TRAITÉ. ÉLÉMENT AIRE
. La série qui multiplie 12 se décompose en
2 : —2 L' + (=) +4) etc. à jet ze js =) = ti | la première partie du second membre à done pour limite 12. Quant à la seconde partie, elle devient assez convergente lorsque a” n’est pas considérable sit fait par décroître plus rapidement que la progress par quotient 2,2, etc., parce que Île logar ht de 1+ approche de plus en plus d’être proportionnel à £h) lorsque cette quantité est une fraction qui décroit sans cesse ; et comme alors 1(1 + 2) < 0,434z ERA est facile de s'assurer que la valeur de a reste finié, tait que a” est fini, ce At détruit le paradoxe. | Quand on fait 4 — 0, on obtient a=— 2; cela yeut dire que si Paul ne Hobsénait que 2 ducats , et qu’il les miît à ce jeu ; la valeur morale de son avoir né chänserait pue Si lon pose a—x—106, et qu’on emploie 10 termés, on trouvera que a=104,38, à moins de —— près
d’où at SR
84. De ce que la formule de Daniel Bernoulli pa= raît satisfaire assez bien aux diverses épreuves où ‘nous l'avons mise, s’ensuit-il qu’il faille a substituer à celle de l’espérance mathématique? Condorcet.ne lé pensait pas, et avant lui, Nicolas Bernoulli (neveu .de Jean) était du même avis : voici l'exposé de leurs, motifs Nicolas jai i ne voyait dans les résultats de k
(*)} Après des calcals‘un peu différens des précélens, on lit dans la Théorie: analytique des Probabilités ( (p.441), ‘a 107,89; mais Ja différencé ne vient que de lat ivegité des données : Laplace suppose que si ia face est amenée au premier coup Pierre donne 2, au lieu de 1 que pôrte Fénoncé de la page" 138.
première -de ces formules , que des conseils propres à éclairer les personnes qui voudraient se livrer à des spéculations | su. le hasard, et non pas des règles pour établir un partage équitable entre les joueurs, Daniél Bernoulli, qui nous a fait connäître cette opinion de Nicolas , déclare MER | au commencement de |son Mémoire , qu'un tribunal devrait suivre d’autres |principes que ceux qui servent de fondement à sa for-
mule. Placer deux joueurs dans une situation telle
qu'aucun d'eux n ‘ait. l'avantage sur l'autre, &e que fait. la règle des paris, est aussi ce que prescrit ‘la justice rigoureuse (*). La formule de Bernoulli, qui [met au contraire une différence entre les deux joueurs, ‘én favorisant celui qui a le moins de fortune, est des=
F J ‘ : | |tructive de toute convention de jeu. L’une des par
iére peut bien sentir que la perte lui portant un plus grand dommage, il lui serait avantageux de dunimuer sa mise et d’augmenter son gain; mais Dre
(9 Quoi cüm FAT sit ratio, Cur expectanti plus tribui debeat uni quäm alteri, unicuique æquæ sint adjudicandæ partes; ra- \tiones autem Sarfas considerari , quæ personartm slatum res- | Piciant, solasque illas perpendi, quæ ad conditiônes sortis per- Lrisaue Tälew .sententiamr Jerant judices supremi., public& | auctoritate, constituti,, at verd hoc loco non judicia sed consi- Lia danda sunt ; regulæ nempé, , quibus : quisque suant sibimet |æstimare. debeat sortem pro diversé rérum suaruin constlitu= \tione. Voilà sous quel poiut de vue Daniel Bernoulli présente ses principes (pag , 179-170 du Mém. cité p. 129.) WE
Voyons à présent ce qu’il rapporte de la lettre de Nicolas Bermoulli. 1s verd testatus est nequaquar sibi dispticére méarn de mensuré, Sortiurm sententiam , si mod quivis suæ SoTLis æstitn= or sit ; aliter vero se rem ice es si tertiusinstar judicts secundm equitatem et justiliam unicuique collusor um sortem as+ \signäre debeat. Ft il ajoute : Id ipse pariter in Ÿ 2 exposui. (pag. 189—190 du Mém. cité.} :
ties , en consultant ses intérêts et sa situation parti-
144 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE partie peut-elle consentir à un pareil arrangement? Le mal ne serait pas grand ; sans doute, s’il résultait de cette difficulté de s’entendre un afaiiliphs dans le goût du ] jeu: mais pour prononcer sur le mérite de la formule'de Bernoulli , il faut examiner si la théorie ordinaire des probabilités ne motive pas aussi bien les conseils donnés par le seul emploi de la raison. Cette théorie établissant la nécessité de répéter l’épreuve du hasard un nombre de fois de plus en plus considérable, pour atteindre à des probabilités un peu | fortes, de ne pas perdre au-delà d’une certaine portion, non de la première misé, mais de la somme de tata (68, 71), somme qui va AU croissant, n’en résulte-t-il pas naturellement le conseil de ne F# aventurer des sommes considérables dans un jeu même égal, lorsqu'on ne part pas en répétersouvent l'épreuve, et par conséquent de n’exposer chaque fois qu’une très petite partie de ce que l’on possède? La formule de Bernoulli, dira-t-on, fait plus; elle doune une mesure précise de l'influence que ce conseil doit exercer sur le joueur. À cela on peut répondre, d’après ce qui a déjà été dit'dans le n° 75, qu'il ne faut pas attacher à des valeurs numériques déduites d’hypothèses qu’on peut varier de bien des manières , plus d’mmportance qu’elles n’en ont réellement ; et Daniel Bernoulli m'en fournira lui-même la preuve. IL observe qu’un homme dénué de fortune ; n’ayant que la probabilité! de gagner une somme ee 20000f7*, par exemple, aurait tort de ne pas céder cette espérance pour 900off!, quoique la valeur en soit 10000", suivant la règle odinaire. Voyons ce que ‘donne sde de Bernoulli. Soit toujours a le bien antérieur ; la fortune physique du possesseur de l’espérance dnit il s’agit serait
DES PROBABITATÉS. 145 1 1 | (a + 20000) a. .
