Fe

dans lequel tous les termes où l’exposant de m est pair, indiquant un nombre pair de mensonges successifs, devront être pris en faveur de la vérité de la tra— di HE si les dépositions ne peuvent varier que éOntra= dictairé nel sa PÉHRURtE sera donc

yP LP je D ppt + cr GED AL à

et la probabilité contraire,

Se TD ET

£ uP—Iim + RGp—1)CRE 9) 2) vP—3rn° + etc.

” | (vo + gi |

te On simplifie praplese ces expressions, en observant que le numérateur de la première équivaut à

(em)? {em}?

ER ee LE à RULES DD 9

et celui de la seconde à ‘

+ MP — (0 — my.

ra nid

parce qu’elles, deviennent respectivement

SA ur AN MAN À Am

(+ m)P— (om) fv—m 2(v + m}P es M fe f:

144. Les deux espèces ‘de témoignages que nous avons considérées.précédemment peuvent se combiner. Par exemple, un nombre p de témoins déposent chacun séparément sur un fait qu'ils tiennent d’un individu qui l’a vu : alors la probabilité que les témoins rapportent fidèlement ce que celui-ci leur a dit, est, s'ils sont unanimes,

mP;

; (An), et sa contraire, PL

à id

Supposant que la probabilité du témoignage de celui

la contraire — (4m? Fm

la probabilité de la vérité de la déposition finale sera

qui a vu le fait soit aussi

vPhi | (GP + m)(v+ mm)’

si l’on ne doit y admettre que des témoi ignages conformes à la vérité, et

vP+ p+1

Nr (PP + mP)(v 4m)

quand deux mensongés successifs équivalent à la * vérité, |

Si le même fait était transmis par plusieurs chaînes

de traditions distinctes, composées chacuned’un nombre

? de dépositions successives, dont la dernière seule eût

été entendue par celui qui prend l'information, on au-

rait d’abord, par chaque chaîne en particulier, pour la vérité.et pour l’erreur, les probabilités

(o+m}P+ (om) (v+m)P—(v— my 2(v+m} "1 (om (x43) ;

en les désignant par Ÿ” et 37, nommant g le nombre des chaïnés de dépositions, et supposant qu’elles soient unanimes, il en résulterait une probabilité

FFM

en faveur de la vérité du fait énoncé.

La marche de cette expression dépend du rapport de v à m; et pour la déterminer, il faut d’abord observer que celle de ÆZ est contraire à celle de 7, puisque + M1; qu'ensuite, lorsque v—m, on a V=M= ;, et que cette dernière valeur est une limite vers laquelle tendent, dans tous les autres cas, ces quantités à mesure que p augmente. La première est toujours”> > quand vsurpasse m ; maissi lecontraire a lieu, il en résultera 7 << 1 ou 5 1, selon que p sera impair ou pair. Ge changement singulier, que produit l’addition d’un seul témoin à une chaîne d’ailleurs aussi nom-

breuse qu’on le voudra, vient du double témoignage erroné , compté comme vrai (142).

149. Nous avons supposé jusqu'ici que les dépositions étaient entièrement vraies ou entièrement ? fausses, cé qui n’a réellement lieu que lorsque l'infor-

mation est réduite à des interrogations simples, aux- Es édition: | 17

258 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE quelles on ne peut répondre que oui ou non. C'est à

ce point qu'il faut toujours tâcher de les ramener, en analysant | les énoncés : mais quand la chose n’est pas possible, on doit distinguer plus de deux sortes de témoignages. Lambert, qui s'en est occupé dans son Novum Organon, les a classés én vrais, insignifians, ou nuls, et faux.

Si l oh prend toujours le dé pour emblème, cela revient à supposer qu'il a trois sortes de Fes” et qu’en conséquence on doit embrasser dans chaque épreuve un pareil nombre d’évènemens possibles. Les formules relatives à ce cas (54) résolvent toutes les questions analogues aux précédentes ; mais le caleul devient trop long pour trouver place dans ce Traité.

