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NUE, ST ? è À |

comme on l’a trouvé dans le n° 00. | Les mêmes considérations donneräient, pour Par!

laivée d’un nouvel évènement Z , la probabilité

(m,n4-1) S, CCR

La somme de ces deux probabilités est égale à l’unité, comme cela doit être ; car pour faire la somme de deux suites de termes, on peut commencer par ajouter les termes quise correspondent dans chacune , et prendre la somme des termes de la nouvelle suite for mée par ces additions : on aura donc ainsi

ax" ( — x) + ax" (rs — x — .

ax"(1 — zY'Ür + 1— x} ar xy,

et passant aux limites des séries ajoutées et à eee de leur somme, il viendra

(m41,n) (mn) 7 (m,n) À S, Z S; . 179) S, F7 d’où

Set) OR Lonvre “EE N:

gr) T gt — ï :

94-Onétendrait sans peine ces coñsidérations aux formules générales des-n°* or et 92. La somme des teriñes dont se compose la dernière, qui embrasse tous:les évènemens possibles dans p renouvellemens du même hasard, doit être égale à l’unité, comme celle des

| termes ‘du développement de (e Lfy. Il n'est pas

: difficile non plus de voir que toute cètte théorie re—

vient à prendre la probabilité moyenne de l’évènement

| composé qui a eu lieu, pour l'unité à laquelle on com

pare les probabilités qui résultent des combinaisons de

166 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE | celui-ci avec les évènemens futurs.’ On peut donc 2 visager aussi CES probabilités comme relatives à la pre- | mière. De là vient qu'elles ne sont pas toujours les mêmes pour les mêmes combinaisons d’évènemens futurs, ce quin arrive pas aux ? PE obabilités De minées à priori (22): | *

En effet, la formule du n° ot change de valeur avec met n, quoique pet g demeurent les mêmes; et puisque de nouveaux évènemens observés modifient cétte valeur, il s'ensuit évidemment que pour tirer de ces formules des résultats utiles, il faut toujours que le nombre e p des évènemens futurs soit fort petit à l’ égard du nombre.m 4 n des év ènemens passés , et aussi que. ce dernier soit très considérable en Tui-mênie , afin qu’il ne suflisé pas de quelques nouvelles re pour changer sensiblement les résultats déduits des précédentes. Avec ces restrictions, et pour des recherches dont la nature ne saurait exiger, ni même admettre, il faut le dire, une précision rigoureuse, on pourra presque toujours substituer aux nee de cette sec— tion, celles de la première, ce qui est fort heureux; car les calculs, déjà très longs par celles-ci, seraient le plus souvent impraticaäbles par les autres , sans le secours des formules approximatives citées au n° 27; aussi ne ferai-je.qu'indiquer quelques-unes-des questions curieuses que Laplace a résolues sur cette matière. n

-05. ‘Premièrement, il a Euh l expression approchéé dé la probabilité des résultats fournis par les Tables de mortalité, lorsqu’on connaît le nombre d’ observations sur lequel elles ont été construites. Ces Tables, dont j’exposerai plus l6in la formation; font connaître combien;surunnombre d'individus nésen même temps,

‘ DES PROBABILITÉS. rO7 en reste à un âge donné. Soit m+nle premier ombre, et m le second ; lorsqu'on veut étendre les conséquences de ces observations à un nombre p d’en-

f ans, où le divise en parties propor tionnelles aux ADAOBLES S;

Dm m et m5 ce qui donne MT pour celui des survivans

pn

mn cier la confiance que méritent ces résultats, il faut chercher les probabilités que l’erreur dont ils peuvent ètre susceptibles est renfermée dans des limites assez étroites, ce qui se faiten calculant la somme des termes de l'expression du n°92, à us tir de celui qui est affecté de

Alors » pour appré-

| pm ns pn s (+ +2, ren" :) , | :

usqu’à celui qui l'est de

Cm nv) FA

? 7x “L n He +2 nr

] { Quoique Laplace. ait déterminé. assez suhplément

la valeur approchée de cette some, il n’en donne point le calcul numérique ; en effet, on sent assez dès

à présent, et l’on en sera nt ait convaincu dans la Suite, qu’un pareil ‘éxamen, devant être répété pour tous les âges, et surdes Tables très multipliées, est à peu près impraticable, et:que c’est principalement Ja finesse des artifices de calcul qu’il exige, qui en constitue Je mérite, comme de la plus RS au) tie dés recherches de ce genré.

