PARA LA

vi +0 ce 2 NE

C’est à ce cas que reviennent les retenués que l’on fait aux employés dans certaines administrations, pour leur assurer des pensions de retraite.

Si la caisse doit donner des secours en maladie , il faudra introduire dans le second membre les produits de ces sommes, réduites à la même époque et multipliées chacune par la probabilité de les délivrer. Cette probabilité doit se conclure des observations faites avec soin , sur le nombre et la durée moyenne des maladies STE, la classe d'individus à laquelle la caisse est particulièrement affectée.

L’utilité de semblables établissemens estsi évidente,

LÀ

DES PROBABILITÉS. 235 que de simples ouvriers laborieux et économes se sont réunis pour en former. Quoiqu’ils n’eussent pas tous les élémens nécessaires pour bien asseoir leurs calculs, et que leur petit nombre ne leur donnât pas autant d’assurance qu’une réunion plus considérable, cependant plusieurs de ces réunions ont prospéré.. Toutes ont senti l’avantage qu’elles auraient à s’étendre; mais, comme on peut le voir par les intéressans rapports qu'a faits sur ce sujet, à la Société Philantropique, M. Dupont de Nemours, presque toutes ont craint d'attirer les regards, de peur d’être atteintes par la versatilité des systèmes financiers de l’état; car ce n’est que par une grande süreté dans les placemens, que ces caisses peuvent prospérer. L’idée de les lier avec l’administration du Mont-de- Piété, comme l’a proposé M. Mourgue , dans le plan qu’il a présenté à l’Institut, serait très heureuse , si cette administration, qui peut faire l’emploi des plus

| petites sommes, et dont les capitaux sont dans un mouvement Rate SR demeurait indépendante des

fonds publics (*).

132. Lä forme des caisses affectées aux pensions des veuves peut varier aussi de plusieurs manières ; mais il suffit de considérer la forme la plus simple, pour pouvoir, au moyen de ce qu’on a vu dans les articles | précédens, se faire une idée de la manière de traiter

les autres. Que chaque homme marié donne, soit en se mariant, soit annuellement, une somme, sous la condition que s’il meurt, sa veuve recevra, soit une somme, soit une rente donnée ; on exprimera facile ment les relations de ces sommes, en les réduisant

(*) Plan d'une caisse de prévoyance et de secours.

toutes à la même époque , et en les multipliant ensuite par la probabilité de les payer.

Si la condition est un seul paiement à faire par chaque membre de l'association et par la caisse, il suffira de substituer au nombre v, dans la première équation du n° 131, le nombre ee’ du n° 119, calculé d’après des Tables appropriées à la classe d'individus dont il s’agit, et aux nombres v,, v,,,, etc., celui des femmes qui deviennent veuves chaque année, lequelest la différence des valeurs de e‘f d’une année à l’autre.

Si les paiemens sont faits annuellement , tant par les associés que par la caisse , alors c’est la seconde équation du n° 131 qu’il faut employer, en substituant aux V, Vis Va, etc., du premier membre, les valeurs successives de ee” (119), et aux v,, ri, etc., du second membre, celles de e’f, qui désignent le nombre de veuves existantes à la fin de chaque année.

133. Ces exposés sommaires n’ayant pour but que de faire connaître les relations des diverses manières de combiner l'intérêt de l’argent avec les chances de la mortalité, et les moyens qu’on peut employer pour résoudre les questions qui s’y rapportent, je renvoie aux auteurs qui en ont traité particulièrement, à la tête desquels il faut placer Euler, pour son ouvrage sur les Caisses des veuves; mais je ne dois pas omettre de faire observer que si, dans les emprunts, l’équité exige qu’on rende aux prêteurs tout ce que leur assigne la formule de l'espérance mathématique, il.n’en saurait être de même dans les caisses établies pour les épargnes , les secours , etc. Celles-ci ont des frais d’administration qui doivent être supportés par :tous les membres de l'association. De-plus, tant que l’assoclation est peu nombreuse, la caisse doit prendre quel-

que avantage, afin de parvenir à former un fonds qui puisse parer aux irrégularités que la succession des évènemens présente par intervalles, ou bien elle risquerait de se trouver hors d’état de remplir les conditions qu’elle s’est imposées. Elle donnera donc un intérêt moins fort que le taux ordinaire, ou fera une retenue sur les sommes payées par les sociétaires. La réunion de ces bénéfices, multipliés par les probabilités qui leur correspondent, compose l’avantage du ban-— quier, comme pour la loterie et les jeux; mais sa détermination exige encore qu’on distingue le cas où la caisse n’emploie à faire son service que les fonds qu'elle a reçus, et celui où le banquier a entrepris, à ses risques et périls, de faire ce service sur ses propres fonds, au moyen da bénéfice qu’on lui alloue (*).

