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328 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE & et l’on voit que leur somme est égale à l'unité, puisque toutes ces intégrales sont prises entre les mêmes li- Mites, To et TI Nous ferons observer ici en passant, qu’en général
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l'intégrale étant prise depuis x — a jusqu’à x —Ÿ, exprime la valeur moyenne entre toutes celles que l’ordonnée y d’une courbe peut recevoir depuis l’abscisse a jusqu’à l’abscisse à.
Sur-le n° 96, page 170.
Suivant la notation précédente, les termes dont la formation est seulement indiquée à l’endroit cité, auront pour expression générale
CP 1) UP #2) he UP EE 15 58e 241% ee far "tr-i+zdx(r — x)"+4 famdx(i— x)": ?
si l’on fait, pour abréger, eus — p, les intégrales se rapportant à æ seul, ét devant être prises entre les limites r= 0 et x — 1. Il reste ensuite à’ faire la somme des diverses valeurs que donnerait cette expression, lorsqu'on assignerait successivement à z, tant positivement, que négativement ,, tous les nombres entiers compris entre o et 500 000.
Pour obtenir cette somme, Laplace développe d’abord, par ses formules approximatives , le coefli-
DES PROBABILITÉS. N” 329 cient du binome et les intégrales indiquées, ce qui peut aussi s’éffectuer par la formule de Stirling (voyez ci-
dessus, p. 305 et 314); et comme le résultat auquel il
| pro kg2 parvient renferme une exponentielle de la forme e :
qui décroît rapidement dès que les valeurs de z deviennent un peu considérables, au lieu de chercher la probabilité qui s'étend de z2—— 500 000 jusqu’à. .... z = + 500 000, il passe à la probabilité contraire qui se compose des termes où z surpasse 500 000. De plus,
ï — kz2 la petitesse des valeurs correspondantes de e , lui
permet de prendre pour dernière limite l'infini; et à : — kz2 | | cause que la fonction € demeure la même, quel
que soit le signe z, la somme cherchée est le double de celle qui s'étend de z2= 500 000 à z = infini.
Les accroissemens de z, égaux à l’unité, pouvant alors être regardés comme infinimentpetits, par rapport à la distance des limites de cette variable, Laplace substitue à la somme cherchée, l’intégrale aux différentielles qui est la limite de cette somme, et qui n’en diffère que 1rès peudans le cas actuel, ainsi qu’on peut le voir, en considérant que plus un polygone inscrit ou circonserit à une courbe a de côtés dans un espace donné, plus son aire approche de la portion correspondante de cette courbe. La question est donc ainsi ramenée à obtenir, entre les
kz?2
. . LA Æ 2 limites indiquées plus haut, l'intégrale Je dz, sur
laquelle je reviendrai Bus loin.
Sur le n° 99, page 175.
Suivant la notation du calcul intégral, la probabilité indiquée dans cet article a pour expression la valeur de intégrale fx"dx(1— x)", prise entre les limites
æ—=a, x—b, divisée par sa valeur prise entre les limites x—0 et x=1; cette dernière ayant déjà été trouvée ci-dessus (p. 314), je vais chercher la première, pour laquelle
m m A=—— —c, b=——+c, mæ+in m+n et faire en conséquence m n — + 3, d'où Ir — 2; me mn n DRM n
ce qui donnera
fx"dx(r me +2) (£ —:) à
si, pour abréger, on pose mæn=r; et les limites de z seront —6c et +.
On peut d’abord penser à développer cette transformée, suivant les puissances de z, en l'écrivant
ainsi :
m"n" . Te ne NT
mais en la convertissant en exponentielle, on parvient à un résultat plus simple. Pour cela , on observe que
n (+2 rz\" 3 =) — Cm" d « (+2 Ù
et développant Le logarithme indiqué, on trouve
r2z? r32z3 — eLC.
a, VZ «— TT (: + Y — e 2e P 27117 °
DES PROBABILITÉS. 331 de même
n ra — D 010 (GT #- DST
Cela posé, si l’on néglige le terme affecté de z° et les suivans, ce dont nous verrons bientôt la possibilité, quand m et n sont de grands nombres, l'intégrale cherchée sera réduite à
r222 1@ +) r322 [4 mi gÉ: ni = pra :
faisant alors Us az" UOTE f'anin =, COURS + D 2mn | | LP !
elle se change en St
Vues ra 4
et les limites de z étant —c et + c, celles de £ seront
V r° ) w r3 = — CC L—= CG E omn 4 omn
rs Mais, à cause que la fonction e demeure la même,
quel que soit le signe de, il suffira de prendre l’intégrale précédente, depuis t — 0, jusqu’à........