146. Quand on considère combien de faits extraor— dinaires ont été reconnus faux, quoique appuyés, sur des témoignages multipliés ou d’une autorité imposante, on est porté, toutes choses d’ailleurs égales, à donner d’autant moins de confiance aux dépositions, que les faits qu’elles attestent s’écartent plus de ce qui se passe häbituellement sous nos yeux. En effet, si, lorsqu'il s’agit’de tels faits, le nombre de inensoñges ou d'erreurs est dans un rapport beaucoup plus grand; avéc le nombre total des dépositions , que lorsqu'il s’agit des faits compris dans l’ordre constamment observé, le poids du témoignage ne doit pas être le même pour les premiers que pour les derniers ; la forme du dé doit changer avec la nature du fait; mais c’est encore ici une de ces circonstances dont j'ai parlé dans lé n° 75, où l'on cherché à donner au calcul une forme. qui rapproche ses résultats des aperçus du bon sens. On voit bien qu'il faut substituer au rapport constant par lequel ôn représente la probabilité.du témoignage,

Lu /

Suivant l'hypothèse du n° 140, une expression. qui le fasse décroître avec la vraisemblance propre du fait. attesté ;. mais on ne trouve pas dans la nature du sujet, des conditions assez étroites pour établir une relation précise entre ces deux élémens. On s’est ar=

rêté à regarder la probabilité propre du fait comme

représentant celle d’un second témoignage recueilli concurremment avec le premier, ce qui donne pour cetté déposition , les M Pere | (7200 mm pH mme y d À mm’

en supposant que. la pépbäbilité propre du fait soit 4 4 mm % HE “et sa contraire, V + (”):

Si ce fait est, par exemple 4} extraction d’une boule lanche, d’une urne qui ne contient que cette RON

mêlée BEN 999 boules noires io ra ch é -

# lie ra — I % m gore RES 4 | S et la probabilité favorable au témoignage sera ré duité à |

CNNNNT AIT v + 999 99977

147. Laplace, considérant à part la probité du témoin et son intellige: ce, exprime séparément la pro- Mpabilité que le témoin dit ce qu'il a vu ou entendu,

et celle an il a bien vu ou bien entendu (**). De là

{*) C’estce qu'a fait Condorcet, “Mém. de l’ Acad. dés PR , ann. 1983, p. 553. .

{**) Théorie analytique des Probabilités. P: Hu.

260 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE résultent, sur sa déposition, les quatre hypothèses suivantes : | |

1°. 11 connaît la vérité, 2°, ou il est dans l'erreur, 3°. 11 connaît la vérité, 4°. ouilest dans l'erreur,

} et veut dire la vérité, } et veut mentir.

La dernière comprend un cas semblable à celui du double témoignage erroné (142), puisqu’en chérchant à tromper sur cètte vérité qu’il ne connaît pas, le té-— moin peut la rencontrer. Il est d’ailleurs visible que cette classification des évènemens revient à faire du témoin deux personnes, qui déposent l’une après l’autre, dans chaque cas. Combinant les deux témoignages successifs avec la probabilité propre du fait, Laplace calcule la probabilité de chaque hypothèse, et divise par la somme de toutes ces probabilités; la somme de celles qui sont pour là vérité de la déposition, di

En nommant, ee lui, p la probabilité que le témoin veut dire la vérité, r la probabilité qu’il l’a saisie,

et = celle du fait rapporté, qui est ici l’extraction

du numéro ?, d’une urne qui en contient n, on aura ? , pour la vérité, dans la première hypothèse, la proba= {

Hilit LE ; 42

Dans. la seconde, où le numéro à n’est pas sorti,

,et celle de

Sr. 7 nm la probabilité de. cet évènement est

l'erreur du témoin est 1 —r; cependant il n’en faut pas concluré que la probabilité composée soit.....