(*) Après avoir négligé pendant trop lang-temps d’imiter des établissemens utiles que nous voyions prospérer chez nos voisins, nous paraissons nous y porter avec un engoûment que des spéculatenrs s'efforcent de mettre à profit, en variant de toute manière les formes qui peuvent faire naître des espérances, ou plutôt des illusions enivrantes. [Il serait donc convenable qu’on répandit à ce sujet des lumières propres à éclairer sur des déceptions qui peuvent nuire, non-seulement aux particuliers qui en seraient les victimes, mais aux établissemens équitables et désintéressés , dont la conservation importe beañcoup an bien de la société.

Le point fondamental de ces instructions serait de faire connaître avec précision la nature et les avantages des diverses formes de cumulations d’épargnes et de remboursemens , afin de montrer celles qui sont le: plus favorables à l’intérêt des familles et à l'acquisition des habitudes qu’on doit encourager. D’abord on doit placer en première ligne les caisses d’épargnes dans lesquelles on recoit de petites sommes pour les accumuler, et rendre le produit éntier À des époques plus ou moins éloignées, comme l'établissement des enfans, là âge avance du père de famille. Icr, lorsque lPemploi des fonds de 5 caisse à élé sage, il y a peu ou point de risques à conrir; le travail et la bonne conduite ont letir récompen-e, qui tourne

134. C’est à ce dernier cas que se rapportent les compagnies qui assurent les marchandises et les vais seaux, contre les risques de mer ou de guerre. les maisons, contre les incendies, la valeur des récoltes,

tout entière au profit de la famille ,» et par conséquent de la so= ciéte,

Malheureusement ce mode est trop peu productif quand les à nomies qu’on peut faire sont faibles : on a donc voulu , pour en. augménter le résultat, les combiner avec les chances de la mortalité; et considérant toujours l’activité et le travail comme la ressource imrhanquable et nécessaire des familles peu aisées, on s’est borné à préparer des secours pour des malheurs imprévus : de là sont nées les assurances sur la vie et les caisses des veuves, par lesquelles on assure à des survivans une somme une fois payée ou une pension pour suppléer, pendant un temps plus ou moins long , au travail du père de famille, De tels établissemens se recommandent par eux-mêmes sous tous les rapports, puisqu'ils encouragent le sentiment le plus noble et le. plus utile à la société, le bienveillance pour nos proches.

Que par des circonstances de lenr vie, des individus sans famille, on n'ayant que des parens aisés, se décident , pour améliorer plus sensiblement leur position, à faire des placemens viagers ; ce mode, moins digne d’être encouragé que les précédens , est encore bien préférable aux tontines; car, dans l’un comme dans l’autre, le fonds est perdu povr les héritiers; maïs du moins dans le premier, où le remboursement de ce fond s'effectue À mesure que la vie du rentier se prolonge, il obtient beaucoup plas tôt un revenu meilleur que celui qu’il tirerait de la tontine, et ne perd que l'espérance frivole d’un revenu exagéré, auquel atteint à peine un petit nombre d'individus privilégiés, ou celle d’une riche succession, encore plus difficile à recueillir. !

Il n’est donc pas possible de voir dans les tontines autre chose que de véritables loteries dont les inventeurs s’adressent à la cupidité des actionnaires , et à cette passion de tenter les hasards qui ést la source de tant de désordres dans lés jeux. Si les inconvéniens des tontines sont moindres, c’est parce que le tirage, ou la décision du jeu , n’a lieu qu’à une époque très éloignée ; mais dès léur origine il a été reconnu que leurs chances n’étaient propres qu’à endormir l'activité de ceux qui s’y étaient intéressés.

