofr

63. Sous cette dernière forme, la règle des paris servant à partager la somme déposée par les joueurs, avant que le sort ait prononcé entre eux , prend le nom de règle des partis (*). L'application que Pascal en

(*) Le mot parti étant pris dans le sens de distribution. De 1 %

est venue cette facon de parler : faire à quelqu'un un bon Parti;

ce serait nne faute que de dire la règle des parties. ( Vory. OEuvrres de Pascal, t. V, p. 32.)

DES PROBABILITÉS. 107 a faite aux questions que lui proposait le chevalier de Méré, déjà cité (24), a donné naissance au calcul des probabilités. Voici l’une des plus simples de ces questions : Deux joueurs ont formé un fonds destiné à celui qui aura le plus tôt gagné trois parties ; ils se séparent lorsque le premier en a gagné deux et le second une ; on demande la part que chacun doit avorr sur le fonds du jeu, en supposant re la probabilité de gagner isolément une partie soit + pour chaque | joueur ?

La considération des probabilités composées résout bien facilement cette question. S'il était joué une partie de plus et que le premier joueur la gagnât, il aurait la mise totale; la probabilité de cet évènement est ;. S'il n’arrivait pas, chacun des joueurs ayant alors gagné deux parties, la suivante déciderait nécessairement leur sort; mais la probabilité qu’elle serait jouée étant +, on aura + pour la probabilité qu’elle serait gagnée par le premier joueur, et de même pour le second. Or cette dernière probabilité est la seule que le second joueur ait de gagner, tandis que le premier

avait 4 dès la partie précédente : les probabilités totales sont par conséquent

1,1:8%1%, at Ag te et pour le 2°, j' Si donc le fond du ; jeu était de 64 pistoles, comme le RP Pascal, le premier joueur devrait en prendre les , ou 48 pistblés , €t l’autre ? seulement, ou 16. Quelque simple qu’il soit, cet Dberaple peut suflire pour montrer ce qu’il faut faire dans tous ceux qui pourront résenter , et réduit la difficulté au développement le tous les évènemens possibles, ]j usqu’à à celui qui amène la décision du sort.

pour le 1’ joueur, = 44

Pascal ne poussait pas le calcul si loin, dans l'exemple ci-dessus ; il se bornait à chercher ce qui arriverait si la 4° partie était jouée. Dans le cas où le premier joueur la perdrait , les deux ayant gagné chacun le même nombre de parties, auraient droit à la moitié des 64 pistoles : « Donc s’il ne veulent point » hasarder cette partie. , le premier doit dire : Je suis » sûr d’avoir 32 pistoles, car la perte même me les » donne; mais pour les 32 autres, peut-être jelesaurai » peut-être vous les aurez; le hasard est égal : partas » geons donc ces 32 pistoles par la moitié, et donnez- » moi, outre cela, mes 32 pistoles qui me sont sûres. [a » aura donc 48 pistoles et l’autre 16(*). » Ce résultat est le même que celui du calcul des probabilités compo= sées, etle raisonnement paraîtici beaucoup plus simples inais il perd cet avantage dans les cas plus compliqués;! qu'il ne résout qu’en les faisant dépendre les uns des autres, jusqu’à ce qu’ils retombent dans celui-ci. |

Fermat, qui s’occupait du problème des partis en mêmetemps que Pascal, y appliqua d’abord la méthode des combinaisons, dont celui-ci eut quelque peine à concevoir l’emploi, lorsqu'il s’agissait de trois joueurs ; et pour lever ses doutes, Fermat fit usage des pro=babilités composées (**). |

64. La séparation des joueurs avant la décision du sort, qui peut n’être qu’un objet de convenance ou seu: lement de spéculation, devient nécessaire dans le cas où le terme du jeu cesse d’être assignable, comme cela est possible, du moins mathématiquement, dans les parties jouées en rabattant (59).

