SECTION SECONDE

Détermination de la probabilité à posteriori, c'est-à-dire lorsque le nombre total des chances est illimité, et que ses rapports avec le nombre des Seat de chaque espèce sont inassignables.

86. Quand on ne connaît point la forme du dé, ou la condition de l’urne qui produit les évènemens observés, il faut, pour remonter à leur probabilité, considérer toutes les formes ou les conditions dont ils peuvent résulter, ‘afin d’en déduire une sorte de probabilité moyenne qui approchera d’autant plus d’être la véritable, que le nombre des observations sera plus grand (43).

Si, par exemple, on a tiré successivement d’une urne 3 boules blanches et 1 noire, en ayant soiu de remettre chaque fois la boule sortie, qu’on sache que le nombre total des boules est 4, tant blanches que noires, mais qu’on ignore combien il y én a de chaque sorte, on pourra faire, sur la condition de cette urne, les trois hypothèses ci-dessous :

3 boules blanches, 1 noire, d’où e = D = 7’

é désignant la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche, f celle de l’arrivée d’une boule noire. La probabilité de l’évènement composé de la sortie de 3 boules blanches et de 1 boule noire, étant exprimée

par 4e%f (22), deviendra successivement

64 64 64 La dernière hypothèse, qui donne la plus petite probabilité pour cet évènement composé, est aussi en elle-même beaucoup moins probable que les deux autres hypothèses ; car si l’urne ne contenait qu’une seule boule blanche, il faudrait que cette même boule fût sortie trois fois de suite : on conçoit qu'il y aurait moins de difficulté s’il y avait 2 boules blanches, et encore moins s’il y-en avait 3. La facilité avec laquelle chaque hypothèse amenerait les évènemens observés, donne naturellement la probabilitéde cette hypothèse;

<ar plus elle offre de combinaisons favorables à la

production de ces évènemens, plus on à ‘occasion d’en xépgier le jugement de possibilité (5 et 6). C’est ainsi qu’on à posé pour principe que les probabilités des causes (ou des hypothèses) sont proportionnelles aux probabilités que ces causes donnent pour les évènemens observés (*). :

Dans l'exemple actuel , les Drobubilires des trois hypothèses établies sont proportionnelles aux nombres

(*) Cet énoncé se trouve dans le tome VI des Savans étran-

gers (P: 623). Bayes, dans les Transactions philosophiques de 1763 (p. 370), et Price, dans celles de 1764 (p. 296), s’étaient déjà

occupés de ce sujet; mais Laplace l’a réduit le premier à Ja fotme ânalytique sous laquelle on le traite-maintenant, qui en facilite et en généralise beaucoup les applications.

27, 16, 3; leur somme doit être d’ailleurs épale à l’ünité, puisque l’une de ces hypothèses a nécessairement lieu (8) : il suit donc de là que chacune des probabilités dont il s’agit est égale au nombre qui lui correspond , divisé par la somme des trois nombres, ce qui donne les.fractions

27 16 Se

46 46 46 On peut dire aussi que, sur les combinaisons fournies par l’ensemble des hypothèses, les 27 + 16 + 3—/46 qui s’accordent avec les évènemens arrivés, sont les seules possibles , ét que la probabilité de chaque hypothèsé se détermine comme celle d’un évènement , en divisant le nombre de cas où elle peut avoir lieu, par celui de tous les cas possibles, ce qui donne les mêmes fractions que ci-dessus.

Enfin, il faut refnarquer encore que ces fractions, ou les probabilités des diverses hypothèses, se forment en divisant la probabilité de l'évènement composé, calculée dans chaque hypothèse, par la somme de ses probabilités dans toutes les hypothèses (*).