nn — I . + La p(i—r) TT» Parce que la non-sortie du numéro £

n’est pas tout l'évènement arrivé ; il y a encore le faux aperçu du numéro 2 parnni les ñ— 1 Le ne sont pas

sortis, illusion dont la probabilité est —. Enayant

h—1 égard à cette circonstance, la probabilité de l’évène-

+, et celle de l’hypo-

” : A— I] ment devient ——- X u n nil

PR) nm

thèse,

Dans la troisième, il faut combiner ensemble les probabilités 1 — p que le témoin ment, r qu'il connaît

ru I és ‘ la vérité, et — celle qui résulte de la non-sortie du nun

méro z et du choix qu’en fait le témoin ; on a pour résultat GpPX, n Dans la quatrième hypothèse ! (i—p) (1 —r) est la probabilité propre du témoignage, puisque le témoin ment et ne connaît pas la vérité; mais l’évènement peut être la sortie ou la non-sortie du numéro 2,

La probabilité du premier cas est —; le témoin croyant à nl

un autre numéro sorti, fera toujours le choix de son énoncé parmi? — 1 numéros.seulement ; la probabilité que ce choix tombera sur z sera par conséquent = ; et comme va ‘ia doit concourir avec la sortie du numéro à, Ja probabilité de l'évènement sera n(n—1) n(n—1) Gp} —r) ?

et il ne faut pas oublier qu'il est en faveur de la vérité.

, celle de ce cas du témoignäge,

Si l’on ne le distingue pas de tous ceux qui sont

cotnpris dans la dernière hypothèse, ‘lopinion du témoin portant toujours sur la sortie d’un numéro qui

R 4, 1—I 0 à’est pas À, aura üne probabilité re; la probabilité

qu'il choisira celui-là parmi les 7 — 1 numéros qu'ik .

: à . I sue #7 croit n’être pas sortis, sera net la probabilité de

l'évènement sera par conséquent encore — ; ainsi la x |

Gp) — 7) - n as

probabilité de l'hypothèse sera

On aura donc enfin

pr, (G—pr-r Ge pe

Er 4 PC — Fr) En CE Det os 1; SES ul (1 Es A, mr n—I

expression qu se réduit àp, sir—1, c’est-à-dire si le témoin n’est pas susceptible de se tr omper x CE qui diminue à mesure que z augmente. | Peut-être dans cette question , pourrait-on avoir quelque douté sur la nécessité de faire entrer dans di calcul la probabilité du choix que le témoin fait d’u numéro autre que celui qu'il sait ou qu'il croit ne sorti; et comment d’ailleurs déterminer séparément les probabilités r'et p? Il est donc difficile de croire que la formule ci-dessus serve autrement que comme un exemple des considérations ingénieuses que peut fournir le sujet qui nous occupe. Je rapporterai encore, dans cette vue, la question suivante tirée du même ou-

vraÿe.

149. Soient deux urnes À et B, la première contenant n boules blanches , et la seconde n boules noires ; on a tiré de l'une de ces urnes, on ignore de laquelle, une boule qui a été mise dans l'autre, et ensuite on atiré une boule de cette dernière. Deux témoins, dont l'un n'a vu que le premier tirage, et l'autre que le second, affirment qu'il en est sorti une boule blanche ; quelle est la probabilité de ce fait ? La difficulté se trouve ici dans l’ensemble des deux témoignages ; car chacun en particulier n’affirme qu’une . chose très possible, puisque l’une des deux urnes ne renfermant que des boules blanches, si l’on ne considère qu’un seul tirage, la probabilité que la boule a été prise dans cette urne est +. Mais si l’on suppose que le premier tirage ait eu lieu dans l’urne 4, le deuxième ayant nécessairement lieu dans l’urne B, qui ne contient de boule blanche que: celle qui est sortie de l’urne 4, la seconde apparition de cette boule devient d’autant moins probable que le nombre des boules noires est plus grand; ei ce cas est le seul dans lequel les témoignages puissent être vrais tous deux.