: d “ FR si at
Souvenons-nous que & ne peut jamais être-nul (76), et faisons, a — 5oof"*, ce qui est bien au- dessous du capital le plus faible auquel puisse répondre le prix annuel de l’industrie d’un homme: nous trouverons
, W600.20500 — 3202 environ, d’où retranchant 500, il restera 27027, somme très inférieure à 10000f7- ; mais pouvons-nous dire que c’est bien là le minimum de ce qu’on peut accepter en échange de l'espérance pro- |posée ? Ne peut-on pas se trouver dans une situation qui ‘impose l'obligation de se contenter à moins? N'est-ce pas avec raison que Bernoulli lui-même dit que 2400 pièces, pour un homme qui en possède déjà autant, mais Œuien a besoin de 4800 pour racheter sa liberté, ont beaucoup plus de prix que pour celui qui ne possède rien, mais qui est libre? De semblables circonstances ne peuvent être soumises au calcul ; et c’est abuser des formules, que de les employer à une telle évaluation. N'oublions pas que c’est seulement comme valeur moyenne, comme ayant la plus grande probabilité rélativement à toutes les autres, que l'espérance mathémagique est prise pour mesure du sort.
: 85. Considérée ainsi, la formule de l’espérance mathématique ne peut être employée qu'autant qu’il peut exister uñe valeur moyenne propre à remplacer la valeur réelle, qui est iiconnue ; or cela n’a pas lieu pour le problème de Pétersbourg (82). Un jeu dont la décision embrasse un nombre infini de coups successifs, et qui, par conséquent, ne saurait être considéré comme devant se: répéter, ne comporte point, par cette raison, de valéur moyenne des éve-
nemens divers qu’il peut amener. Il ne faut pas 3* édition.
même en reculer"la limite à l'infini, pour sentir l'absurdité qu'il y aurait à faire usage d’une valeur moyenne. On a ‘déjà vu que Paul ne doit mettre au jeu que 6 dücats !, si l’on borne le jeu à 13 coups; mais alors si pile n'arrive pas, Pierre devrait donner 2"? — 4096 ducats, somme dont la perte ne serait réparée que par le gain d’un nombre de parties trop grand pour qu’on puisse en concevoir une espérance raisonnable. Si l’on allait jusqu’à 27 coups, l'unité étant 1 centime seulement, la mise de Paul
ne serait que 13 centimes +, et Pierre pourrait per=. dre 1342 177,28 ; la probabilité de cette perte
m I ” a A : * ' étant — ; serait extrémement petite, mais non pas 2° |
encore nulle. .
La formule de l’espérance mathématique, entendue comme elle doit l'être (66), paraît donc d’accord avec les notions les plus saines sur le jeu, admet les conséquences de cesnotions, et fortifie les leçons de la prudencé, en conduisant toujours à la nécessité de ne risquer que de petites sommes à la fois, ce qui ne permet de faire du jeu qu’un amusement sans conséquence, Si l’on s’écarte de cette sage réserve, la règle ne peut plus que mettre une parité exacte de danger entre des hommes avides, dont chacun spécule sur la ruine
dé l’autre : c’est une sorte de duel dans lequel il faut
égaliser les armes ; car suivant l'observation très juste de Condorcet, le but de l’appréciation des évènemens livrés au hasard, est atteint quand les joueurs sont placés dans le mêmeétat; mais on ne saurait faire que celui d’un homme qui joue soit le même que s’il ne jouait pas. |
Si donc la prudence permet de se livrer à des spés eulations sur les hasards. ce ne peut être qu'à celles
qui, par leur nature, doivent rapporter au-delà de ce
que les probabilités assignent pour l'espérance mathé-
matique. Alors, suivant l’observation du n° 69, plus | l’entreprise est répétée, plus la probabilité du succès | augmente. De pareilles spéculations, dans les jeux | proprement dits, blessent les lois de la probité; et si | des considérations particulières engagent les Gouver- | nemens à les tolérer, l’opinion publique, plus sé- : vère, doit les flétrir; mais il en est tout autrement des spéculations de commerce, des assurances et de | toutes les entreprises où le bénéfice est acquis comme salaire d’un travail utile, et en échange de valeurs | réelles. | |
AAA AA AAA AAA AAA AAA LU VU UV AA AA VD VAN AAA AS NA Re
