Ce n’est pas pour la petite vérole seulement
(*) Mémoire de l’ Académie des Sciences de Paris, an. 1560, page 1. »
que les médecins ont formé des tableaux d’observations : il y a déjà quelques ouvrages où l’on a suivi cette méthode, la seule qui soit vraiment démonstrative, puisque la médecine ne se compose en grande partie que de faits déduits immédiatement de l’observation, qui seule a fait remarquer et a constaté l’effet des remèdes spécifiques les mieux reconnus pour tels. Les efforts de la nature se combinent de tant de manières avec les diverses méthodes curatives, qu'aucune de ces méthodes n’est peut-être entièrement dépourvue de succès’, au moins apparens. C’est donc par la compa-: raison du nombre de ces succès, avec le nombre total des maladies traitées suivant chaque méthode, et des maladies abandonnées à la-nature (si ce on cas pouvait avoir lieu), qu’ on doit assigner le mérite relatif de ces méthodes , et répondre aux objections renouvelées sans cesse de la médecine. M. Pinel, et plusieurs autres médecins, ont fait connaître 1: ) résultats obtenus dans les hôpitaux où se traite l’aliénation mentale. En 1789, M. William Black, médecin anglais, a publié la :seconde édition d’une Analyse arithmétique et médicale des maladies et de la mortalité. de l'espèce humaine { An arithmetical and medical Analysis, etc.). C’est par la continuation et l’extension d’un pareil travail, que l’on pourra constater irrévocablement si la médecine fait des progrès réels : les hôpitaux, plus nombreux et beaucoup mieux tenus que dans le siècle dernier, offrent à cet égard de grandes facilités (*).
(*) On a tant ie RE RUE CE LIR COR c’est-à-dire la raison appliquée à tout ce qui intéresse la société, qu’il doit être permis de rappeler les faits évidens qui parlent en sa faveur. L'un des plus frappans est l'amélioration dussort des malades dans les hôpitaux, due aux efforts d'hommes bien connus pour n’être mus que par une
Des Rentes viagères et des Assurances sur la vie et sur les choses.
125. Les probabilités de la vie humaine, combinées avec l’accroissement des fonds placés à intérêt composé, ont donné lieu aux rentes viagères, aux assurances sur la vie, aux caisses d'épargnes, et en général à toutes les spéculations par lesquelles on se procure, soit pour le présent , soit pour l’avenir, des avantages pécuniaires dépendans des chances de la mortalité. L'importance de ces théories a multiplié beaucoup les questions qui s’y rapportent et les auteurs qui en ont traité : on ne doit donc s'attendre à trouver ici que les indications nécessaires pour montrer comment le sujet se rattache au calcul des probabilités : et la solution des problèmes les plus simples sufhra pour cela.
Considérons premièrement chacun des v individus
philantropie purement humaine. C’est par leurs soins, et dans un temps difficile, qu’a cessé l’entassement des malades dans un même lit à l’Hôtel- Dieu, que les mesures ont été prises pour diminuer la mortalité effrayante des enfans trouvés, qu’ont été formés des hospices séparés pour l’accouchement et l'allaitement, et beaucoup d’autres institutions d’ordre et de bienfaisance qu'il serait trop long de détailler ici. Dans ce dix-septième siècle, si vanté, la mortalité de l'Hôtel-Dieu de Paris était le scandale des étrangers : il y périssait plus de 3000 malades par au, faute de soins. (Voyez Æssay tending to prove that in the Hospital called L’hostel-Dieu at Paris, there die above3000 per annum, by reason of ill accomodation (1687), several Essays, etc., by William Petty, édit. de 1955, p. 63.)
Le zèle religieux comme la pitié, peut sans doute prodiguer les secours; mais Ja raison seule, les dispensant avec impartialité, établissant l’économie par l’ordre, sait faire participer le plus grand nombre d'individus au bienfait, et préparer dans le présent des ressources pour l’avenir.
