partie du haha 4 de (e F9 ‘commençant

S(P+r)—r E(p—r)ær, au terme affecté de e° fr: jusqu’à

NS AP—AET atpHr)—:

celui qui l’est de e° Fr , renferme

tous les cas où la vérité ni l'erreur n'auront la plura- ‘lité exigée, et variera avec les nombres r et p (#. C’est à diminuer cette différence, en conservant d’ailleurs la plus grande valeur possible à la première probabilité , que doit tendre la constitution d’un tribunal, considération analogue à celle du n° 135. Condorcet a discuté avec soin toutes les combinaisons auxquelles elle peut-conduire, en supposant que le . nombredeé votans soitimpair ou pair, la pluralité constante ou proportionnelle au nombre des votans, ou composée d’une-partie proportionnelle à ce nombre et d’une partie constante. Il a examiné ensuite les relations qu'ont entre elles les diverses quantités qui entrent dans ces calculs, soit. comme données, soit comme inconnues , et a varié les questions avec un détail où noûs ne saurions-entrer. On peut.sans doute attaquer ces applications du calcul des probabilités avec autant de raison que ce qui regarde les témoïgnages ; et nousavons dejà fait connaitre les principales objections

(*) Afin d’abréger, j’omets la discussion des formes que doivent avoit les nombres r et p, pour que les exposansdes lettres e et fsoïent des entiers : il est bien facile d'y suppléer. On voit aussi qu’en changeant e en f, et réciproquement dans la seconde probabilité, on formera l'expression de la probabilité que l'erreur obtiendra la pluralité exigée, .et qui est la contraire de la première des probabilités indiquées dans le texte.

280 TRAITÉ ÉLÉMENTAJRE qui se présentent sur ce sujet ; mais, cependant, siles hypothèses auxquelles il'a fallu recourir, ne permettent pas d’accorder beaucoup de confiance aux résultats ob« tenus, la connaissance des combinaisons qu’elles développent et de la marche dés valeurs qui en dérivent,. n’est pas non plus sans quelque utilité pouf diriger la réflexion sur ce qui peüt arriver réellement, du moïns quand il ne s'opère ‘pas. des cliangemens brusques dans la probabilité des votes, et'pour classer les faits afin d’én déduire des conséquences précises et appli: cables. ' Li 156. Les élections sont aussi des jugemens lorsqu'on les envisage sous le rapport de la bonté du choix, qui dépend: des lumières et de l’im partialité des: électeurs ; et l’on peut demander quelle estla pr obabilité qu’un caudidat admis d’après une forme donnée de scrutin ;.a une véritable supériorité surses concurrens. Malheureuse: ment les passions ne dérangént pas moins ici Les calcals que dans les témoignages et les décisions. En vain Condorcet et plusieurs autres publicistes ont-1ls" cherché. des formes qui pussent ôter à l’ intrigüe son influence : ou ces formes-n’ont pas été soumises à l’expérience, où. elles ont été trouvées défectueuses. Mais en renonçant à ce point de vue du problème, et en regardant seulement une élection, ou, ce qui est la niêmeé chose; une décision à la Suds dé voix entre plusieurs propositions , Cotfure un moyen de terminer les débats en adhéiiot au vœu du plus grand nombre e,il'reste encore beaucoup de difliculté à constater, dans -certains cas quel est réellement ce vœu (*). L? étendue

(*) Il né paraît pas qu’on ait faitcetté déduction avänt M. Daunou, dans l'excellent Mémoire qu'il à Tu en Pan 1x (1803), sur ce sujet, à la Classe des Sciences morales ‘et politiqués de: Pastitut, et qui n'ayant été imprimé qu'à part, est assez difficile à trouver.