IL est facile de voir que cette règle est générale; car si l’on désigne par k, k’, k", k°, les probabilités des diverses hypothèses susceptibles d’amener l’évènement

(*) En traitant l’exemple* ci-dessus, Gondorcet, de qui je l’ai emprunté ( Élémens du Calcul Le Probabilités, p- 65), fait cinq hypothèses, c’est-à-dire toutes celles qui peuvent se présenter quand on n’a pas égard aux évènemens observés. En effet; on peut alors supposer que les 4 boules sont blanches, ou qu’elles sont noires; mais comme ni l’une ni l’autre de ces dernières hypothèses ne saurait amener les évènemens observés , elles donnent zéro

pour leur probabilité, ce qui ne change rien au résultat obtenu ci-déssus.

” DES PROBABILITÉS. 151 \ composé qui à eu lieu, et par a, a, a", a”, les probabilités que chaque hypothèse donne pour ces évènemens , On aura

AHRERER— x,

h°. po À ET AT à a" ° a":

LA ] . +? [1 d’où il résulte

f (H sn" (

a : 4 u " h= 5; dit, LE his R" —:

T' représentant a + a + a" + a”.

87. Quand on a déterminé la probabilité de chaque hypothèse possible, on en déduit facilement la probabilité des évènemens qui peuvent arriver aux tirages suivans, dans notre exemple, celle d’amenéer au 5° tirage une boule blanche ou une boule noire. Il n’est pas difficile de voir que ce problème revient à celui

| du n° 18, et se résout par les probabilités composées.

Les trois hypothèses établies peuvent être considérées comme trois urnes différentes, de l’une desquelles doit nécessairement sortir rs attendu: La probabilité de cet évènement se composera donc de celle qu'il à dans chaque hypothèse, multipliée par celle de l'hypothèse : ainsi l’on aura pour la sortie d’une boule blanche , au 5° tirage,

16 I 116 Rat * it 4 184

et pouf celle de la sortie d’une boule noire,

AL 16 [3 68 m6 7 + 7% 4 es 184

On trouverait de même, pour tout autre exemple,

que la probabilité d’un nouvel évènement simple s’obtient en calculant, d après les évènemens passés , læ probabilité des diverses hypothèses possibles , et Hiônt | la somme des produits de ces probabilités par celles de l'évènement, prises dans chaque hypothèse.

88. Pour construire des formules générales sur les principes énoncés précédemment , il faut d’abord observer que dans les évènemens naturels, le nombre total des chances doit être regardé comme infini, et toutes les probabilités simples, c’est-à - dire tous les rapports compris entre o et 1, comme possibles tant qu’on est dans l'ignorance absolue du véritable ou de limites plus étroites entre lesquelles il se trouve ren fermé. C’est donc dans un nombre d’ hypothèses con sidéré comme infini, qu’il faut déterminer les probabilités de l'évènement composé qui a eu lieu ; et voici de quelle manière on y parvient.

Soient À et B deux évènemens contradictoires, dont l’un est arrivé 7n fois et l’autre n fois. Supposons l” unité divisée en parties très petites, représentées par «, et : concevons que la probabilité simple de l” ji NUE A puisse être l’un quelconque des termes de la série

dj lou," Say Au,Niétc.;

enfin, pour abréger, désignons par € le coefficient du terme affecté ER emfr dans le développement dé (e + f}"+%. Cela posé, les diverses probabilités de l'évènement composé de m fois 4 et de n fois B, formeront la suite

Ca"(r — a)", C{aa)"(1— 22)", C(32)"(1 — 34)... SA C(i —«à)"a,

dont un terme quelconque peut ètre représenté par

sd DES PROBABILITÉS. 153

Cx"(x — x)"; la somme e

+ ( —a)a" } Cf

sera le dénominateur de la probabilité particulière de cliaque hypothèse (86). La somme faugmente à mesure que + diminue , et tend à devenir infinie ; mais si on la divise par le nombre des termes dont élle se compose,

ge etquiest-, le quotient af reste fini, et devient sus-

ceptible d’une limite assignable, ainsi qu’on peut s’en assurer par la considération des courbes ét Le calcul intégral (voy. note III); de plus, le sujet étant très important, je vais exposer, pour les lécteurs qui ne connaissent point ce calcul, le procédé, par lequel Condorcet y a suppléé dans cette occasion (9:

Le terme général étant alors représenté par. .... ax"(1 — x)", on suppose que la somme de tous ceux

. AUS T qui le précèdent, et dont le nombre est CNT L

soit exprimée par

Aati(rr) Æ Barr 2) | + Cam#s(1 — x)" * + etc. ,

A, B, C, ete. désignant des coefficiens indéterminés, hypothèse que le calcul justifie. Si l’on fait croître x de la quantité «, cette somme deviendra

+ {*) Élémens du Calcul des Probabilités, p. 70. Ge procédé n’est, dans le fait, qu’une vérification du résultat donné. par le calcul intégral ; mais il est utile de ramener à lAlgèbre ordinaire la démonstration d’une forwule sur laquelle repose toute cette parc du calcul des probabilités.

154 TRAITÉ ÉÉÉMENTAIRE : &

AG a (ca) + Be) (ray + C(x+a)"#S(t—x—a)"? H etc. ;

et si l’on en retranche la valeur précédente , äl restera l'accroissement qu’elle a reçu , et qui est précisément le terme ax"(1 — x)": on aura donc cette équation M

AL GrHa) (re) mix)" 7 + BL (x+a) (ra) (1) } 00 Le CN SR ET ET + etc. —ex"(1 — x)"..... (L).

Pour développer commodément cette équation, on fera 1 — x — 2, et l’on observera que la seconde ligne peut se tirer de la première en changeant, 4 en B, m+ienm+La,nenn—:1,et ainsi des autres. En ne s’occupant donc que de celle +ci, on obtiendra les expressions |

= AE + (m2 + 1)ax"betc. } (z"—naz"'+Letc.)

= Az" z" de (m + 1) Aax"z" — nAax "Tizi

+ d'a + d'a L etc., où les térmes contenant des puissances de « supérieures à la première sont seulement indiqués. Retranchant du dernier résultat le terme Æ4x"#1(1— x)" — Ax"tizr, Le il restera , pour la première ligne de l'équation (EF),

(m +1) Aax"zr — nAaxmtizn— E Aa + etc.

On voit par là que tous les termes de cette équation sont divisibles par &, en sorte qu’elle se réduit à

AL(m+i)x"zt — namtigni LE d'a etc:

+ B{ (m—+2)rmtian: —(n — 1)2m+agnTs + B'a+etc. + Cf(mH3)xr "2 (po) gr} C'a+ etc. + ete. = 227.

4 DES PROBABILITÉS. 155 Cette même équation subsistant toujours, quelque petite que soit la valeur de #, s’étend, iorsqu’on y fait 4—0o, au cas où le nombre ". des termes de la suite devientinfini; et comme elle doit avoir lieu quelle

que soit +, il faudra l’ordonner par rapport aux quantités æ etz, ce qui lui fera prendre la forme

{(m+1)4— 1 }amz"—{nA—(m+2)B} jm pe | 7 {(n— 1)B — (m + 3)C }rmtezn — etc. = 0..

Alors en égalant séparément à zéro les coefliciens de chaque terme, on aura | ;

| (ne 1-0, d'où 4 =

| n nA—(m+2)b=0 , DB —(m+n(mE2)

2 : vu Saut n(n—1) * (n—1)B—(m+3)C=0o, C E EURE LES , etc. | La, suite

a { am(r —a)"+(aa)"(1—24)"... (ma) (rx a)"} a donc pour limite

AMF ar) nan t?(r — x)!

mA (m4 1)(m + 2) ce n(n —3)2 "rs 1 — x)" (m+imæ+om+8) TT + n(n — 1)(n—2)..... NME

(m2 + 1)(m + 2)(m + SLA (m2 ni)’

car la valeur de cette expression naît avec la série,

puisqu’elle s’anéantit lorsque x =, ainsi que le terme !

général ax"(1— x)" (*).

