AAA AAA UD A AAA A AA AAA AA AA RAP NAT AAA RAA

NOTE Il.

Sur le n° 46, page 74

Le calcul aux différences (finies) auquel se lie assez naturellement la théorie des combinaisons, facilite très souvent la mise en équation des problèmes relatifs aux probabilités. Déjà Moivre, en cherchant la loi que suivent les valeurs successives des fonctions qui résolvent ces problèmes, avait introduit la considération des séries récurréntes ; mais l'algorithme du calcul aux différences n'étant pas encore CALE et l'intégration des équations de ce genre n’ayant été‘effectuée d’une manière bien explicite que par Lagrange en 1759 (”), Moivre ne pouvait pas remonter immédiatement à l’expression finie des fonctions à déterminer. C’est Laplace qui a fait le premier, en 1773, l'application explicite du calcul aux différences à celui des probabilités; et Lagrange qui, dès 1759, avait indiqué cette application, l’ayant reprise en 1775, a résolu par le même moyen les plus importantes et les plus difliciles des questions que Moivre avait traitées dans la Doctrine des Chances (**\. Je ne puis donner ici qu’une idée de cette méthode, et je l’appliquerai d’abord à la question du n° cité.

1°. Désignons par J,, le nombre des combinaisons impaires dont #7 pièces sont susceptibles, par P,, celui

(*) Miscellanea Taurinensia, t.1, p. 33.

(**) Mémoires des Savans étrangers, t. VIL, 1793, p. 113; Mémoires de l’Académie de Berlin , année 1995, p. 2/40.

des combinaisons paires, et cherchons ce que deviennent ces fonctions de m, quand cette variable augmente de l’unité. Il est Re que si l’on introduit la nouvelle pièce dans les combinaisons paires, elle les rendra impaires, et que de plus, prise seule, elle en formera une de cette espèce, ce qui donnera par conséquent P,, + 1 combinaisons impaires , outre les. 7, du cas précédent. Quant aux combinaisons impaires, l’addition de la nouvelle pièce les rendra paires, et le nombre des combinaisons de cette espèce , qui était P,,, sera augmenté de Z,,; inais Zn}, et, Pn, étant les nouvelles valeurs des fonctions Z,, et P,, il en résultera les He o

A Peer Fa Burns mit Foi

En vertu de la seconde, la première devient

Fr li Te 3

et, si l’on diminue m de l'unité, donne

In = Pn +1;

au moyen de quoi chassant P, + 1, de la première équation, on obtient

PERS — F4 pété

équation du premier degré et du premier ordre à coefficiens Constans , et à laquelle on satisfait en posant 1h Aa". Le coefficient À reste arbitraire, et l’on trouve: u—2, d’où /,—2" 4; maïs comme J,, doit se réduire à 1, quand m=—i1, il faut que 4=;}: on a donc 1, =2"7, et par conséquent Pa = ln —1=2"0 1.

On conclut de là les probabilités

Jn DEA | Ph 21 Ty

ai AE MO 2 om 1° à, EM ch 21

comme dans le n° 46; mais de plus, cette analyse fait bien voir comment il arrive que le nombre des combinaisons impaires doit SRRPABARL de l'unité celui des combinaisons paires, ce qui n avait pas été aperçu paf Mairan, qui s’occupa le premier de ce problème (20

2°. La question précédente ne dépendait que d’une équation aux différences à deux variables; mais on est «conduit fréquemment à des équations aux différences partielles : la détermination de la probabilité d'amener au moins un nombre donné de fois, dans un nombre donné d'épreuves , un évenement désigné, en offre un exemple. C’est le premier problème résolu par Lagrange , dans le Mémoire cité; et voici comment il le met en équation. À l’exemple de Montmort, il prend pour inconnue le sort du joueur, c’est-à-dire son espérance mathématique ; mais 1l suppose égale à l'unité la somme espérée, ce qui réduit le sort du joueur à la probabilité : de gagner. D’après cette définition, il s’appuie sur le principe, que le sort d’un joueur, àun coup quelconque , se compose de La réunion des divers résultais que peut amener ce coup, multipliés par la probabilité de les obtenir (66).

Cela posé, en représentant par y, le sort du joueur lorsqu'il ne lui reste plus qu’un nombre x d’épreuves à tenter, et qu il manque encore un nombre t de répétitions de l’évènement désigné dont la probabilité este, on formera l’équation à

(*) Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1928, p. 53 de l’Aistoire.

J'ai = Tes ,tx + (1 "ai ET >, 1

Ÿz1,r indiquant le sort du joueur au coup suivant, Forsqu’il a amené l'évènement demandé, et Yz a,r lorsqu'il ne l’a a pas amené. ‘!

Pour l ‘intégration de cette ‘équation a aux différences partielles à trois Variables, je xenverrai au Mémoire de Lagrange, ou au 3° volume de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral (in-4°), et je me bornerai à rapporter la valeur de y, qui s’en déduit, savoir,

APP MTL CE

Ne ppr ee habael td en A AE Te PCT nr PAIN Em) 1.

Lorsque x ==p, t=r,1—e—=/f, ilen résulte

G rom

Fri=E { Le + Ar 1) eh — etc. } Nu pour la probabilité d'amener, dans un nofnbre p d’épreuves, au moins .r fois l'évènement désigné. Par la formule du n° 22, en faisant p— g=r, et mettant e’ en-facteur commun, on trouverait |

e {er +Ë er f + POT ) pr ja +. etc. Ÿa

puis substituant. les men de 1 — f à celles de e qui sont entre les accolades, on retomberait sur-la

formule précédente, que Moivre avait trouvée par induction (*).

Le)

(*) The Doctrine of Chances, p. 13 3° édition. 21

399 TRAITÉ tÉLÉMENTAIRE Sur Le n° ®? page 92.

Voici le développeme t A la solution que Laplace donne de la même que éstion dans sa T'héorie analytique, des, Probabilités, page 191. En conservant les dénominations que j'ai employées dans le u° cité, il peut se présenter à un tirage l’un quel-

conque des

m(m—i1)...(m—i LE) RENE AE à re

arrangemens des » numéros en nombre 7 : la liste de n tirages sera donc formée d’un nombre n de ces arrangemens, pris sur un nombre total

GRR Des ef ED",

un CCE

et comprendra én tout #7 numéros. Soit maintenant

Zm,4 lenombre de- ces mêmes arrangemens dans lesquels il ne manque aucun des numéros 1, 2, 3;...g, Zm,4 Je nombre des arrangémens ‘où d ne manqué aucun des numéros 1,2, 3,...9—1; ce dernier surpassera évidemment le premier, puisque, outre les arrangemens qui comprennent les n°° 1, 2, 33... — 1, combinés avec le nombre g, il renferme aussi ceux où ce numéro manque, et qui ne sauraient faire partie de Zm,9: Mais les arrangemens où le n° 4 manque pouvant résulter d’une loterie composée seulement de m—1 numéros, leur nombre est représenté Par Zmi1,9mi: ON

aura donc l’équation

Zm,9 Er Zm,g—1 T'as Zm—1,g21 — Ames ,g—) $

la différence 4 étant prise par rapport, A m seulement. à

Au lieu d'intégrer cette équation ; on peut s’en servir pour dériver successivement de z,,, , les valeurs de

25 DR 8, etc.; car elle donne

Zm,a = Zmi — Zm,i = AZm i,1)

Zm,3 = 7m, — Zm1,9 —= AZmra DZ 1.9 hs: — f\= ns NT

Zm 4 — Zm,3 — Zm1,3 — dimer,3 A Zm3çe 9