Soient donc g et g’ les probabilités de la véracité de chaque témoin en particulier, et évaluons celle des diverses hypothèses que le sujet présente. 1°. C’est | l’urne À qui a fourni le premier tirage : + étant donc la probabilité de ce fait, et g celle que le témoin dit vrai,

la probabilité de la déposition est 1; mais l’urne B,

lorsqu'on y fait le second tirage, contenant n+1 boules, dont une blanche, la probabilité du fait attesté par le

, 4 I in Je ph RS second témoin est a celle qu'il dit la vérité étant

q', te. exprime la probabilité de sa déposition,

et —77 = celle de la vérité de leur accord.

o(n + 1) 2°, Si le 2° témoin ment, la boule sortie de l’urne B

À à ER n était noire; alors la probabilité PV p" de cette sor-

tie , combinée avec 1 — g', probabilité du mensonge du 2° témoin, donnera pour la fausseté de sa dépo-

/ 4, Cm et pour la vérité de l’hypothèse n +1 | RCE 2(n +1) 3°, Si le 1°" témoin ment, la première boule était noire et sortait nécéssairement de l’urne B ; la probabilité de cette partie de l’hypothèse est; (1—g). Alors le second tirage s'étant fait dans l’urne À, qui renfermait z boules blancheset 1 seule noire , la probabilité

sition,

de la sortie d’une boule blanche sera Rae , celle de

la déposition du second témoin IE etcelle de Phy+

G—oggn RD oubitu à

4°. Si le 2° témoin ment aussi, la boule sortie de l’urne À au 2° tirage était noire, la probabilité de son

pothèse,

JE 0 I L apparition étant alors —, celle de cette partie » rm Ï .

de l’hypothèse sera re , etcelle de toute l'hypothèse a—ga 9) 2(n +1)

La probabilité relative de la première hypothèse, la

seule qui rende les deux témoignages vrais, sera done

AT pnEt-panti pag)

et diminuera à mesure que » augmentera. Si l’on fait

— g = 7%, n—= 1000000 Fa g = safe ; on obtiendra la très petite fraction —=—— 18 000 082

149. La discussion des témoignages touchant à des matières sur lesquelles on avait pris d'avance un parti, il est arrivé que plusieurs auteurs ont arrangé le calcul pour le résultat qu’ils voulaient, ou qu’ils avaient besoin de trouver. Ce n’est qu’ainsi, du moins, qu’on peut expliquer la théorie des témoignages simultanés, publiée sans nom. d'auteur, dans, le n° 256 des Tran-

sactions philosophiques (p. 359, année 1699), le plus

“ancien écrit que je connaisse sur ce sujet, et qui a

été adoptée par Bicquilley, dans son Traité du Calcul des: Probabilités (en 1783). Effrayé sans doute pour le but qu’il voulait atteindre, de la rapidité avec laquelle diminue la probabilité “P ces témoignages lorsque l’on combine entre elles, comme on le doit, les chances de chaque témoignage, et qué sa probabi= lité propre est au-dessous de (141), l’auteur anglais avance que lorsqu'un premier témoin a déposé d’un fait , sa confirmation par un second témoin détruit tou- ‘jours une partie de l’incertitude qu’a. laissée le premier, et diminue en conséquence la probabilité con— traire, d’uné partie proportionnelle à la probabilité de la seconde déposition. Par exemple, si ; exprime la probabilité du premier témoignage , + celle du second,

celui-ci ajoutera à la première +.+, et l’onaura en conséquence, pour l’ensemble des rh. témoignages, la probabilité :... :..

Es A ON 9

Re (LT SE MT

tandis que suivant les formules du n° 140, elle ne serait que <. 4

En raisonnant de même sur un nombre quelconque de témoignages où les probabilités de l'erreur seraient n, n ne LU > etc. ; on trouvera Jour celle de la vérité

nat ny; : “par 2 témoignages, 1— nn +nn(i—n)=1—nnn", par 3, etc. , | | | |

expressions dont les valeurs forment une suitecroissante, quellés que soient les probabilités n, n', etc., et desquelles il résulte par conséquent, que la probabilité d’un fait croît toujours avec le nombre des témoins oculaires. Cette conclusion peut être commode dans certains cas, mais elle suflit-aussi pour montrer la fausseté de l'hypothèse ; car il ne faut qu’un peu réfléchir pour se convaincre.de la difficulté et presque de lim possibilité où sont des spectateurs ignorans et nombreux, de ne pas se tromper sur l’apparence des: faits extraordinaires.