oo TT (*) OEuvres de Pascal, 1. IV, p. 413. A (**) Lbid. , p.439. Onweit à la page 434, que Pascal avait aussi

résolu le cas de trois joueurs, par sa méthode générale qu’il cite,

encore p. 427, 443. |

En effet, si les joueurs voulaient se séparer avant la décision d sort, comme l’époque de cette décision est ‘indéterminée , il ‘faudr ait qu'ils convinssent préalablement du nombre de coups sur lequel ils se proposent de régler leur partage. Je supposerai que dans l’exemple du n° cité, le joueur 4, ayant gagné un point au 1° coup, propose alors la cessation du jeu ; le tableau de la page 100 montre que le 1‘ coup ayant amené l’évènement À, il ne reste au second coup que les évènemens AA et AB, dont la probabilité est ;. Le premier fait galgner le joueur À ; le second, réduisant les deux joueurs à l'égalité, One à à chacun la probabilité ; de gagner, la même qu'il avait en se mettant au jeu. Suivant ces remarques , les probabilités sont, pour le 1° joueur, +523, pour le 2°, 5:.5—;. Si donc ils prennent de second coup pour régler leur séparation, le joueur 4 Jura les 5 de la somme déposée, et le j joueur B seulement : he. quiest d’ailleurs évident, puisque le point A arrivé au 1° coup, excluant les arrangemens BA et BB du 2° coup, ne laisse à ce joueur que la part assignée par l'évènement 42.

65. La considération des sommes éventuelles, c’està-dire dépendantes du hasard, a introduit dans le calcul des probabilités une expression qui mérite un examen particulier, celle d'espérance mathématique ; par laquelle on désigne Le produit d’une somme éventuelle var la probabrinte de l'obtenir. C’est dans la règle des partis qu’on.en Saiau le mieux la raison. Lorsque. des joueurs consentent à partager le fonds du jeu avant que le sort en ait disposé, ils n’ont encore que des sspérances ; et cette règle accordant à chacun d’eux, sur la somme déposée , ufig partie indiquée par la probabilité qu’il a de gagner le tout, il était assez naturel de prendre cette partie pour la valeur de son

attente. On pourrait aussi la considérer comme ce que devrait lui payer quelqu'un qui voudrait prendre sa place si le jeu continuait. On va retrouver ces divers points de vue dans la règle des paris.

66. Premièrement, l’équation af— be (61) exprimé l'égalité des produits formés en multipliant le gain qu’espère chaque joueur, par la probabilité de l’obtenir : on peut donc dire que dans un pari équitable; les espérances mathématiques des deux parieurs doivent étre égales.

Secondement , si l’on regarde les mises de ces joueurs comme ne leur appartenant plus, dès qu’elles sont: déposées, et qu’on évalue l’espérance sur la rentrée“ de la somme de ces mises, que produit le gain du pari, On aura

(a+ be pour le 1 joueur, (a+ b) f pour le 2°;

et à cause que Le—af et e+f—1, ces valeurs sont respectivement égales aux mises a et b. On voit donc que la mise de chaque joueur doit étre égale à son espérance mathématique sur la somme déposée pour former le fonds du jeu : elle peut être considérée comme le prix qu’il donne pour acquérir cette es= pérance ; et en observant que la certitude est représentée par 1, on aura les équations remarquables |

{a+ bje=a.r, (b+a)f—=b.x.