à laquelle est déjà parvenu cet ouvrage, me permet à peine d'indiquer sur chacune de ces divisions du sujet, quelques principes généraux,

Lorsqu'il n’y à que deux candidats, la majorité des suffrages'en faveur de l’un d'eux, se manifestant tout de suite, indique sa Rite: si les électeurs sont ete tE éclairés, et dans tous les cas prouve qu’il a le vœu du plus grand nombre; mais il n’en est plus ainsi dès qu’il y-a seulement trois candidats, En effet, quand un électeur vote seulement pour le candidat qu’il estime le plus, il laisse indécis l’ordre de préférence qu’il assignerait aux autres sil était obligé de choisir entre eux; mais si chaque votant écrivait sûr son bülletin les Fil noms des candidats rangés dans l’ordre de mérite qu'il leur attribué, ne pourrait-il pas arriver que celui qui a été le premier sur la majorité des bulletins, mais le dernier sur tout le reste, eût moins demérite que celui qui a été inscrit le second par tous ceux’ qui ne lui ont pas donné le premier rang ? 1 est aisé d'apercevoir que. cela dépen- . drait de la Fe qu’on attacherait à la différence de mérite entre les rangs. |

Si, par exemple, en suivagt le scrutin proposé par Borda (*), on donne au mérite respectif des candidats dés valeurs proportioennelles au rang qu’on leur assigne, qu’on écrive en conséquence 3 pour le premier, 2 pour le second et 1 pour le troisième, qu’il y aît 3 candidats désignés par les lettres 4, 2, C, que sur 100 votans 65 leur assignent l’ordre 4BC et 35 l’ordre BCA; il est évident que la majorité des suffrages est pour 43 puisqu'il a été regardé comme supérieur à tous lesautres

(*) Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1781,

par 65 électeurs : cependant, si l’on estime le mérite relatif des candidats par la somme des nombres qu'ils obtiennent sur chaqueliste, on ne trouvera pour 4 que.

tandis que 2 placé le premier 35 fois seulement, mais 65 fois le second, aura

et sera par conséquent élu dans-cette forme de scrutin.

Il n’y aurait rien à dire contre cette conclusion, si la graduation des numéros étaitexacte, et qu’ils eussent été appliqués de bonne foi; mais il n’est pas difficile de voir qu’elle est peu sûre sous le premier rapport, et que sous le second elle se prête facilement à l’esprit de cabale Substituons d’abordaux nombres déteriminés d,2 1, les lettres p, g, r, et nous arriverons par le même scrutin à élection de À, si nous posons

ce qui peut se faire d’une infinité de manières. En laissant aux lettres get r, leurs valeurs primitives 2etr,la condition ci-dessus devint

65p+35>35p+ 130 ou 30op > 05,

et montre qu’il suffit de faire p > 3 + pour que la somme des numéros obtenus par À, soit plis forte : or peuton balancer le mérite des hide avec une exactitude aussi minutieuse ; et d’ailleurs les votans auront-ils dans l'esprit une mesure commune à laquelle se rapportent exactement les unités qu'ils emploient? Autrement les plus sévères déprécier ont trop les candidats, les plus idulgens leur nd ont des nombres trop forts.

La dépréciation pourra même être effectuée de mauvaise foi, dans l'intention d’écarter le concurrent qu’on craint le plus. En effet, dans l’exemple que je viéns de donner 35 électeurs sachant que les meilleurs candidats sont Zet P, et voulant exclure À, n’ont qu’à s’entendre pour le placer au dernier rang, ils rendrontinutile le vœu d’une majorité très prononcée en sa faveur. Il n’est pas douteux que dès qu’une pareïlle circonstance est remarquée, les passions ne la mettent bientôt à profit. Et qu’on ne croie pas qu’elle ne puisse avoir lieu que dans quelques cas; elle est au contraire très étendue ; car si l’on désigne par m7 + nle nombre des électeurs, qu'il y ait bulletins dans la forme 4BC , et n dans la forme BCA, A ne pourra être élu qu nutane que

4 3m + n % 2m +-3n, ou mon:

il lui faudra donc plus des 2 des suffrages individuels. Les inconyéniens de ce scrutin deviennent encore plus graves si le nombre des candidats est plus considérable.