CPP CR LR LE
DES PROBABILITÉS, 225 compris dans une Table de mortalité à à un âge donné, commé propriétaire d’une rente viagère s, où comme devant toucher annuellement cette somme pendant toute la durée de sa vie; celui qui est chargé de payer
ces rentes, et que je nommerai le banquier, donnera à
la fin de be 1e année la somme v's, à la fin de la 2° ‘) AE à la fin de la 3°, v"s , et ainsi de sûite, vw’, v’, v", etc., désignant le ATP des individus existans à la fin de ces années. Si t représente le taux-de l'intérêt, <es.sommes ; Fappor tées au commencement de la première année (voyez les É tlém. d’ Algèbre), deviendront respectivement
v's v's vs
et ainsi de suité, jusqu’à l’âge où finit ga Table de mortalité. En es ajoutant on aura la valeur.totale de
cé qu’ont dû payer les individus existans à la première
époque, pour acquérir ces rentes : chacun d’eux aurà donc payé pour sa part, w
TES ON UE RES v”
v tt mia ct a)
s v ro £ , TRY Let Gen tpm bee +
La somme S est le capital de la rente viagère s;
: &'est aussi la valeur moyenne des sommes payées par le banquier, réparties entre tous les individus de la Table , de manière qu’il n’éprouvera ni perte, nigain,
| ES l'extinction des rentiers à lieu conformément aux
nombres marqués dans cette Table.
La formule de l’espérance mathématique FO la
. même expréssion pour $,en ne considérant si l’on
eut qu’un. seul rentier ;- car les sËmmes éventuelles 3° édition. 15
226 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE rapportées à la ONE Fo étant S té is ke.
etc.
144 CE CE l s) et les probabilités que le rentier existera à la fin dés
années rt 2 à etc.,
étant
v” v” i a ’ Ve oo e C .
v v » cp , ?
son espérance mathématique sera
v" S vihitorpptvorpt S
etc.
, CE m (4
V 700. | M QE OC TA BOX nl Ve bo fe. w Gent (1 2) ete. }, valeur de $ trouvée ci-dessus. |
126. Ces deux manières de mettre le problème en équation doivent rappeler les réflexions du. n° 84, et montrer comment le sort de l’emprunteur qui se charge d’une seule rente viagère, diffère de celui du: banquier payant un nombre de rentiers assez considérable pour que leurs décès suivent l’ordre indiqué par la Table de mortalité. La première entreprise est bien hasardeuse; l’autre, au contraire, l’est peu, si toutefois la Table de mortalité. a été construite ou choisie d’après la classe d'individus qui doivent composer les rentiers. Quand il s’agit d’un emprunt public à rentes viagères, on doit bien se garder d’employer la Table de mortalité générale, pour une grande capitale ; car ce ne sont guère que des individus choisis ‘qui s'intéressent à ces emprunts : aussi sont-ils très
NET e CRT ACTE
DES PROBABILITÉS. 22" onéreux à l’état quand on donne le même taux sur toutes létes, c’est-à-dire pour un âge! quelconque, comme on l’a fait, en France, vers 1780 ,"ce qui à produit la spéculation suivante.
Des banquiers, ayant remarqué l’avantage que les femmes avaient à Genève sur les hommes, ‘par rapport à la durée moyenne de la vie, en ont fait choisir par des médecins, un certain Soitre ayant déjà subi les épreuves a la petite vérole ; de la. rougéole ; ont la constitution paraissait la meilleure } ‘et dont ils‘pouvaient surveiller la conduite. C'est surces têtes qu'ils ont placé leurs fonds, dont ils ont formé un seul capital, divisé en actions, par un arrangement fait entre eux, de manière à pouvoir associer un grand nombre dé personnes à leur spéculation. Recevant 9 pour 100 d'intérêt, 1ls pouvaient donner 7 pour 100; : ce qui était ar intérêt lépal, et les 2 pour 100 qui leur restaient, étant placés à intérêt composé, à 5 pour 100 seulement, devaient en 26 ans reformer le capital. Or la vie CAR des femmes de Genève, prise à l’âge de 20 ans, surpasse beaucoup ce : Étun puisqu'elle s'élève à fo et de plus, comme ce n’est là que le terme moyen, pris sur toutes les | professions, 1l y a bien lieu de croire que celui des : sujets choisis par les banquiers dont nous parlons aurait * été plus fort, «en sorte qu’on ne s’éloignerait pas beau- ‘ coup de la vérité, en’ prenant pour leur profit ce que serait devenu le capital au bout de 40 ans ,'et alors il : se serait plus que doublé.
