FA — CG

Par ce moyen on aura

m''n" omn pd?

fx"dx(1 ns pndn a4/° 3 fe de F

à id

re

, et de doubler la valeur obtenue ainsi.

et divisant ce résültat par

mn" = (m + À Lo mn valeur approchée de l'intégrale fx"”dx(1 — x)", prise entre les limites x—=o et x —:1 (p. 315), on aura pour la probabilité cherchée,

2 a” se eds.

C’est donc de la valeur de fe dé, entre les limites indiquées ci-dessus, que dépend en dernier résultat l’approximation demandée ; or cette Intégrale prise depuis t—0o jusqu’à t infini, est seulement :V/x (*), et elle en approche beaucoup, dès que { devient un peu consi-

dérable, parce que la fonction e décroît alors avec une rapidité de plus en plus grande. Il suit de là que la valeur de la probabilité cherchée, tend continuellement vers l’unité, et qu’elle en approche d’autant plus, que la limite ù

r> (James 2mit

est plus considérable. Mais pour qu’il en soit ainsi,

AT il faut que c surpasse beaucoup --=, car / Vr 2mn

‘ r° SONT :

étant V’r. / “ln quantité , dans son mi-

nimutm qui répond à m—n, se réduit à 2.

(*) Voyez à la fin du Traité élémentaire de Calcul différentiel et de Calcul intégral, 4e édition.

DES PROBABILITÉS. 333 D'un autre côté, pour qu'il soit permis de né-

4 192 . 4 gliger le terme —— dans la série exponentielle du

dévél d EN ep! 387) 1 faut qu?

éveloppement de (: + =) (p- 331), il faut qu’en

y faisant z=0c, ce terme demeure fort petit. Or, en re :

mettant à part le facteur 3 qui ne peut pas tom— ber au-dessous de +, il reste le facteur rz° qui, devenant re° à la limite de l’intégrale, et se changeant 1—— I enr S, lorsqu'on fait c——-, prendra un expo-

Vr sant négatif, si ; > 1. Joignant cette condition avec la précédente , on en conclura que pour obtenir l’ap-

: - À + LA I proximation supposée, © doit être entre —— et r

-— ; que par conséquent plus r sera considérable, Vr toutes choses d’ailleurs égales, plus on pourra prendre c petit, et que moins on réduira la valeur de c, plus la limite de £ deviendra grande, plus alors la probabilité cherchée approchera de l'unité.

2°. L’usage fréquent que l’on peut faire de l’intéwe É2

grale fe dt, qui se présente souvent dans cette recherche, comme dans beaucoup d’autres, est une raison pour entrer ici dans quelques détails à son sujet.

D'abord la valeur de cette intégrale étant la même pour les 4 négatifs que pour les £ positifs, on peut, aux limites {—— infini et {—0, substituer 4— o et

t— infini, qui se succèdent dans le même ordre, par rapport à l’accroissement de la variable £.

En substituantäe son développement suivant les puissances ascendantes de £, et en intégrant, on forme

Lips une série qui donne la valeur de fe : dé, lorsque la limite de # n’est pas un grand nombre; mais dans le cas contraire, il faut chercher une série descendante qui s’obtient en faisant attention que

M Lt

ep? ee e L di #2 Je d— fire FO eE — ep

et en continuant cette intégration par parties sur le — [7

facteur e , après avoir multiplié et divisé par #. On

trouve de cette manière le développement

} ? ; TS — 1? e { Li 3 3.5

ot MP RUNES 7 HIL 234

+ ete. },

qui, s’évanouissant lorsquel#est infini, donne depuis

= T' jusqu'à tinfnu, à

I I 3 AS A Ears SE EÉLUPTT EME LUI ete. ?.

Retranchant ce résultat de 1ÿ/7, on aura la valeur de

12 / fe F dé depuis 4— o jusqu'à 1— 77.

La série ci-dessus cesse d’être convergente , mais d'autant plus tard que 7’est plus grand; et comme ses termes sont alternativement positifs et négatifs , elle donne jusque là des limites très resserrées de la valeur que l’on cherche.