6° La seconde question dont je rapporterai l'énoncé 4 °

168 TRAIÏTÉ ÉLÉMENTAIRE et les résultats, a eu une application effective. Dès qu'on s’est aperçu du. -peu de variation qu’offraient le nombre des naissances et celui des décès, dans une population dont la marche n’était point (rules par les fléaux naturels ou politiques, on a cherché à déterminer les rapports de ces nombres avec le total de la population, en faisant le relevé des naissances et des morts, dans diverses parties du mème état, et pour plusieurs années, en même temps qu’on se pr Msn un dénombrement exact de ia population de ces parues. Le rapport moyen, obtenu ainsi, à paru propre à faire connaître la population de Vétat entier , d’une ma-— nière à’ la fois plus prompte et plus sûre qu’un dénombrement total des.habitans, qui entraîne toujours de grandes longueurs et souvent de grandes difficultés dans lexécution. Cette idée, mise au jour d’abord rl Moheau, a été suivie avec assiduité pendant 6 années par Duséjour, Condorcet et Laplace (*). Ils s bien proposé d’appliquer successivement leurs calculs à chacune des 182 feuilles de la Carte de la France, par Cassini : ce travail s’étendait à 149 feuilles, lor él a été suspendu. La révolution devait en avoir changé les élémens; c’est pourquoi Laplace l’a recommencé en 1709. te gouvernement a ordonné, en conséquence ; de faire avec soin, dans 30 RAR choisis parmi tous ceux qui RAA alors la France, le’ relevé

(*} Voyez les Recherches sur la population de la France, par Moheau , éd. de 1978, p. 32, et les /Zémoires de l’Académie des KR , années 1784—1789.

Dans son premier Mémoire sur ce sujet ( Acad. des S$riences, 1983, p. 696), Laplace prend 26 pour le rapport moyen sur toute la France. Le dénômbrement effectué à Paris, de 1816 à 1817 7 montant à 713066 individus, et le nombre des naissances à 22421, il en résulte un rapport >> que 31,8. : 4

exact des naissances, mariages et décès , depuis l’an 8. jusqu’à lan 11 (du 22 septembre 1799 au 22 septembre 1802), dans des communes de situations et de grandeurs variées ; il en est résulté :

Naissances. Mariages. + Décès.

110312 garçons, 46037, 103659 hommes, 105287 filles, » 09443 femmes,

et pour le montant de la population de ces mêmes coinmunes, à la seconde époque, 2 037 615 individus. Par ces nombres, les naissances des garçons sont à celles des filles dans le rapport de 22 à 21 ; les mariagés aux naissances, dans celui de 3 à 14; enfin, celui dela population aux naissances annuellés, est de28,353 environ à 1, ce. qui portait à 42 500 000 de ORDER des habitans du territoire soumisalors au gouvernement français, et où le nombre des naissances annuelles s'élevait environ à 1500000 (*). Laplace voulant ensuite se rendre compte de la précision qu'il devait attendre de tous ses soins, a cherché la probabilité que cette évaluation ne serait pas en erreur de 500 000: voici la traduction de l’énoncé de ce problème, au moyÿen des formules analytiques.

En repr ésentant par 72 — n le nombre des dis compris dans le premier dénombrèment, par n celui des naissances annuelles, qui est le + de la somme des naissances des deux sexes, rapportées plus haut pour 3 années, par g lenombre desnaissances dans toute l'étendue

du territoire de la Francé DE exprimera la

population de ce ter ritoiré , en y Aer le ne

Sn ——————————————— (*) Théorie analytique des' Probabilités, p. 397.

# 4 dé naissances; ct Fe conséquent :

(+ Le), +) CS; \

FLE MOSEE

sera la‘probabiité que cette population se composèra des deux parties —"— AE je ie) —g et g: |

Sunôncotifosng une suite de termes semblables n précédent, en donnant au premier exposant toutes les valeurs cpmprises entre

nf ET qg—I+s

at

m + 2 LÉ + (= VE +9 à

le second exposant demeurant toujours 7 + 9, la somme de ces termes sera. la probabilité que le dénombrement total conclu des naissances, ne s’écartera pas du véritable au-delà dunombre z, soiten plus, soiten moins (*): Enfaisant z = 500 000, les formules

RP RU ae Cr 1r61 approximatives, de Laplace lui donnent HG, Pour la | ? | , 102

valeur de cette probabilité; et en portant z à 700 000,

(*) Les dénominatiors : employées par Laplace sont un peu différentes de ceïles-ci : me + n répond à p, n à q, q à q'; x doit être changé en 1—x, et réciproquement. Laplace ne détermine | pas immédiatement la probabilité indiquée ci-dessus, mais sa ÇOr= traite , en prenant 4 depuis'500 000 jusqu’à Pinfini, et par un artifice d'analyse dont je donnerai une idée dans la note III.