Lorsque les faiseurs de tours opèrent adroitement, et qu’onfait abstraction de la défiance que doiventinspirer à des esprits éclairés les apparences contraires à l’expé-" rience de tous les jours, aucun des spectateurs a-t-1l pour ne pas croire à la réalité des prodiges qu’on lui présente, d’autre motif que le but et la formé du spectacle ? Qu'au lieu des circonstances qui avertissent de Mile

C4 P ” CE FRA A ÿ 2 ” lusiôn, un sérieux solennel accompagne ces prétendus

prodiges ; qu’ils soient attribués à un pouvoir surnaturel ; qu’ils tendent à exciter l'enthousiasme, à caresser le gout que le vulgaire a pour ce.qui sort des voies ordinaires de la nature, ou pour trancher les difficultés devant lesquelles la raison est forcée de s'arrêter : il est bien certain que plus] es témoins seront nombreux, plus la probabilité « rreur augmentera. Hume l’a bien prouvé; les prodi es sont très difficiles, pour ne pas dire in possi bis à constater (*). Ce n’est pas que les phénoinènes les plus répétés dans la nature, vusune première fois, ne puissent passer pour des prodiges, et qu’il soit cuil me à la saine raison de faire des bornes de notre expérience, la limite du possible ; mais aussi n’est-ce pas la première apparition de ces phénomènes qui en constate l’existence. Long-temps on a nié, et avec raison, eu égard au caractèredes relations, au but des narrateurs, la chute des pierres tombées du ciel. Cet exemple très récent de la manière dont un faitexträordinaire finit par prendre place au nombre des réalités, prouve bien que c’est par des observations successives, particulières, et par des discussions désintéressées que la vérité s’établit. Si, lorsque le géomètre Fatio de Duillier, égaré par un enthousiasme fanatique, entreprit publiquement à Londres de ressusciterun mort{en 1707), ileüt été de mauvaise foi, qu’il eût pris ses mesures en conséquence de son but, et qu’il eût été moins surveillé par la police du gouvernement, à coup sûr il n’aurait pas manqué son prodige (**). La liquéfaction du sang de saint Janvier,

(*) Essais philosophiques sur les Miracles.

{**) La Ve section de Particle FANATISME du Dictionnaire philosophique de Voltaire (édition de Kehl), contient un bien plaisant récit de cette farce puritaine, dont les principaux acteurs furent mis ensuite au pilori.

à Naples, a toujours de nombreux témoins qui voient quelque chose de solideen apparence, devenir coulant; mais qu'est-ce qui établit que cette masse est du sang coagulé, que c’est celui de saint Janvier, et que son changement d’état n’est pas un effet chimique {*)? Les prodiges opérés dans les temples des Païens, qui précédaient ou accompagnaient les oracles, et dont quelques-uns ont été reproduits sous nos yeux par l’art du ventriloque , étaient dans l’antiquité des faits appuyés sur une multitude de témoignages. Aussi voit-on que des hommes, d’ailleurs d’un grand sens, paraissent y donner une entière croyance; et que dans les débats de la religion chrétienne avec les anciens cultes, le plus souvent on accorde de partet d’autre Ja réalité des miracles, on ne diffère que sur les êtres aux quels on les Ris Lan ER

Plus tard, en Puellant 14 RM ceux qui ont vu des revenans, qui ont eu une part active ou passive à des opérations magiques, des’sortiléses; n’en trouverait-on pas plus qu’iln’en faut pour donner à ces chimères une très grande probabilité? et elles étaient tellement conformes alors aux habitudes de l’esprit, qu’on y croyait sur les plus légers indices,

15b. Si done l'hypothèse du n° 140, adoptée par les séomètres les plus célèbres, qui ont traîté ce sujet, ne eq , (*) On connaît aujourd’hui plusieurs manières d’imiter ce prestige. ( Voyez les Mémoires de l’ Académie des Sciences de Paris,

année 1357, p.383, et Des Sciences occultes, par M. Eusèbe Salverte, t. I, p. 332.)