Aces observations morales sur l'effet des tontines, relativement

contre les intempéries des saisons, et en général tous les genres de commerce qui dépendent d’évènemens soumis au hasard, Celui qui se livre à de pareilles spéculations doit trouver dans.le taux qu’il exige,

th mo 6 0 +, 2 NN

aux rentiers , il fant joindre la difficulté de les amener à l’état d’un jeu égal, en les assujettissant aux règles du calcul des probabilités. Leurs auteurs, ne cherchant guère qu’à présenter des chances séduisantes , sans s’astreindre à la détermination exacte des probabilités qui dépendent d'opérations presque impraticables par leur lon< gueur, se bornent à réunir les associés en classes dont l’étendue est telle que les plus jeunes ont sur les autres un avantage très marqué; vient ensuite la difficulté de partager les fonds à l’expiration de chaque classe ou de ja tontine. Pour échapper à ces embarras, il n°y aurait qu'une seule manière, ce serait de ne grouper ensemble que des individus de même âge, daus les mêmes circonstances, d’assigner l’héritage de chaque classe au dernier survivant; mais c’est un mode impraticable dans des associations formées d’un nombre peu considérable d'individus ; et il est bien à désirer que ce nombre demeure toujours renfermé dans des limites très étroites.

Parmi les raisons qu’on a fait valoir en faveur des tontines, on n’a pas manqué de dire que, par leur moyen, le capital était conservé; mais peut-on dire que celui des rehtes viagères soit

| perdu pour la société? Le rentier qui a eu plus d’aisance, con-

sommant à raison de son revenu; a contribné au mouvement de l’industrie et du commerce, et c’est là tout ce que la société

, peut demander en général. Que lui importe qu’un particulier

jepenne très riche, tandis que d’autres languiront dans le besoin ? Le but de la société est, ou doit étré, de distribuer le mieux qu’il est possible entre ses membres les douceurs que procure la civilisation, et non pas de les accumuler dans un petit nombre de mains , en favorisant l’établissement des grandes fortumes aux dépens des petites. | Ceux qui désireront plus de développemens sur ce sujet, pourront consulter le Moniteur du 4 octobre 1821, qui contient un rapport

! fait à l’Académie des Sciences , dans lequel M. Fourier a exposé

avec étendue les principes rationnels pour juger les.divers genres de placemens. Quant au calcul et aux données sur lesquels ce calcul est fondé, nous renverrons, à l’ouvrage que M, Francis Baily a publié sons le titre de The Doctrine of life annuities and assurances, etc., déjà cité p. 204.

240 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE premièrement une probabilité très considérable de ne pas entamer ses fonds au-delà d’une certaine limite, afin de pouvoir continuer suffisamment sa spéculation ; secondement , une probabilité assez srande d’obtenir un profit au moins égal à l’intérêt que ses capitaux lui auraient rapporté dans. un placement qui ne lui eût fait courir aucun danger, plus au salaire auquel lui donne droit le travail qu’exige de lui son entreprise. Le premier élément à déterminer ici est le risque de perte et la probabilité de succès, Il ne serait pas aisé de dire comment on s’y est pris à l’égard des risqués maritimes; car je ne sache pas qu’on ait dressé des listes exactes et loug-temps continuées des vaisseaux qui sé sont perdus, ou qui ont été pris dans différentes guerres. La construction et le dépouillement de ces listes exigeraient beaucoup de détail, puisque dans la classification des évènemens, il faudrait considérer le lieu et le témps, soit du départ, soit de l’arrivée, la force du vaisseau, celle de l'équipage. Le détail de la valeur des pertes serait encore plus considérable, puisqu’on assure non-seulement le corps du navire, mais

les marchandises qu’il porte, et qu’on répond des ava

ries que ce corps ou ces marchandises peuvent éprouver. Il ne paraît même pas possible: d'apprécier avec quelque exactitude cette foule de circonstances ;.maisil

est vraisemblable que les profits du commerce maritime ayantété d’abord très considérables, les/négo2: cians, dans la vue de se procurer des rentrées ter.

taines, ont pu faire sur ces profits des sacrifices assez srands pour tenter des spéculateurs hardis. L’exemple des gains que ceux-ci. ont faits leur a bientôt donné des concurrens ; d’un autre côté, le bénéfice des marchands devenant moindre, etles dangers diminuant par le per-

fectionnement de la navigation , les uns ont appris de :

lexpérience ce qu’ils devaient abandonner, et les autres ce qu'ils devaient exiger pour ne pas trop compromettre leur fortune (*).