157. Lorsqu'on a reconnu la très grande difficulté, pour ne pas dire impossibilité d'obtenir, par les appréciations de ehaque électeur, une évaluation exacte du mérite respectif des candidats, il faut en revenir à prendre pour cette.mesure, le vœu bien exprimé de la majorité ; et. le moÿen qui se présente pour connaitre ce vœu, est de consulter chaque électeur sur ces candidats comparés deux à deux. C’est à quoi peuvent servir les numéros affectés à chaque candidat, pourvu qu’on ne leur assigne d’autre fonction que d’exprimer le rang dans lequel ils sont placés par lés électeurs:

En établissant un certain ordre, 4BC, par exemple, le votant affirme les propositions suivantes :

À vaut mieux que B

d’où il suit Z vaut B vaut mieux que At i ut mieux in A

‘ 1 “ Les P

ce que pour abréger nous exprimerons PAPUE" col

AD B) B>C, d'où 4>C.. 4

Cela posé, 3 candidats pouvant être, rangés 2 à 2 de six manièr es différentes , il faudra, en décomposant les

scrutins comme ci-dessus, oteh le quels sont les ar=

rangemens qui ont obtenu le plus grand nombre de voix, et en détérminer les conséquences sur l’ordre à à établir entre les 3 candidais, . *”

Supposons que 60. électeurs se soiënt partagés ‘sur l’ordre des candidats, comme il suit :

23 pour ÂCB, 19 pour BCA, 16 pour CBA, 2 pour CAB;

formant d’abord la comparaison de 4 avec B , on trouvera que la proposition A>B est établie par 23+2=—25 suffrages , et sa contradictoire B>> 4, par 19 +16—35; La proposition 4 > C: par 23, et sa contradictoire C>A, par 19#16+2= 83; ; La proposition B >> C par 19, et sa chntiadiotoiss CB, par 23 + 16+2—#4r. |

Parmi toutes ces propositions lés trois qui ontobtenu

le plus de suffrages, sont done CB donnée par 41 CSA par 37, B> À par 36.

Ce systèrne de propositions qui ne renferme aucune contradiction, établissant l’ordre C5 4, donne la supériorité absolue au candidat C, qui n’aurait eu que 18 voix sur 60, si Fon n avait écrit qu'un seul nom sur chaque Hüllétin: tandis que 4 en aurait 23 et B19; etsi, confor niériréit À Pusäse établi quand l'élection doit

étre faite à la majorité absolue , on eût obligé les élec- teurs dans un nouveau scrutin le ballottage), à ne voter que sur les deux candidats qui avaient obtenu le plus de voix, C aurait été exclu. IL est visible que ce dernier défaut du scrutin ordinaire croît avec le nombre-des votans et des candidats, et qu’un petit nombre d’élec-: teurs qui s’entendent peut forcer la majonité, dont . les voix se sont dispersées sur un grand nombre de canae à choisir entre deux qu’elle dt si. elle n avait la liberté.

| 158. Dans l'exemple précédent lestrois propositions qui ont obtenu le plus de voix sont, comme nous l'avons remarqué, compatiblesentre elles ,et toutes nécessaires si l’on veut établir un ordre définitif entrelescandidats ; car les deux preinières laissent indéterminées la subordination qui doit exister entre et B ; mais celan’arrive pas toujours. Si, le nombre des électeurs restant le même, leurs voix étaient divisées de cette manière,

12 pour 4BC, 9 pour ACB,, 20 pour BCA, 10 pour CAB, 9 pour CBA,

on trouverait, en opérant comime ci-dessus,

A > B par 31 suffrages et B © 4 par 29, AZ Cpar2r ét CT À par 39, B > C par 32 ét C'> B par 28;

rapprochant alors les propositions qui ont obtenu le plus de voix, on tomberait sur le système

C> A donnée par 39, B>> C par 32 ét 475 B par 31,

dont les deux premières conduisent nécessairement à B >> A, résultat contraire à la 3°.

