Premièrement, il cherche le sort d’un joueur

194 . TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE + possédant 100 pièces, etayant la probabilité À d’en gagner ou d’en perdre 50. Dans cecas, :

| .{ I I 2 =) Ÿ pi ns g=0,a—100, æ—b0, 8—==—"50;

il vient | r Fe (100 + 50)° (50)* — ÿ/50.150 = 87:

ce joueur aurait donc 13 de perte sur son état primitif; elle se réduirait à 6, si l’on faisait a — 200.

80. Dans la seconde question, Bernoulli suppose qu’on-demande à un négoctant une somme de 800 pièces pour lui garantir (ou assurer) le Prix de marchandises dont la valeur s'élève à 10000 pièces, et qui, devant étre transportées par mér, seront FEROFÉAE à un risque de ut dont la probabilité est — 555 ; convient-il à ce

égoctant d'accepter le marché qu'on lui propose? Pour en tn comparons les valeurs physiques de la fortune de ce négociant , lorsqu'il court les risques du transport, et lorsqu'il accepte la garantie (ou l’assurance) qui lui est offérte. Désignons toujours par a le bien. qu'il possède, outre les marchandises énoncées dans la “ question , et faisons

l'expression pERFrAle de X donnera, pour le pre-

mier Cas , x 9" 1

et a + 0200 pour lé second ; dans lequel il y a une pérte certaine de 800 pièces, Donc, selon que -

4 Ps

*. À DES ,PROBABILITÉS. 135 19/20 À ai 4 (a+ 10000)" 4 ° ou > a + 9200, la garantie proposée donnera un avantage ou un désavantage moral au négociant.

De là résulte une détermination. de a ou du bien qu ’1l doit posséder, pour pouvoir rejeter cette aésu-

rance Met ce sera la valeur de a qui satisfera à l'équation

puisqu'elle est la limite qui sépare v avantage du dé vantage. Cette équation, traitée par rapport à à la le suivant les procédés indiqués pour résoudre par 4 proximation les équations numériques, donnera a = 5043. Tant que le négociant possède moins que cette somme, la formule de Bernoulli lui prescrit dé faire assurer ses marchâändises.

Il n’en est pas. de cette formule comme de:celle de [l espérance mathématique; les conditions n 7ÿ sont pas les mêmes pour chacun des j joueurs ; aussi pour com— pléter la solution du problème qui nous occupe, Ber-

noulli. cherche-t-il le bien que doit posséder celui qui

offrevla garantie (ou F assureur). En désignant ce bien par b, on trouvera que la valeur physique de la for tune dé l'assureur est, par suite de sa spéculation, ( piste gr A ét (b + 800)°°(b — 9200)" ;

et l’égalant à à, on aura l'équation

(b + 800)% (b2 g200)°° == ns qui doit déterminer la rate de à , au-dessous de. laquelle l’assuréur aurait tort de se livrer à la spéculation qu’il a entreprise : cette somme est 14243 pièces.

Ÿ% NA « We.

Il faudrait qu’il en possédât au moins 29878, pour pouvoir ne demander au négociant que 600 piècés au lieu de 800 , les risques demeurant les mêmes ; et. celui-ci aurait tort de rejeter l'offre, tant que son bien ne s’éleverait pas à 20478 pièces. Ces nombres se déterminent comme les précédens, en substituant seulement 600 à 800.

8r. En se bornant-à chercher la valeur de l’espérance mathématique , on trouve qu’il est indifférent de risquer une somme dans un seul hasard, où de la partager entre plusieurs hasards ayant la même probabilité que celui-ci ; par exemple, de la placer sur un seul vaisseau, ou a la répartir entre plusieurs, lorsque le risque de perte est le même pour tous ces vaisseaux. En effet, a désignant cette somme, r le nombre des vaisseaux, dont, sur mn, il s’en perd n, toutes les chances de leur arrivée seront comprises dans ù formule

skier - 1) mins

GR) = + mn

He PUS —— —"" m' ni + etc. ; + 1:2.3 + À la mise a étant partagée entre les r vaisseaux, l’ar-

., Da) | ra rivée de tous ces vaisseaux vaudra une somme ps celle

de r—1, une somme (r — 1) —, et ainsi de suite. Mulr

tipliant donc par ces sommes, les termes qui leur correspondent, on verra sans peine que le produit revient à

ma (- —+- ED m'n+ EEE m'n-+etc.)