‘ Si l’on voulait appliquer aujourd’hui le calcul à ce genre d’assurances, il y aurait de grandes recherches à faire dans les ports, pour se procurer des données exactes ; maïs il y a tout lieu de croire qu’on n’en retirerait pas beaucoup de fruit; car l’Académie des Sciences proposa trois fois ce sujet de prix, de 1783 à 1787, et ne put rien obtenir de satisfaisant. La théorie n’était pas diflicile à établir, mais les faits ont toujours manqué ; et ensuite la considération d’un nombre fort grand de risques ayant des probabilités et des valeurs différentes, aurait rendu les calculs impraticables, à moins que l’on n’eût réduit tous les risques qui offraient quelque analogie , à un

(*} J'ai vu dans un Mémoire manuscrit, dont l’auteur paraissait assez au fait de la pratique des assurances maritimes , que ie risque

en temps de paix était estimé à = dans les cas les plus ordinaires,

ce qui exigeait une prime de 1 et + pour &. On trouve dans les Annales de Chimie et de Physique, un strait du Tableau des Régions arctiques, par M. Scoresby, où sont rapportés des faits qui donnent la mesure du danger de perte pour les bâtimens hollandais et anglais qui vont pêcher la baleine vers le Spitzberg et la baie de

Bafn, C’était d’abord 4 sur 100 ou pour les Hollandais, dans

: ; : I EU les environs du Spitzherg , puis 2 sur roo ou — , près du détroit de

J “Davis, et. maintenant moins de os Pour la flotte anglaise des

-bäleiniers qui: fréquentent ces parages. ( Annales, etc., t. XVIII, “à

page 45.)

." Suivant le Mémoire manuscrit que j'ai cité plus haut, le risque

d'incendie est estimé

ail: : ; pour les maisons couvertes en ardoises

ut bâties en pierres.

3° édition. 16

seul, d’une probabilité et d’une valeur moyennes, ce qui aurait été moins exact, mais ce qu’il paraît impossible d’éviter de faire, même pour les autres genres d'assurances. IL aurait fallu aussi, dans la rigueur, faire usage des formules qui donnent les probabilités à posteriori ; mais il n’était guère moins nécessaire de sacrifier encore ce point à la brièveté (*”).

135. En réduisant donc la questiôn à à l’état le plus simple, ne considérons que deux évènemens , l’un entièrement heureux, dont la probabilité soit e, l’autre faisant payer par Vdsnièut une somme a, et dont la probabilité soit f; désignons par p le nombre des vaisseaux assurés, et par Ÿ la somme que l'assureur reçoit pour éhacun. Cela posé, la somme des termes du développement de (e + f}, à partir du premier terme jusqu’au terme affecté de e?—1f4 inclusivement, donnant la probabilité que le nombre des évènemens malheureux ne surpassera pas g (22), si l’on étend cétte somine jusqu’au terme où elle cesse d’être moindre que la probabilité à laquelle l'assureur veut arriver, de ne pas outrepasser la plus grande perte e qu’il consente à éprouver, et que g' représente la va= leur particulière deg à ce terme, g'a— pb sera la plus grande pérte correspondante à la probabilité fixée:

(*) En examinant le sujet de plus près, la difficalté paraît augmenter encore; car les naufrages arrivant en grand nombre par Peffet des ouragans, la probabilité de la perte d’un navire ne saurait plus être regardée comme celle d’un évènement simple : il faudrayt remonter jusqu’à | la probabilité propre des ouragans dans telle on telle région, et là combiner avec la probabilité de la perte d’an na-' vire dans ces circonstances. ” %

Onestime que dans l'hiver de 18a1 à 1823, il a péri environ 20097 navires et 20 000 hommes ; 250 bâtimens et 2500 hommes ontété englou-» « üs sur les côtes du Dérniroke seulement. (Bulletin des annoncesét : des nouvelles scientifiques, t. LIT, p. 340, n° 8, août 1833, extrait RÈ du Courrier anglais du 6 mai.) . e

DES PROBABILITÉS. 243 . En l’égalant à c, on aura l’équation | q a—C !

gd'a—pb=c, d’où b— " ;

puis représentant par g le gain que donne l’opération, lorsque le nombre des évènemens malheureux est ré—.

duit à g", on formera l'équation

po—g'a=s, dans laquelle mettant la valeur de, pb; ; tirée de l'équation précédente, on aura 5e