Il faut remarquer que cette série s’arrête à x — à ; pour la pousser jusqu’à x ; il faudrait y ajouter le terme général ax(1—x)", qui devient d'autant plus petit que a diminue , puisque d’ailleurs x ne saurait jamais pas— ser 1 : on peut donc, à la limite qui répond à «—0, comprendre ce terme dans la série , et substituer poûr x sa dernière valeur. C’est ainsi que pour avoir la série complète , il faut faire x = 1, ce qui donnera 1

Merrre r)(m + 2)(m +5). .i...(m+n +1)?

telle est la limite des valeurs de af.

89. Devant faire un fréquent usage de l'expression de la limite considérée ci-dessus, je représenterai cette

limitg par S 17, lorsque j’ j'y regarderai x comme in-

déterminée; mais dans les autres cas, j’indiquerai la valeur qui répond au dernier terme. Ainsi l'expression

SR désignera la limite de la série prise depuis le

terme où æ— 0 jusqu’au dernier terme Où T=1:

sa valeur est la formule qui términe l’article précédent.

S M désignerait la limite de la même série, arrêtée au terme où x — +. Il suit de là que

In à As 51" L* ÿ 0 “à 2

donne la limite de la somme de tous lés termes de la

, " {*)'Ceux qui savent les règles du calcul: intégral, verront bien que l’observation ci-dessus a pour but de montrer qu’il nc faut pas ajouter de constante arbitraire à lexpression trouvée.

DES PROBABITATÉS. 157 Je af, à partir de celui où x va jusqu’à celui où Les sélebéh de ces expressions se Fémplifioué beaucoup lorsque n=0: le développement général de la page précédente se réduit à son premier terme...

v+1 LES DV et à cause de (1—x) —=1,0ona m+r

em) Le We r (m) 20 I

et = S> of. LE s m+ 1°

quand on fait t—1.

90. Ces préliminaires étant bien compris, il est facile de s’élever à la probabilité des évènemens futurs. Suivant ce qui a été dit au n° 86, la probabilité d'une hypothèse ou d’un rapport quelconque HW, OUC

a" (x — x)" dt EX), Due A UNSS | En la multipliant par x (87), on en déduira la probaax" Ti(1—x)" | AP AT d’où l’on tirera ce qui convient à chaque hypothèse en particulier, en y mettant successivement «&, 24, 34, etc., à la place de x; la limite de la somme de er)

bilité d’obtenir un évènement 4 deplus,

, et la va-

ces résultats. sera par conséquent ST leur du numérateur se déduira de celle de Sr, par le changement de me enm+i, En substituant ces valeurs, il viendra ut QU n(n— 1)n—92)..... H

(m +" 1)(m + 2).. (mn +3) LS cmt ; RUE LANR 22 M DUT TT mn e

158 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE après la suppression des facteurs communs au divi dende et au diviseur.

Si l’on demandait la probabilité de l’arrivée d’un nouvel évènement B, la probabilité particulière de cet évènement, dans l'hypothbèe correspondante à x, étant IX, on aurait les expressions

ax (x —x)tFr

af é (m,n +41) é $, n+r EitÀ

SD mEn+2

ax" (1 32)

pr) ( — x) =

mi Jui Ton na “à mn +2 mpnge®

. . . mm aurait, suivant l’usage commun, les EXPressions ——

man

n 1e | AN , formées en divisant le nombre de fois que chia qu

Au lieu des stabilité?

évènement a paru, par le nombre total des évènement observés, et qui ne s’accordent avec les précédentes que lorsque m— n, auquel cas les quatre fractions ci-dessus deviennent ? : AS touteautre circonstance, la première évaluation diffère de la seconde. Si, par EEE | m—3 et n —2, l’une donne £et3, l’autre 5 et£;: mais ce qu'il faut bien remarquer, c est que l” Evalii tion rigoureuse s’approche sans cesse de l’autre. Cela sç voiten divisant par #+-n les deux termes des premières probabilités; elles prennent alors les formes

m I n I mn. m+n un min De ee ete Eee de me e pq à : PRTETES 1 + 1,4 LA

mn , mn

ui ne devi t le et -2 u’en $upposant ne deviennent = et ——— |

infini le nombre m+n.