= ma(m + n)T';

. . ‘e , ? a et divisant par (nm + n), il en résultera = pour

l’espérance mathématique, de même que si l’on n’avait considéré qu’un seul vaisseau.

Quand on s’en tient à ce premier aperçu , sans faire entrer en considération la plus ou moins grande possibilité de répéter les épreuves, la formule de Bernoulli paraît plus d'accord avec l'opinion commune, qui porte à diviser les sommes aventurées. Pour le montrer, il

détermine successivement le sort d’un marchand qui, possédant 4000 pièces, et attendant par mer pour 8000 pièces de marchandises, fait charger ces marchandises, soitsur 1, soit sur 2 vaisseaux, dont la probabilité d’arrivée est . Dans le premier cas, la valeur va de la fortunc de ce négociant est

As 1

Le second, offrant trois évènemens composés dont les probabilités sont (2), 2-.—+, (2)° (20), ce qui donne « — 8000, B— 000, > —0, conduit à

si 18 DAT (12000)'°° (8000 )'°° (4000 )'°° = 11033.

En retranchant de ces sommes les {000 pièces , bien antérieur que possède le négociant , on aura 6957 et 7033 pour les valeurs morales des sommes éventuelles qu’il attend. Par la formule 3 l’espérance mathématique , on trouvera 8000 X © — 7200 , somme plus forte, mais dont les résultats, , tirés de la formule de Bernoulli, s’approcheront d’autant plus que les marchandises seront réparties sur un plus grand nombre de vaisseaux.

82, Ce géomètre termine le mémoire dont je donne

it 138 TRAITÉ : ÉLÉMENTAIRE + l'extrait, par la solution du problème qui fit naître les : premiers doutes sur l’évaluation de l’espérancé mathématique, adoptée sans discussion par les inventeurs du calcul des probabilités. Il fut proposé à Montmert par Nicolas Bernoulli (*), et reçut le nom de probe de Pétersbourg;, à cause sans doute de la:mention qu’en a faite Daniel Bernoulli, dans les Mémoires académiques de cette ville. Voici l’énoncé qu’en y trouve : Pierrese proposant de jeter en l'air une pièce de monnaïe , pro-met de donner à Paul 1 ducat si, dès le 1°* coup, cette pièce étant tombée, montre la face ; ; 2, sicela n’ar= rive qu'au 2° coup; 4, sice n'est qu'au ‘3°, et ainsi de suite, en doublant à chaque coup; on demande le sort de Paul. Gette sorte de jeu se nomme en français; croix ou pilè, pile désignant la face qui doitparaître a il revient au jet d’un dé qui n’aurait que deux faces. in appliquant le calcul,aux conditions indiquées ci-dessus , on trouve pour Paul les probabilités

Ni ner 1 LT PT 7 "4 e Mots 29:

de gagner

+ 1 4 331527) ducats,

selon que pile n’arrivera qu’au € ë L »

14 D 0 ones e JL ICOUTE

& à A u 3 son espérance mathématique de gain vaudra done

dti, a I +72 Hat. + L'on,

Or

. 1 LL > LA . ? # °. à ? * pe , puisqu'il n’est pas impossible que pile n'arrive

(*) Analyse des jeux de hasard, p. 402, 5€ problème.

DES * PROBABILITÉS. 139 qu'après un nombre de coups plus grand quetelnombre qu'il plaira d’assigner,; ne s’ensuit-il pas qu'avant de commencer le jeu, il faut supposer ce nombre inini? La mise de Paul doit donc être infinie ; mais quel homme sensé voudra risquer à ce jeu , non pas uñe somme infinie, ce qui est absurde, mais même une sommié tant soit peu forte ? Voilà le paradoxe que les yéomètres ont cherché à expliquer où à éviter.