— / # gdac--qga=sg OÙ , q QU Sn ITR

; : ? s J Ta 12 par lorsqu'on se donnera g, fera connaître g par g’, indépendamment de p. Calculant alors la

probabilité correspondante à la valeur dé 4, on

verra si elle donne une espérance suffisante d'atteindre au bénéfice que comporte la nature de l’entreprise. Si cela n’était pas, on pourrait augmenter cette probabilité, en prenant pour l’exposant p qui marque le nombre des vaisseaux assurés, des nombres de

plus en plus grands, afin que le rapport 2 7 T 3 Er de-

venant de plus en plus petit, la somme des termes compris entre ceux qui sont affectés de e?—7f#" et de ep—3"f4", et composant la différence des probabilités de perte et de gain, décroisse de plus en plus. .136. Pour bien concevoir l’usage de ces formules, il est à propos, de se former une idée de la marche des valeurs qu’elles prennent dans des cas te ticuliers : à cet

effet, j'ai supposé e =, J=r set je rapporte -

ci-dessous les 12 premiers termes Fe développement

de (-22 Eur ÿ

109 100/ l’addition successive de ces termes.

, avec les sommes résultantes de

Sommes

Pertes. | Probabil. des probab. Pertes.

0,27203/10,676681 | 0,181355|0,858036 0,000172 ARE 0,090220|0,948256| 10 |0,000033|0,999994 0,035723l0,983979|| 11 |0,000005|0,999990

Dans ce Tableau, qu’on peut regarder comme exprimant les évènemens de l’assurance de 200 vais-

L1 f LU I seaux, soumis chacun au risque de sm la colonne

marquée probabilités indique celle de la perte isolée de o, 1, 2,....11 bâtimens, et la colonne des sommes, la probabilité que la perte n'ira pas au-delà du nombre indiqué dans la première colonne.

En prenant la valeur de 7 vaisseaux, ou 7a pour la somme c , perte extrême, et supposant que l'assureur veuille Due une Droba ble 100000 contre 1, que l'évènement n jPHtEEpAsse re pas cette limite, il faudra descendre jusqu’au terme où la somme des probabilités surpasse 0,99 999; ce qui a lieu au 11° terme, qui ré pond à g" — 10. Par ce nombre, l’équation ga—c 3a

, donne b — — T7 200”?

c’est-à-dire 1 + p.? de la valeur de chaque vaisseau. Si l’on voulait ensuite connaître la probäbilité que, le bénéfice de l’assureur ne tombera pas au-dessous d’une .

DES PROBABILITÉS. … CAD certaine Hmite, par exemple du 10° de la somme 6, il faudrait prendre g—0,7a, et l’équation q—qg— Ste, conduirait à 10—g"=—=17,7 ou g"=2,3, valeur qui tombera entre celles de 9 au 3° et au 4‘ terme, auxquelles correspondent des probabilités 0,676 681 et 0,858 036 : on peut donc s’arrêter à environ À. On aurait une probabilité plus forte en donnant une valeur plus grande à d, ce qui diminuerait celle de c.

Dans l’hypothèse établie ci-dessus, il suffit d’aller jusqu ‘au 4° terme pour n ’ètre pas encore en perte, | puisque celle de 3 vaisseaux est compensée par les primes reçues pour tous : l’assureur aura donc la proba-

bilité 0,858 036 >> A de ne pas entamer ses fonds.

Quand, on porte à {oo le nombre des vaisseaux assurés, et qu’on fait en conséquence le développement de

ja ; Hy te te (2-80) à

pour former le tableau analogue à celui de la page précédente , si l’on raïntient la prime à 5 5 p. 2, comme cidessus, qu’on cherche la limite de la perte qui répond à une probabilité de 100 000 contre 1, on trouve qu’elle tombe entre le 15° et le 16° terme, où la somme des probabilités s'élève à 0,9 999 957, ce qui répond à la perte de r4 ou 15 bâtimens, c’est-à-dire d’une somme comprise entre 14a et 15a; mais le produit des primes étant 6a, ramène cette limite entre 8a et 9a. Si l’on voulait la réduire à 7a, il faudrait augmenter un peu la prime, ou se contenter d’une probabilité plus pe

tite; car elle serait donnée par lex4 terme, sl: 20 sa

à 0,9 999 321. , Quant à la Droba Bt du gain de la 10° pue

de ga, on aurait pour la déterminer l’équation...