| Ce n’est là qu’un aperçu; car pour avoir la vraie mesure du désavantage de l’emprunteur dans le cas ‘actuel, il faudrait connaître avec précision l” Prdre de { Movtalité dés individus de la classe dont il s agit, et | calculer à quel taux devrait être l’intérêt de l'argent,
| EPST PAC 228 TRAIÏTÉ ÉLÉMENTAIRE pour qu’ils pussént cbtenir 9 pour 100 en rentes via
gères. La solution de cette question dépendrait de l’équation du n° 125; les données seraient v, w', vw”,
: > ‘he v”, etc. : on aurait s — & 4 .$ disparaïtrait comme 2 » 100 ?
facteur commun aux deux membres, et il viendrait
ae learn. G+6)
équation de laquelle il faudrait tirer la valeur de #, ce qui ne pourrait se faire que par des tâtonnemens assez laborieux, si l’on n’avait pas déjà un grand nombre de Tables construites d’après divers ordres de mortalité,
et pour divers taux d'intérêt.
+ etc. },
127. Îl est évident que de simples opérations aride métiques suffisent pour calculer la valeur de S et résoudre la question directe, en ayant même égard à une circonstance que j'ai négligée, pour plus de simplicité. J'ai supposé, dans la construction de la formule du n° 125, que les décès des rentiers avaient lieu à la fin de chaque année ; mais comme il n’en est pas ainsi, et que l’on paie aux héritiers une partie de la rente proportionnelle au temps que le rentier a vécu, il faudra, DORE AA cette différence, substituer + (w À
à v°, 3 (v° + 0") à +”, etc. Si l’on voulait établir la loi. de continuité ji les décès , il faudrait substituer aux nombres v,w’,v"..., une expression générale de la loi de ihortalité (112), et recourir au calcul intégral (Voyez la note ITF.
Le plus souvent on n’emploie, pour ich le cal |"
cul, que La distinction des périodes pendant lesquelles il est permis de regarder le nombre annuel des morts comme constant. En désignant ce nombre par "2, äl
vient |
s'=v—m, v'=v— 2m, y"=v—3m, etc.,
ce qui change la valeur de S en
, S f(v—m ,v—2m , v—3m er Br tr EE GE pe Pete d- Cette expression se décompose dans les deux suites
un
S “1 I 1 ti CERTES |
sm
| AÉCRREX UE di 2 + SE hobaR er LL
pour abréger, on fait
(I + 6) 1+t (146) (+ n représentant le nombre d’années, de la période. Si,
— 4, la première suite,
‘ quiest une progression par quotient, deviendra
gs {1 Haas Ha);
! et la seconde se changeant en
TT {14 29439"... + ang},
on posera
. 1+2g+ 3q°.... Lng =;
multipliant les deux membres de cette équation par g, il viendra
qg+2q +3g*....+ng"=[g;
puis ajoutant au pr emier membre, la pr ogression parquotient
1+g+g+g"..... Hg",
et au second, TA +
, Somme de cette progression ,
on obtiendra
D +49 en 9" = fg + As.
Obérant alors que 1429489 +49... ++) =f+ (RH 19",
on formera l’équation
ni J+G+ pet, d’où l’on déduira HR ‘
aie 1— gt (n+r)g" Si Mél EN | (9 19 Au moyen de cette dEPNiore somme et de celle de la première suite, on a enfin
ré ra el — Pr er ER 4 G—9) LT RS
formule où il ne reste plus qu’à mettre pour g sa!