DES PROBABILUTÉS, 335

3°. Dans la transformation précéd. de /x"dx(1 — x)" ,—t À

en fe dt, nous n’avons employé que les premiers

termes de la série exponentielle en z (p. 330) ; il est

cependant-possible d’avoir égard aux autres, en fai-

sant d’abord égal à —#, l’exposant de e dans le produit ER | rz\" FANS des déveioppemens de ( +. 2) et de C — =) , ce n

qui donne .

Eh = + + (nn) ete = — r,

à ou bien, 12 râz(m—n) , r°z{(m° LUE n°) SE héeren ef ofe PRE M BEC RIT, 2mn 3m°n 4m'n

en changeant les signes, réduisant et observant que —m'=—r(m—n), n+m=r(m—mn4n), etc.

On déduira d’abord de cette équation les limites de & t au moyen de celles de z; puis on y fera

Ar à à Be + CÊ +etc.,

pour obtenir dz, et les coefficiens 4, B, C, etc., se détermineront à l’ordinaire en établissant l’identité des deux membres : on aura ensuite

fz"dx(i— x)" — Pres fs ( 1+ a). (2) mn"

= Je a A4 +2Bt+3CP + ete.}:

Lorsque la variable 4 doit être comprise entre des limitespositive et négative de même grandeur, on sim-

a dd

plifie le calcul , en séparant l’intégrale en deux parties, l’une embrassant les valeurs positives de £, et l’autre les valeurs négatives ; car ayant d’une part

ts Je d{ A+2Bt+3C" + etc.},

de l’autre

— {7 — fe dfA—2Bi+3Cr—etc. }, et retranchant le second résultat du premier, on obtient

Ur Le

femda(i a) =. 2fe au A+3C: + etc. }.

Dans le cas particulier que nous examinons, les limites de t ne pourraient être supposées de même grandeur, qu'autant qu’on négligerait les puissances de z supérieures à la seconde; mais s’il s'agissait d'obtenir l'intégrale fx"dx(1 —x)", entre les limites x —o et x—1, cela reviendrait à supposer nuls alternativement les facteurs

rz PP (lé mir A AR rm: la fonction e ,

et paï conséquent assigner à £ pour limites l'infini positif et l'infini négatif, Dans ce cas on a, depuis t— o

jusqu’à tinfim, fe dt —!V7 (p. 332); on en conclut aisément, au moyen de l'intégration par parties,

14 EAU Te 1 4 Te 1 I ,— e (PAU 0 - Je d=>.> F7 if ë a ne —4? Lui 3: —4 de e di=—"e PL -fe Cd —.—V 7 7, etc., J à "Re US )

d’où gà Jade (ir) = #< slA+ CR DE +ete.} :

et si l’on fait le calcul indiqué page 335 pour obtenir les cocfliciens du développement de z en t, on trouvera D TRE | 2mn L A Ze ptit à 3 “ 2n—m B'= —- — D'LA E M —1Imn + C — PES À, 18rmn etc.

En se bornant au premier terme, on a précisément la valeur approchée de fx"dx(1— x)" déduite de la formule de Stirling, p. 315.

Pour ce qui précède, j'ai suivi en grande partie la marche tracée par Laplace dans le premier Mémoire qu'il a publié sur Je Calcul des Probabilités, Savans étrangers, t. VI, p. 626, et par Legendre, dans la troisième partie de ses Æxercices de Calcul intégral,

ps 34409.

(*) Ceux qui voudront suivre dans ses progrès, la théorie des approximations pour les formules de grands nombres, devront consulter d’abord le Tractatus de summatione et interpolatione serierum ; de Suürling, p. 135; les Miscellanea analytica de seriebus et quadräturis, de Moivre, p. 4 du Supplément; et passer au Calcul différentiel d'Euler, 2e part., chap. VI, puis aux Mémoires de l’Académie des Sciences pour les années 1778, p.227; 1992, p.i, et 1983, p. 423; àla Théorie anadytique des Probabilités, livre Ier, 2€ partie; et enfin au Mémoire inséré par M. Poisson, dans le t. IX de l Académie des Sciences, p. 239.