15—g"—=0,9, ce qui donnerait g—5,et menerait

au 6° terme, où -la somme des probabilités est

0,7 859 190 , environ B. Enfin , la probabilité que l’as-

sureur n’entamerait pas ses fonds, se ‘formant de la somine des 7 premiers termes du développement cal-

culé, s’éleverait à 0,8903749, près de es:

137. Lacomparaison de ces résultats avec ceux du premier exemple, fait voir que la limite de perte correspopuEnte À une probabilité de 100 000 contre 1 , croît à la vérité, maïs dans un rapport beaucoup moindre que le nombre des vaisseaux assurés, et que la probabilité du gain, et celle de ne pas entamer les fonds, augmentent aussi, ce qui établit l’avantage qu’obtient l’assureur quand il multiplie ses OP Ces remarques sont assez importantes pour qu'on cherche à les constater par des déterminations relatives à un très grand nombre d’assurances ; c’est ce que j'ai fait en calculant les 72 premiers EUR du développement de G

Dia,

qui conduisent à une somme de probabilités déjà fort supérieure à celle de 100000 contre 1. En faisant usage des logarithmes, le travail n’est pas aussi considérable qu'on pourrait le croire d’abord; mais pour: obtenir uneexactitude suffisante, il faut employer à la formation

des puissances de 09, des logarithmes man au moins

10 décimales,

C’est entre le 60° et le 70° terme que la somme des probabilités atteint 0,99999; au 70° terme’on a g'=69. La perte corréspondanté à ce nombre serait donc 69a ; mais les primes, toujours à 1: p. ©, formant un total de 60a, la perte effective serait seulement de 94 résultat qui ne diffère pas sensiblement de celui 8 "ont donné {00 assurances.

Pour un gain au moins égal à la 10° partie de 54, on trouve g'= 59, ce qui donne une probabilité égale à 0,9 982 1671, ou plus de 5oo contre 1.

Enfin, les primes couvrant la perte de 600 vais-

-seaux, la probabilité que les fonds de l'assureur ne

seront pas entamés est 0,9 988 661, plus de 800 contre 1. ..

Si l’on trouvait le gain de o 94 bien petit , AYE ER l’entreprise embrasse {ooo assurances, et que d’ailleurs il doit être augmenté en raison de l’accroissement des frais d’administration, on perdrait sur la

probabilité, puisqu'il faudrait remonter à un terme moins avancé dans le développement ; mais on trou-

verait encore des probabilités assez fortes pour des

gains beaucoup plus considérables : par exemple, celle que le nombre des bâtimens perdus ne s’élevera pas

au-dessus de 48, évènement qui laisse encore 124 de

Ce dernier sutRe montre it que les avantagés de l’assureur croissent beaucoup plus rapidement que ses risques ; et le peu de changement qu’a subi la valeur de c, en passant de p = 400 à p— {000 , semble

indiquer que la prime et la probabilité extrême de

perte, demeurant les mêmes, cette valeur, de c est sus— ceptible d’une limite dont 9a doit approcher, beau coup, dans les hypothèses établies ci-dessus.

Pour la déterminer en général, il faudrait pouvoir assigner, au moyen des quantités p, e, f, la valeur que doitavoir g, quand la somme des termes du développement de (e + f }? depuis le premier jusqu’à celui qui-est affecté de eP—1f# inclusivement, a une valeur donnée ; c’est ce qu’il paraît assez difficile de faire à priori. Mais quand le second terme du binome est comme ci-dessus, très petit, le nombre des termes à calculer n’est pas très considérable, et l'opération peut être abrégée par des artifices, convenables à ce cas particulier, ou par des tables dressées d'avance. (Joyez à ce sujet la note F.) (*). DUT Le B.

a 4 »r . Se , (*) Les calculs précédens fournissent des exemples remarquables de la proposition énoncée dans la note de la page 115; car dans les développemens de

les plus grands termes, savoir, le 3e du 1er développement, le 5 du second et le 41e du troisième, étant respectivement

décroiïssent, comme on voit, assez rapidement; la somme des termes qui précèdent, prenant les valeurs

8 approche de plus en plus de 0,5 ou+, et le reste des termes de chaque puissance, égal au AU à l’anité, donne les valeurs

moindres que les précédentes, mais tendant aussi vers à. Persuadé que les applications particulières frappent bien plus-

