TIR
Cette valeur est la mème que celle qui résulte de l’'hypothèse de Buflon, quoique d’ailleurs cette hypothèse fasse croître bien plus rapidement que celle de Bernoulli | J’importance des pertes. Ainsi deux hypothèses, fort éloignées l’une de Fautre, satisfont donc aux seules conditions que le sujet impose au premier coup d'œil,
et
132 TRAÏTÉ ÉLÉMENTAIRE savoir, celle de diminuerle prix des sommes éventuelles, à mesure que le bien antérieur est plus considérable, et de donner plus d'importance à la perte qu’au gain. On pourrait trouver une infinité d’autres hypothèses qui en feraient autant; mais celle de Bernoulli parait la plus plausible, parce qu’elle descend aux élémens mêmes dont se forment les capitaux ; et que C’est en effet. par les très petites sommes qu ‘on peut perdre où gagner avec indifférence, que le sentiment commun fait apprécier les te états de fortune. Ils’embarrasse, dit-on, de perdre un écu, comme mot de perdre un sou. » C’est comme si l’on disait : « Un » écu est à sa fortune ce qu’un sou est à la mienne. »
78. Aux valeurs absolues des sommes attachées à des évènemens incertains, Daniel Bernoulli substitue les valeurs morales, où l’importance des capitaux résultant des modifications que ces évènemens apportent à La fortune du joueur. Si, par exemple, des évènemens dont les probabilités sont e, f, g, doivent produire des sommes #, 8,7, et que a désigne le bien antérieur, au lieu de l’espérance mathématique
ee ‘
cet fe +87 (66),
on prendra
RASE AÉEÉ + 10)
pour la valeur morale de ia fortune du joueur qui attend ces évènemens, C’est là ce que Bernoulli nomme la rnesure duisort (mensura:sortis), et ce que Laplace appelle fortune morale (*), par opposition à la for-
(*) Théorie analytique des Probabilités, p. 433.
DES PROBABILITÉS. 133 tune physique, c’est-à-dire à la valeur absolue du capital ayant une importance équivalente. En désignant ce capital par, X, on aura
V=HIT, d'où X= (a+ a) (a+ 8f (a+ 3),
à B.. © que e+f+g = 1 (12). dé
Si l’on cherchait l'équivalent du gain où ce que Laplace appelle espérance morale, il faudrait faire X=—a+zx, ce qui donnerait
En développant les puissances et les multiplications indiquées dans le secorid membre, et se bornant aux termes où les sommes éventuelles 4, 8, y ne s'élèvent qu’à la première puissance, on trouvera
ER GREAT QUE A lee LÉ SN ro
ce qui se réduit à
| T= ea +fB8 +87); .
puisque eHf+g=1, e+f+g—i—o.
Ce résultat, le même que l'espérance mathématique, montre que l’espérance morale a sensiblement la même valeur, lorsque les sommes éventuelles sont très petites par rapport au bien antérieur ; conséquence qu’il ne faut pas perdre de vue, et qui suit également de toutes les hypothèses qu’on pourrait faire sur l’importance des sommes éventuelles.
Voici les principales applications que Daniel Bernoulli fait de sa formule.