La différence

m m pi mg AR ne arr:

mn mbn+2 (m+n\(mtn+o) étant positive lorsque m > n, montre que celui des deux évènemens qui est arrivé le plus souventaugmente sans cesse de probabilité lorsque les nombres m et n conservént la même subordination dans leurs accroissemens. Le contraire a lieu quand m<n. Ces changemens sont remar quables parce qu ils sont produits par la seule répétition des faits; ainsi la théorie des probabilités à posteriori s CCE bien avec celle‘ de Bernoulli sur les épreuves successives (34), puisqu'il résulte de l’une comme de l’autre, ‘que le rapport du mombre des évènemens 4-où B, au nombre total des

ivènemens observés, a pour limite leur probabilité sinple.

; or. La probabilité que sur un nombre p de renouwellemens dù même hasard, il arrivera un nombre P—Q de èvèenemens À, et un nombre q d'évènemens B, s’oblient aussi sans difficulté, par les principes exposés récédemment. Dans HA oise correspondante à àc, a probabilité de cet évènement composé est-exprimée Jar IPI(1—x)9 , Si la succession des évènemens simples st déterminée, et par

| Ap—1).….(p—g4+1)

AT 12) = Cap (1x), 1424 de mg

Mans le cas contraire (20). Cette Heu étant mul-

tipliée par SRE ; Ti dd de l'hypothèse,

on aura pour celle qu on cherche,

xp (x — x)" T4 CaxM+P—I(r — x)" +4 af af

prenant la limite de la somme, depuis x —0o jusqu'à x—=1, et faisant Siton du coefficient © que est pren de x, il viendra

Cr gin+4) re n)

in +q\n+q—1)..... I

RH p=g+im+p—g+).. (mpntph) SET 1)(72 #2), «0 .(m+n+ Di “ nfn—1)...:... Il

expression que l’on ‘peut simplifier par la suppression des facteurs depuis » jusqu’à 1, qui multiplient et qui divisent en même temps, ce del donnera

CHIEN ENS EVE PR (nr + 1) , (mt p—g+i)m+p—q+#2).(m+n+p+r X (m + 1)(m +2)... PP (mm + n + 1).

Lorsque n > A g; on peut encore supprimer de mème les facteurs depuis m + p—qg#4+1 jusqu'à m +n—+1 inclusivement, et la formule ci- — dessus devient

(m1) (m2). …(mhp=g) (n+ ne). (na) (m+n+-2)(mt}n+3)... (mnt p+1) ;

Si l’on’ prend pour exemple, p=3, q9=—1, l’ex-

pression pr -écédente donnèéra la probabitité de l évèncment composé 4A4B", égale à:

(m + 1) (m4) (n +1) ù (mæ+n+e)mt+nts)(m+n +4)"

et si l’on divise par m4 n chacun des facteurs du numérateur et du dénominateur de cette fraction, on reconnaîtra aisément qu’elle tend sans cesse vers. .., mn

(m+n) ] li ] nm?

babilités simples HE mi De ré

constance à lieu pour l’expression générale 166,58 prouve en développant cette expression avec lé secours des formules qui servent à calculer par approximation les produits formés d’un grand nombre de facteurs : on

probabilité composée qui résulterait des pro-

(21). La même cir-

trouve alors que si les nombres 2 etn sont très grands

par rapport aux nombres p et g, elle a pour limite mP— Int (m + nÿ°

Ainsi, plus le nombre des Se observés aug-

(Voyez la note 1.)