(**) Voyez. dans Tacite (Hist., lib. IV, cap. 81), et dans Suetone ( V’espasien, ch. 7), le miracle opéré par Vespasien dans Alexandrie ; voy. aussi le Traité d'Origène contre Celse, et Juliant imperatoris Opera, Lipsiæ , 1696, p. 191, 2° pagin.

répond pas éxactement à toutes les circonstances qu'il présente , ce n’est pas parce qu’elle accorde trop peu de poids au témoignage, mais bien parce que ce sujet ne saurait se prêter au calcul, à cause quela véracité et la sagacité des hommes, quand ils sont fortement'agités, éprouvent des changemens brusques, et principalement lorsqu'il s’agit de faits merveilleux. Outre que ces faits offrent plus de causes d’illusion que les autres, notre penchant à l'enthousiasme nous rend peu ani de les examiner ; et par eux-mêmes, ou par les suggestions du oise ils se lient presque toujours à de grands intérêts qui. nous préoccupent fortement ou qui font taire la voix de notre conscience.

Cependant, sans recourir à des hypothèses plus ou moins compliquées , la lecture de l'Histoire suffit pour nous faire apprécier le-peu de confiance que mérite le témoignage , lorsqu'il tend à établir des faits contraires

à l’ordré accoutumé de la nature , puisque les prodiges $ multipliés dans lestemps d’ignorance, diminuent avec l'accroissement des lurières, qui, ramenant l’esprit de doute et d’examen, rend très difficiles, ou au moins très peu durables , les illusions si fréquentes lorsque les sciences sont encore dans l’enfance. On ne peut pas assigner des nombres précis pour les degrés de valeur du témoignage dans Chaque circonstance ; mais comme en parcourant les temps et les lieux; on voit les prodiges les plus accrédités reconnus pour faux, et remplacés par d’autres qui ont bientôt à leur tour le même sort, on peut dire que plus on embrasse de temps et d’espace, plus on reconnaît la faiblesse de la probabilité de ce genre de faits, et que la constance des lois dela nature, dont les voyages et les découvertes scientifiques nous apportent chaque j jour de nouvelles preuves, doit servir de base à tous nos jugemens.

Cet affaiblissement du témoignage avec le temps, n’a rien de commun avec l’oubli dans lequel tombent à la longue, les faits simples confiés à la seule mémoire des hommes, ou à des monumens que la vétusté et les révolutions détruisent assez promptement, parce qu’ils sont peu multipliés. Les données manquentpour soumettre au calcul cette perte des souvenirs ; mais l’art de l’imprimerie l’a prodigieusement diminuée ; et tant que les ou vragés où sont consignées les discussions profondes:ou piquantes, qui classent suivant leur véritable importance, les faits et les opinions dont se composent les sciences et la philoscphie, subsisteront , il sera impossible de ressusciter d’une inanière durable les anciennes erreurs, où d’en établir de nouvélles.(*).-

151. Les décisions rendues à la pluralité des voix, par des assemblées ou des tribunaux , ont un grand rapport avec les témoignages, et peuvent être également soumises au Calcul des probabilités, si l’on suppose que les habitudes de l'esprit de chaque votant soient assez constantes pour qu’il y ait toujours le mème rapport entre le nombre des votes où il prononce conformément à la vérité, et celui des votes où il se trompe ; ensorte que v désipnaÿt le premier de ces nombres, et m lé second, la probabilité de la vérité d’un vote soit

ae et sa contraire,

0 +m v+ m ARR E

(4) C'est en confondant les effets du progrès des lumières avec l’affaiblissement de la tradition, que Craig eut la bizarre idée d’appliquer le calcul à la théologie, pr d’assigner la durée da christianisme, d’après l’affaiblissement graduel dé témoignages sur lesquels il est fondé, et trouvait pour cette durée 1454 ans, à partir de 1699, Au bout de ce terme un second avènement de J.-C. et une seconde révélation devaient rétablir la foi dans toute sa force. | Voy: heo- à logiæ christianæ Principia ntathematica.) à