(*) On parvient bien facilement à ce AA LE par le calcul différenuiel ; car il est visible que
1— g+t : 2, dr ag RAR Er 1#929 + 392... nq0T = RARE SL | M
On trouvera de même la somme des séries analogues dans nn ordre quelconque.
valeur-—— , et opérer quelques réductions, aux- 1-t
quelles je ne m’arrêterai pas. En l'appliquant à chaque période , depuis l’âge d’où l’on part jusqu’à la fin dela Table de mortalité, la somme des valeurs trouvées pour S’ donnera celle de $. L'hypothèse de Moivre (112) est commode en ce qu’elle ne fait qu’une seule période, à partir de 22 ans.
128. Comme le plus souvent Cest une Table de rentes viagères que l’on construit pour tous les âges, Euler, dans le Mémoire cité p, 207, a trouvé commode de dériver le taux relatif à un âge, du taux relatif à l’âge suivant. Si l’on substitue des numéros inférieurs désignant les âges, aux accens dont les y sont affectés dans la formule du n° 125, on aura pour l’âge n,
S (On+r Va n+3 FFT UE a tag ete }-
et pour l’âge n+ 1,
S [4 V3 CE =" { ns — etc. b m1 PL, NE AUS FAT CLR
ya âge le plus avancé de la Table de mortalité donnant | le dernier terme de ces suites. Si l’on divise la seconde | équation par 1 +4, qu’on multiplie les deux membres de la première par v;, ceux de la seconde par v, ht
et qu’on retranche les produits terme à terme, il res-
tera seulement l'équation
Var Par :
TES EE Pa
qui fera connaître S, par le moyen de S,41, et pourra
232 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE servir à calculer les valeurs du capital de la rente s, en
commençant par l’âge le plus avancé. Assez ordinaire- . { ment on faits 1/7, ou=— 100/".
129. Les rentes sur deux têtes se calculent d’une manière analogue, en substituant aux: probabilités
La “
w" y . “, AE etc, du n° 125, les valeurs successives de la v " :
quantité do ++ =i-f,
qui, dans le n° 119, exprime la probabilité de l’existence de l’une quelconque des deux têtes sur lesquelles ‘la rente est constituée, où bien en appliquant à une Table indiquant la loi suivant laquelle s’éteignent un nombre donné d’associations d’âges donnés, les considérations par lesquelles commence le n° 125.
130. L’espèce de tontine la plus simple , n’est au fond qu'une annuité à terme probable; car dans ce placement, où les rentiers survivans héritent de ceux qui sont décédés, le banquier paie tous les ans la même somme, jusqu’à l’entière extinction de la ‘classe des rentiers du même âge. Supposant que S soit la somme qu’ils ont placée en commun, s celle que le banquier leur paie chaque année, et n GE nombre d’années qui doit s’écouler jusqu’au hr de la Table de mor talités on aura j .
SÆ=s (paire | t(1 +0)" (Elém. d'Algèbre); quant à la somme s, elle se partasera entre les rentiers, suivant le nombre d'individus existans chaque année.
Lorsque la classe des réntiers est tès nombreuse, il est évident que le nombre » est celui des années comprises depuis l’âge où 1ls font leur placement jusqu’au
PE
DES PROBABILITÉS. 233 dernier âge marqué dans la’ Tabléfde mortalité; mais dans le cas contraire , le banquier leur ferait tort, en reculant ainsi le terme de l’annuité. Saint-Cyran propose de prendre pour ce terme l’année où 1l y a une probabilité : que tous les rentiers seront éteints; dans le cas de deux rentiers , par exemple, ce serait l’année où la quantité ff” du n° 119 se réduirait EL est à-dire Le terme dela durée probable de l'association (*).
Si les rentiers ne devaient hériter que d’une portion du revenu des décédés, de la moitié, par exemple, le banquier aurait à payer, à la fin de la 1° année,
( u —1#" v + p : | v' + —)= dE e rentes, à la fin de la seconde,
ds SRE Chonérar ue À ainsi de suite : on aurait donc
l'équation
= Sfr + Pons p + p” Hé Gp GE
H-etc. és
et chaque rentier toucherait les sommes
(RME Pal la
fin de la 1° année, fe jrs di à la fin de la 2°, etc.