138. Afin de donner aux calculs précédens toute l’exactitude dont ils.sont susceptibles , il faut tenir compte de la différence des époques auxquelles, suivant le contrat d’assurance , les sommes a et à doivent se. payer, ou, ce qui est la même chose; substituer aux lettres a et à les valeurs de ces sommes, réduites à la même époque. Quant à la valeur des probabilités exigées pour la perte ét lé gain, on la déterminerait à posteriori, Si l’on connaissait les résultats. moyens d’un assez grand nombre d’opérations suivies avec succès, ou bien à priori, en les comparant avec des probabilités de risques auxquels on s'expose volontairement, sur des motifs plus ou moins légers. L’un et l’autre a ces moyens ont été proposés par Condorcet, à l’article AssuRANGE , dans le Dictionnaire de Mathématiques de l'Encyclopédie méthodique, et bientôt j'indiquerai les bases du second.

139. Après avoir discuté les intérêts de l'assureur, il faudrait s’occuper de ceux de l’assuré, mais cela me meneérait trop loin. Je me borneraiï à remarquer que la garantie des sommes assurées ne peut être fixée que

— ES qi

l'esprit que des énoncés généraux, j’ai cru pouvoir m’arrêter sur les précédentes, qui mettent en évidence les propriétés de la formule da binome; sur lesquelles reposent les résultats les plus importans du calcul des probabilités (26, 27, 28, 34), et entre autres cette accumulation des termes plus forts dans les environs de celui qui

est le plus grand de tous (30). Elle est bien indiquée par la rapidité

ANNE avec laquelle décroît le rapport 7 1 du nombre des termes com-

pris entre ceux qui répondent à la limite de la perte et à celle du. gain , avec le nombre total des termes du développement. Dans les exemples précédens, ce rapport devient successivement

250 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE par” une probabilité convenue pour celle dé la: plus grande perte dont l'assureur soit tenu de répondre ; on peut alors exiger que la somme destinée à cou vrir cette perte Soit préalablement déposée ou assignée sur des gages suflisans. On voit que cette somme doit être la même que celle qui a été desipace se ( dans le n° 133. | |

‘Je términérai ce qui regarde les assurances, en faisant observer que leur propriété caractéristique est de tendre à ramener à une valeur moyenné le bénéfice de toutes les entreprises du même genre, en quelque nombre qu’elles soient; car c’est avec le’ gain que les assureurs font sur les assurés je réussissent, qu'ils iñndemnisent ceux qui perdent : c’est donc à à peu près comme si tous avaient ,mis leurs fonds en commun et étaient convenus de réparer, au moins dans une”certaine proportion, les pertsé particulières. Ainsi, à l'égard des récoltes , c’est xeverser dans les cantons où elles ont souffert,

une partie de l’excédant obtenu dans ceux où: bles ont prospéré. Les assureurs sont les agens intermédiaires de cette association fictive, et le profit qu'ils font doit être considéré comme le salaire des fonctions qu’ils y remplissent (*). S'il existait un autre moyen de diviser les risques, l’assurance deviendrait superflue ; et cela aurait lieu naturellement pour le négociant qui prendrit part immédiatement à un très grand

(*) Le principe indiqué ci-dessus est précisément celüi qui sert de base aux assurances mutuelles, comme celle qui a lieu à,Paris pour les maisons incendiées. Les.frais de régie sont les mi: à la charge des assurés, puisqu’iln”y a point de bénéfices à donner aux assureurs. M. (Her a fait sur ce sujet un Mémoire très intéressant, dont on trouve l'extrait dans les Annales de Chimie et de

Physique, t. X, p. 177 (février 1819).

DES PROBABILITÉS. ob:

nombre d’entreprises,-et le propriétaire qui aurait des possessions disséminées dans un grand nombre de can tons éloignés les uns des autres. ;

De ro Probabilité ds 7; SEE et des décisions.

140. Lorsqu'on peut l’assimiler au jet d’un dé, le témoignage admet l’ 2PLUca tion du calcul des pr ins lités; et c’est ce qu’on a d’abord essayé de faire en supposant que, sur un nombre donné de dépositions,

le même témoin dit ou rencontre un même nombre de

fois la vérité. Nous commencerons par tirer les principales conséquences de cette hypothèse, dont nous discuterons ensuite la convenance avec le sujet.

Soit v le nombre des cas dans lesquels le témoin

dit vrai, m celui des cas contraires; la probabilité