Troisièmement, si l’on met léquation a/— be sous la forme | Q.

be — af = 9 ; | k.

etqu’on regardeles pertes comme dessommes négatives,

le produit — af de la sommie — &, par la probabilité f du gain du second joueur, pourra entrer dans l’évaz

DES PROBABILITÉS. II luation de l'espérance mathématique du premier, laquelle se formera alors en multipliant le profit ou la perte que lui apporte chacun des évènemens possibles, par la probabilité de ces évènemens, et.donnant aux pertes le signe —. Elle sera égale à zéro, dans le cas du pari équitable; ce qui veut dire que l’état du joueur doit être envisagé comme n'étant pas changé par son entrée au jeu. | Ce dernier point de vue semble présenter une con= tradiction dans les termes; car l’état indiqué par l’espérance mathématique du joueur est fictif : il n’est point celui qui a lieu dans la réalité. Après la décision | du sort, l'argent du joueur sera augmenté de d ou diminué de a, selon qu’il aura gagné ou perdu. Dans l’un Let l’autre cas, son'état sera différent de ce qu’il était avant le jeu. Comment donc interpréter une conclusion , dans laquelle deux évènemens qui s’excluent l’un l’autre, semblent se compenser? par les conséquences des épreuves répétées, dont la multipliation tend sans cesse à rapprocher la distribution : des évènemens simples du rapport de leurs probabilités.

67. Cette explication, donnée par Condorcet, qui à le premier remarqué la difficulté, s’appuie sur des | propositions démontrées par le met D'abord, dans jun nombre quelconque d’épreuves, le plus probable ides évènemens coliposés est précisément celui où le |gain égale la perte. En effet, si les évènemens À et , dont Tan fait gagner b et Tatre perdre 4, ont res= pectivement les probabilités ,

l m n ÉTAT Fe

PTT m+n

on aura

bm — an

mn ?

be — af —

et par conséquent bm — an — 0, quand be — af — 0.

Mais dans un nombre r(m + n) d'épreuves , l’évènement le plus probable, étanticomposé de rm évènemens À et de rn évènemens B (29), donnera au joueur qui parie pour Z, la somme

bmr — anr,

qui s’évanouit quand on a l’équation bm— an—=0o, ou la proportion a: b. tm ni

c’est-à-dire lorsque les mises sont en raison des proba= bilités (61).

68. À la vérité, ce résultat précis ne repose que sur une probabilité relative; mais on peut obtenir une probabilité absolue, de plus en plus grande, d’en

approcher, dans un cer er sens , aussi près qu’on le

voudra, savoir, la probabilité que le rapport du nombre des- évènemens À au nombre des épreuves sera compris entre les limites

M + 1 bite

m+n om + n° lorsqu'on enBrassera r(m + n) épreuves (34).

Écrivons dans ces formules sm et sn à la place de

m et de n, suivant l’observation du n° 35 ; les limites | ci-dessus Hévenaht C

sm —- 1 SM — I

se rapporteront à des évènemens composés dans lesquels il en entrera au plus rsm + r de l'espèce 4 avec rsn — r de l'espèce 2 , et au moins rsm—r de l’espèce À avéc rsn + r de V’espèce Z. Dans le premier cas, le joueur qui parie pour 4 recevra. ..... (rsm + r)b, et donnera (rsn — r)a : la valeur de cet évènement composé sera donc

(rsm + r)b— (rsn — sa — re(mb nié a +)

Si elle est positive, ce qui arrivera quand

ne Us ser

elle exprimera le gain du joueur qui parie pour À, ‘et la, perte de celui qui parie pour Z.

Dans le second cas, au lieu de la valeur ci-dessus, on aura

(rsm— r)b — (rsn + rna=rs (m5— na — rw

valeur qui sera négative si

a EEE SE pp

Ss

et qui alors exprimera une perte pour le premier joueur, un gain pour le second.

Quand bm —an= 0, tout devient égal entre eux :

ils ont la même probabilité de ne pas gagner et de ne

pas perdre au-delà de la somme

* rs (= F r(a + bd).

3° édition. al:

114 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE . y « C’est une partie déterminée de la mise totale de chaque

= F h, à an joueur; car si l'on y remplace b par sa valeur +

tirée de l'équation bm — an = 0,

ra(m + n) :

elle deviendra id as , et la mise totale du joueur m |

qui parie pour À étant rsa(m +n) = M, on aura