Les différens termes du développement de (#+n)r indiquer ont toutes les combinaisons suivant lesquelles pourra se partager, entre la vérité et l'erreur, un

nombre p de votans supposés également probes et également éclairés : ainsi le terme général

PP UE du) At ee Fe exprimant le nombre des combinaisons dans lesquelles il ya p—g votes pour la vérité et g pour l'erreur, la probabilité de ce partage sera

É pp — 1)... (p—g#Hi)\v mt | 2 Le hr but: je (w—+ my} Si l’on demande la probabilité que la décision sera

rendue à l’unanimité, sans distinguer les votes pour la vérité de ceux qui sont pour l’erreur, on aura

up Ah mp G+m)

Lorsque la décision est portée et qu’on sait le nombre des votans qui ontété pour et de ceux qui ont été contre, il ne faut plus alors faire entrer dans la probabilité cherchée, que les combinaisons qui s’accordent avec ces données; et l’on troûve, comme dans le n° 141, que la probabilité de la vérité d’une décision rendue à l’unanimité par un nombre p de votans est

vP EN | et seulement | E à à vP—g

Fi uP—3 LE ml

lorsque p sont pour cette décision et g contre, ou qu elle n’a obtenu que la pluralité p— g. De plus, les remarques faites sur la marche de ces probabilités, lorsqu il s'agissait des’ HAUOIDRRSS (141), ont égalementdieu pour les décisions, et s’accordent avec le bon sens, en indiquant qu’on doit attendre la justesse des décisions, plutôt des lumières que du nombre des votans.

152. En supposant qu'ici, comme dans tousiesautres genres de hasard, les évènemens, quand ils sont très répétés, manifestent des rapports fort approchans de leur probabilité, on peut déterminer le rapport des nombres v et m», lorsque l’on connaît, dans une longue suite de décisions, le rapport du Absgbre totalau nombre de celles qui ont été portées à l’ unanimité, et le nombre des votans qu’on suppose avoir toujours été le même ; car si

Je à ‘ l’on désigne ce rapport par >. 0n aura sensiblement pt mp KE E+ mm)

Ce moyen a été proposé par Laplace O5 et en faisant pour abréger

p A0 nd —=e, d'où ———=1—e,;

v+m |. v + m on en tire l'équation

F cr US or rs

qui fera connaitre la valeur de la probabilité e. Cette équation, qui ne monte qu’au 2° degré quand Per 0 y

{*) Théorie analytique des Probabilités, p. 460.

DES PROBABILITÉSS : 275

Hnne alors e=iiZ# FL See et si l'on suppose que

la moitié des décisions aitété À sas à l'unanimité, ou L ” % Le ; ÿ DIT

que, on, en délio e—=0,789 : c’est la proba-

bilité de la vérité de chaque vote, d’après lhypo+ thèse établie. «

Tirant ensuite de l’ équation ER à valeur ce e?, pour la substituer dans la formule

* « sus Porn ep, à | mn PH <— €}?

qui exprime la probabilité de la vérité d’une décision rendue : à luvanimité,, on obtiendra 1——{(1—e):: toûs (re EE on de

on aurait pu également éliminer (1 —#) au lieu de er. Ces formules sont'très simples ; mais elles supposent

| constant le rapport — ,; ce-qui parait. d’abord inad-

| missible pour un Vas espace de temps, Dondaus lequel les principes politiques , administratifs "EL judiciaires varient avec l’état des lumièr es et les opinions adop- | fées sur les droits communs à tous les hommes, ou par- | ticuliers à certaines classes de la société : cette kypo-

| thèse ne peut même avoir lieu quand ces circonstances \ m’auraient pas changé.