3° édition. 22

Fig, t et 2e

Sur le n° 111, page 199.

Les figures 1 et 2, indiquées à l’endroit cité, n’ont pas grand besoin d’explication ; il suflira de dire qu’on s’est proposé, dans la figure 1°, de donner une idée des différences les plus grandes que présentent les tables de mortalité. Pour cela, on a construit les courbes résultantes des tables dressées par Süssmilch, pour Vienne, en Autriche; par Muret, pour les campagnes de la Suisse ; et de la table de l’Ænnuatïre du Bureau des Longitudes, dressée par M. Duvillard, et qui doit offrir les nombres moyeps pris sur toute la France.

Si ces courbes paraissent se terminer à l’âge de 100 ans,

ce n’est pas que les tables dont on s’est servi ne continssent quelques centenaires; mais leur nombre, comparé à celui des naissances, s’est trouvé trop petit pour donner une grandeur linéaire sensible sur Ja figure. |

La ligne droite, qui va de l'extrémité des naissances jusqu’au dernier terme de la vie, a été tirée pour montrer combien, dans les premiers et dans les derniers âges , le décroissement du nombre des vivans s’éloigne de l’uniformité. On voit ensuite dans quelle partiechaque courbe devient à peu près droite, et par là dans quels âges on pourrait prendre pour représenter la loi de mortalité, une progression par différence , ce qui peut être quelquefois utile (112, 127).

La ligne menée, par le milieu des naissances, parallèlement à la base de la figure, rencontre les courbes au point où ilne reste plus en vie que la moitié des individus, et montre une bien grande différence pour la force réelle de la population (115), entre les trois lieux pris pour exemples.

Le LA À :

s Sur le n° 118, page 213.

Lorsque la loi de mortalité est exprimée par une formule analytique, on en déduit toutes les conséquences, au moyen du calcul différentiel et du calcul intégral ; mais on peut aussi opérer immédiatement sur la courbe qui représente cette formule ; et c’est ce que je vais faire d’abord, parce que ce procédé , plus simple et parlant aux yeux, mène très directement aux expressions analytiques. |

°, La vie probable, vu plus généralement l’âge au- ; : À sera réduit, dans un rapport donné , le nombre des individus ayant actuellement un âge donné, se détermiñe en-élevant sur l’âge donné 4P, fig. 3, l’ordon- Fig. 3. née PM, et prenant une partie PR, égale au nombre des individus qui doivent rester à l’âge cherché. Tirant, parallèlement à l’axe 4B, la droite AN, elle renéon= trera la courbe au point N, dont l’abscisse 4Q expni- # #14 À mera l’âge cherché. JUL" 4 Dans le cas de la vie probable, PR—:PM. F

2°. Passons à la recherche de la vie moyenne. Si Von prend d’abord sur l’axe des abscisses AB, fig. 4, en Kig. 4. commençant au point P correspondant à l’âge duquel on veutpartir, des divisionségales PP", P°P",P"P",etc., qu’on élève les ordonnées correspondantes , et qu’on mène, parallèlement à 4B, les droites H'R, MR, ete., les parties AR, RR’, R'R", etc., de l’ordonnée PM, marqueront le nombre des morts qui auront liéu dans chaque intervalle égal à PP"; ainsi PP" sera la duréé* de la vie du nombre des individus représenté par MR s PP" celle du nombre représenté par RR’, PP" celle à du nombre représenté par ÆÀ°R”, et ainsi de suite. La

Fig. 5.

340 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE durée de la vie moyenne sera donc exprimée par

MRX PP'HRR KPP'4+HR R'XPP" + etc.

+ à LRO PRET: tal

c’est-à-dire par la somme des rectangles MM, RM”, R'M", etc., divisée par l’ordonnée PM. Mais il est visible que la somme de ces rectangles, formant le polygone PHOQ"Q"....B, diffère d'autant moins de PMM'M"...B, ou de la courbe de mortalité, que les intervalles PP", P'P", etc., sont plus petits. En supposant donc la loi de continuité dans les dé= cès, et passant en conséquence à la limite, il faudra. substituer la courbe au polygone, ce qui donnera #1

PMM'M"... B +.