: Pour échapper à cette contradiction , Condorcet, qui a discuté avec beaucoup de soin et à plusieurs reprises, la théorie des élections, propose de ne composer le résultat final qu'avec deux propositions, lorsqu’elles'ont une conséquence nécessaire, et de chercher ensuite parmi les trois systèmes qu’on peut faire.en combinant deux à deux les trois propositions indiquées ci-dessus,

celui qui a.obtenu le plus de:suffrages, en réunissant

les votes quioutété donnés à chacune des propositions dont il est composé. Or on trouve ainsi

71 suffrages pour C>4; B>C, d’où l’ordre 2CA, di HTC DA, AB) CAB, 63 up Ou ADS) ABC;

c’est donc le premier système qui, est voté le plus fortement, etauquel il faut s’arrèter si toutefois onest forcé dé consommer l'élection (*). Cette dernière restriction a paru très nécessaire à M. Daunou, qui présente contre cette manière de combiner les propositions, des diff cultés très fondées, et qui pense que dans ce cas douteux où il ne saurait y avoir de majorité bien prouvée, le seul parti à prendre, si l’on ne pouvait remettre l’élection , serait de choisir ie candidat qui a la pluralité relaüve (**. :

159. Les propositions comparées dans les numéros précédens, par rapport au nombre de suffrages qu’elles ont obtenu, pourraient l'être par rapport à leur probabilité, lorsque celles de la vérité et de l'erreur de cha= que vote sont connues. Par exemple, un scrutin de

(9 ) Essai sur la Probabilité des Décisions, Discours préliminaire, p. Ixvij.

(**) Mémoire sur les Élections, p. 63.

DES PROPABILITÉS. 287

33 votes, sur lesquels 18 sont pour ADB et A> 6 15 pour Z > Aet C> 4, 82 pour B>Cet-r pour C>B, Ad ets à l'élection de A par les propositions AY B ét A>C, dont le si a une probabilité

LA

y° Em .

mais la très grande pluralité qu'a obtenue la proposition B> C, donne, dans le cas où‘v surpasserait un peu ", plus de probabilité au systéme B>Cet B>A, quoique la seconde proposition n’ait eu que la minorité des suffrages.

En effet, la probabilité de ce dernier dtèie étant

= (ua et La:

y?1 m3 vi mt / 3 + mn?

si l’on fait m—«v, qu’on réduise au même dénominateur les probabilités du prenuier et du second système, on trouve pour les numérateurs

1 Ha et æ°(1 É æ),

expressions qui deviennent 1 ,038 et 1,260 lorsque æ—0,9: « Ainsi, dit Edtdèrcet, le système pour lequel » on conclut la Hluralité n’est pas nécessairement celui » qui a la plus grande probabilité (#)» ; mais cependant on ne doit pas adopter ce dernier dis tous les cas, parce que souvent l’une-des deux propositions A qu’une probabilité fort petite, impliquerait contradic— tion avec d’autres qui en ont une plus grande.

Si l’on joint à cette difficulté celle de constater la probabilité de chaque vote, on sera bien fondé à s’en

(*) Essai sur la Probabilité des Décisions, p. 123.

288 TRAITÉ ÉLÉMENTAINE

dir dans les élections, à la recherche du vœu de la aâjorité, ce qui, comme on vient de le voir, n "est pas toujours unechose aussi simple qu’on dotHHatEle penser. En réduisant le nombre des votans on facilite beaucoup la formation des votes et leur dépouillement. Cette rai: son, jointe à d'autres que ce n’est pas ici le lieu d’exposer, a conduit à établir plusieurs degrés d’élection pour arriver à un choix définitif, c’est-à-dire à faire nommer d’abord des électeurs qui doivent à leur tour en choisir d’autres, et ainsi de suite ; mais par ce mode, l’inflüence de la volonté générale, diminue à chaque nouveau degré qu’on ajoute à l'élection, et le choix de l'assemblée la plus élevée est-souvent très différent de celui qu’aurait indiqué éètte volonté , si on l'avait immédiatement consultée : un calcul fort simple rend très frappante la vérité de cette assertion (*).

De la probabilité des milieux pris entre plusieurs * observations. |