Quelques-uns ont pensé qu’on leverait toute difficulté, soit en fixant pour le maximum de pain-une somme tellement grande, qu’on dût regarder comme absolu. inenñtinutile tout ce qu’on pourrait y ajouter, puisqu'on wen’saurait faire aucun emploi, ou bien en fixant une probabilité assez petite pour qu’on püt la considérer comme nulle, et regarder comme impossible l'évènement auquel elle répond. Par la première considération, on place le terme du jeu au coup, dont le gain rapporterait la somme prise pour limite de celles qu’il est utile de posséder. Cramer proposait |pour cette limite, le nombre marqué par 1 242 10777240, en prenant l'écu pour l'unité. Si l’on y substituait le |ducat, employé dans l’énoncé du problème, le jeu fi - | nirait au 25° coup, et la mise de Paul se réduirait à 12 2. Mais si l’on regarde comme superflue toute aug= mentation faite à la somme 2°{, pourquoi ne se bornerait-on pas aussi bien à la somme 2**-— 1, qui en diffère si peu; et en continuant ainsi de proche en proche , où s’arrêterait-on?

Si l'on voulait terminer le jeu lorsqu'il y a une probabilité très voisine de l'unité, que pile a du’arriver, et une probabilité contraire aussi petite que cellé qu’on est convenu de regarder comme nulles'en prepant

>; pour celle-ci, le jeu devrait finir au 13° coup puisque la probabilité de n’amener pile qu’au 14° e: 3x Dans cette détermination, la mise de Paul » serait que de 6 ducats et + ; mais si l’on regärde comm nulle la probabilité —=, et la fraction 5 comm la certitude morale, ainsi que le voulait Buffon, qu fera:t-on pour les probabilités S%58 et 12222, qui dif fèrent très peu de la précédente ? Il est donc impos sible d’assigner des limites aussi fixes à des évaluatior qui conservent toujours quelque chose de vague. Je re prendrai ces considérations dans la suite ; mais ce qu je viens de dire suffit pour conclure, avec Dani Bernoulli et Condorcet, que les explications précédenti

sont peu fondées.

83. La formule de Bernoulli entre mieux dans | difficulté , parce qu’elle ne met aucun terme à la du rée du jeu. En désignant par a le bien de Paul, et ps æ ce qu’il doit mettre au jeu, son avoir sera, si pi arrive au

1°" çoOup, a—r+1;au2°,a—x+2;au3, a—x+/,et correspondant à des probabilités k I

ce qui donne pour la valeur physique de la fortune

d’après-les conditions du jeu,

X—(a—xæ4 1) (a—x—+o) (a—x+4) etc. À

qu’il faudra égaler au‘ bien antérieur a, pour exprime que le sort de ce joueur n’est pas changé : : ON aur donc l’équation

DES PROPABILITÉS. 141

a—=(a— x + 1? RAR EE (az +4 etc.,

ont le second membre doit renfermer un nombre iàni de facteurs.

| On ne tirerait pas aisément d’une do LT équar ion les valeurs de x ; mais en faisant a—x—a", ile devient 1

at D (a+ 2) (a+ 4 (a+ 8 ete,

A à | tit TA LE LES de a par "celle dé ad, d’où l’on éduit ensuite celle de pue. LE peut la te sous k forme 7%

pe !

AA

| + “ a =, 1? jp fs Gr etc.

CAO

ù l’on voit que les facteurs du second nombre de oïssent toujours, et ont pour limite l’unité, puisqup ans leurs expressions g générales

En I 2” d \2 2 et (: + +) À

exposant tend à s’anéantir.

Si l’on prend les logarithmes de chéltque membre, | viendra |

ne ee (+S+ EE +ete.) La | Ho (ad

1 a + | I +3) + etc.