M bntraire de cette même probabilité serait in— sensible. | Î

97. Dans tout ce qui précède, on a supposé que, pour la même hypothèse; la probabilité simple demeurait constante , c’est-à-dire qu’on remettait chaque fois dans lurne la boule qui en était sortie. Cette sup-position paraît apphcable à à la plupart des évènemens naturels, parce qu’on regarde leurs causes comme agissant toujours de la même manière, ou le rapport des nombres de chances également possibles comme constant. Condorcet, cependant , ne s’est pas restreint à ces considérations: il a fait l’énumération des ypothèses que comporte le sujet, et les a soumises à une discussion-approfondie (*). Il en distingue trois, « 1°. celle où la probabilité est constante, où l’on » suppose chaque évènement (simple) également pro- » bable, ou du moins la probabilité” moyenne pour » MR déterminée d’une manière semblable (c’est » celle dôre nous nous'sommes occupé) ; 2°. celle où » l’onsuppose cette probabilité variable, mais indépen- » dante du temps où les évènemens sorit arrivés, et de » lordre dans lequel ils ont été observés ; ge, celle » où on'les suppose dépendäns , ou plutôt pouvant » dépendre de cet ordre. ».

|. La troisième hypothèse, commé la plus générale, | devrait être employée le plus souvent; car c’est un

principe fondamental dans le calcul de probabilités, de prendre en considération tout ce qui n’est pas reconnu impossible. Or, ne peut-il pas arriver que les forces qui produisent certains évènemens se modifient ou s’altèrent, et que pee, cette xaison leur possibilité

(*) Mémoires de l’Acadenitie des Sciences , 1383. p. 539.

devienne plus grande ou moindre? Que s'ils résultent d’un développement successif, l’ordre de leur production, l’époque à laquelle ils paraissent, influent sur cette possibilité? Tant que ces suppositions ne seront pas formellement écartées par des lois positives bien constatées, les probabilités déduites de la première hypothèse ne pourront s'étendre qu’à un temps limité et devront être calculées souvent sur de nouvelles observations..On sent bien que les formules relatives aux dernières hypothèses sont hors des bornes prescrites à un Traité élémentaire: je renverrai donc, pour ce sujet, le lecteur au Mémoire cité dans la’ note, et à la 3° partie de l’Æssai sur la probabilité des décisions , etc.

Détermination de la probabilité des causes (ou des

hypothèses) par les observations.

98. Lorsque l’on regarde comme possibles, dans la pr obabilité des évènemens, tous les rapports compris entreoetr, la probabilité de l'hypothèse correspondante à x est exprimée par

ax" (1 — L)"

af (90).

Cette fraction, dont le dénominateur a pour limite la quantité finie S°”” (88), est d'autant plus petite que « est moindre, et que par conséquent le nombre des hypothèses établies est plus considérable. Si done on suppose ce dernier nombre infini, « sera infiniment petit, et chaque hypothèse n’aura qu’une probabilité infiniment petite ; aussi n'est-ce point la probabilité absolue de l’une de ces hypothèses qu’on se propose de déterminer, mais les probabilités relatives, ce qui est très facile, puisque si l’on désigne par x” une autre

Ld

rypothèse, on aura, suivant €@ quia été dit dass Île

#13, pour la probabilité de la première hypothèse par apport à la seconde, |

ax "(1x)" "(1 —x)"

RE PME VS D PAM LT A CPE à inf. r: 7 | LIT)" + ax M(I—X 1 x" (1—x)" 4x (IX )

xpression Où æ disparaît.

La valeur de cette expression dépend de celle des

apports x et x’; et en la mettant sous la forme

ami x)"?

on verra qu’elle approche d’autant plus de l'unité, que x"(1— x)" surpasse 2'"(1—2x)" : elle atteindra

donc la plus grande valeur dont elle soit susceptible, si,

parmi tous les termes de la suite A

a"(1—x)", (24)"(1— 24)", etc.,

bn prend le moindre pour z'"(1—2x’}", et le plus considérable pour æ"(1 — x)". Le premier ne peut jamais être nul, tant que l’un des nombres m, # n’est pas nul.

| Quant au plus srand terme, on trouve , par le Lo différentiel, qu’il répond à x — a , C’est- | L

à-dire que cette valeur, d’où il suit mr rend le produit æ”(1 — x)" plus grand que toute autre valeur qu’on voudrait assigner à x. Ge résultat est bien remarquable, puisqu’il nous apprend que Ia Iplus probable de toutes les hypothèses est celle où les probabilités simples des évènemens 4 et sont