. mente, moins les probabilités , soit simples, soit com-

posées, déduites des formules précédentes, diffèrent des probabilités déterminées à priori, ou plus les rapports donnés par la succession des évènemens représententavec exactitude les probabilités simples. La possibilité de’‘prendre les uns pour les autres s’est offerte si naturellement à ceux qui les premiers ont médité sur ce sujet, qu'ils l’ont regardée sans évidente par ellemême ; mais on ne pouvait? s’en rendre compte sans le secours du calcul, qui montre qu’au lieu de légalité conjecturée, il y a une approximation continuelle et de plus en plus rapide. , 3° édition. II

«92. Au moyen de formule que nous venons de construire, on réunit, dans une “expression toutes les probabilités des évènemens composés, auxquels peut

donner lieu un nombre p de renouvellemens du même, hasard : il suflit pour cela de faire successivement 4=0,—=1, =2, =3,.etc. En conservant les coefliciens désignés par €, pour laisser indéterminé l’ordre dle-succession des évènemens simples, on formera

la suite US Me dl tps, +1) P re (mn) d T | se" 7 LM Gps +2) o(m, n+p) PRE) CO MER LE 1.2 tr) ‘#5 el Gerra) 2"

qui tient ici la place que le développement du binome (ef) occupe dans la détermination & priori des probabilités pour les épreuves réitérées (22). La ‘sonnne des termes, depuis le-premier jusqu’au terme général pb D (P = q dus. 1) x on dd “SLT Er gi)

inclusivement, donnera la probabilité qu’il n'arrivera pas moins de Das q. évènemens A, et pas pe de 4 évènemens 2. s

. Quand n=oetg=0, Sn devient S = ee (89);

et la formule précédente se réduit au ul terme -

PCR à

(nr + | ” LR” s +P) mt 1 | .

Fa FA mn +p auz, I ?

c’est la probabilité qu’on aura p dé fois de suite l’évè-

nement À, lorsqu'il a été : obséfvé m. fois sans, inter

ruption. : s Si l’on partage le nombre p en parties proportion

TP et Et

nelles aux nombres met n, savoir,

n+n mn À la somme des termes de la : suite précédentes à par tir dé celui qui est affecté de AE

; mp np À (GC te +11 EAU NE m+n :)

jusqu’à celui qui l’est de

mp np . ’ mm + — —2Z, + ——— +43 S M + n In —+- 71 { ?

exprimer a la probabilité que, sur D renouvellemens du même hasard, le nombre des évènemens A ne s’écartera pas , au-delà dez, en plus où en moins, du nombre proportionnel à 7.

93. Avant de passer aux applications, je dois encore montrer, comme je l’ai annoncé en commençant cette section, que les probabilités déterminées à posteriori sont ünesorte de probabilités moyennes : téla suit en effet de lx manière de ‘les obtenir, et jette un nouveau jour sur leurnature. L'expression Cr"(1—x)" (22) étant lx probabilité d’améner m évènemens 4 et n évènemens Z , lorsque leurs probabilités simples sont æeti—x, la somme de ses valeurs calculées dans toutes les hypothèses possibles, divisée par leur nonibre, en donnera la valeur moyenne: (7raïté élémentaire d'Arithmétique, vègle d’alliage.) Mais, faire la division d’une somme de quantités, c’est la même chose que de diviser séparément chacune de ces quantités, et

d'ajouter ensuite les quotiens; etquand on divise l'unité en parties égales à &, le nombre de ces parties est évi-

demment —; or a

LL x)" d = ax" (x — x)" :

l'expression CET (89) peut donc être regardée comme celle d’uné valeur moyenne prise entre les diverses probabilités qu’aurait, dans toutes les hypothèses possibles, l'évènement composé qui a eu lieu.

Toutes les expressions subséquentes se déduisent également de ce point de vue. S'agit-il de la probabilité d'obtenir un nouvel évènement 4; la probabilité simple de celui-ci étant désignée par x, celle du nouvel évènement composé sera

Ca"(i—n)".x = Cx"ti(i x)" (232),

expression dont la valeur moyenne, prise comme ci-dessus, est CS Na ; mais cette. valeur moyenne, considérée comme la probabilitédunouvelévènementcomposé, doit. aussi se former en multipliant celle de l’évènement composé qui a eu lieu, par celle d'obtenir un évène-! ment 4 de plus (16) : celle-ci est donc égale au quotient | de la première divisée par la seconde , ce qui donne |