LA L

(*) Vihil est tam EMPRES quodr non dicendo rs Pa (Cicero, Præfat. Paradox.)

» pendant.qué ce changémentait été, fondé sur de nou-

» veaux motifs, sans pouvoir. y assigner d'autre cause

» que l’impression plus ou moins forte des mêmes ob- » jets. Or, si-au lieu. de juger par cette impression » qui multiplie ou exagère une partie des objets, tan- » dis qu’elle -atténue ou: empêche de voir les autres, ». On pouvait les compter où les évaluer par le calcul, » notre raison cesserait d’être l’esclave dé nos impres- ». SION.» (Essai sur l'application dé l'Analyse à la probabilité, des décisions, etc. Discours Re } page clxxxv:)

11. Ce vœu, qui ne pouvait être que celui d’ ur ami de l'humanité, est malheureusement fort. loin de son accomplissement. Jusqu'ici l’on n’a résolu qu’un bien petit nombre de questions vraiment intéressantes par rapport à la conduite. de la société ou des particuliers, etl’ona puabuser du calcul dans cette partie des Mathématiques appliquées, comme dans toutesles autres, faute de connaître les principes fondamentaux: dont il. fallait partir, ou d’avoir des faits en assez grand nombre et suffisamment constatés ; mais l'examen scrupuleux qui sera. fait, dans la cod section de cet ouvrage, des diverses applications du calcul, montrera

qu'il est. permis. de concevoir quelque espérance

de progrès. ultérieurs, ,si la multitude d’observations auxquelles V organisation sociale peut donnér lieu ne se perd. plus par la népligence des spectateurs , ou n’est plus condamnée à ni 4 oëbli par l’amour-propre des ‘hommes. en place, dans la vue de cacher-eurs fautes ou d'obscurcir leimérite de leurs prédécessèurs. En effet une

circonstance. bien digne d’attention setsur laquelle nous

‘aur ons occasion de revenir, c’est que les faits qui parais- ‘sent les plus. accidentels quand ils, sont considérés ün à ‘un, manifestent un 6rdre lorsqu’on peut en observer un

DES PROBABILITÉS. v7

grand nombre de simultanés ou de'consécutifs ; et le calcul fait voir comment, sans connaître la nature de leurs causes ni le nombre des combinaisons qui les produisent ou les contrarient, on peut assigner des limites à leurs possibilités respectives, et par consé- ‘quent spéculer ‘alors sur l’avenir conformément aux règles, de la pr udence "y.

Cette théorie assez récente, qui soumet au calcul des probabilités les questions dans lesquelles le nombre total des chances et ses rapports avec le nombre des chances de chaque espèce , sont illimités ou inassignables, sera exposée dans la seconde section de ce Traité ; la première ne comprenant que des questions où ces rapports peuvent se déterminer à priori.

1 ia (* Lorsque ces secours nous manquent, ce serait encore,mettre à

profit les sages réflexions de Condorcet ,.que de consigner dans des notes exactes, les impressions que nous recevons des ‘obfets ou des lectures qui nous frappent, les principes que nous adoptons en conséquence de ces inrpressions, et les motifs sur lesquels ils sont appuyés, atin de pouvoir remonter, quand nous le voudrons, à l’origine de nos 'ugemens, en nous reportant aux époques où nous les avons formés, et en mous remettant sous les yeux les bases que nous leur avons données. Par de fréquentes revues de ce genre on rendrait, ce me semble, ses déterminations plus constantes, ses changemens d’opinions mieux motivés ; et peut-être parviendrait-on à séparer entièrement. ce qui est dû aux forces variables des impressions, de ce qui constitue la vérité des choses, qu’on doit toujours chercher ; car « il ne faut pas recevoir les opinions de nos pères » comme des enfans; par la seule raison que nos pères les ont

» eues. » ( Pensées de Marc-Aurèle, traduction de Joly, chap+ 19,

3* édition. 2

TATNE MERE ARE LA es 2 2 ASE un AUS AAA AAA A VV + SECTION PREMIERE,

Détermination de la probabilité , lorsque ‘le nombre des chances de chaque espèce ou de rapport de ces nombres est assignable , et

peut se déduire à « priori de l'énoncé de la

question.

12. On a vu dans le n° 6, que la probabilité d’un évènement avait pour mesure la fraction formée en divisant le nombre de chances favorabes à cet évènement, par le nombre total des chances ; en ayant soin . d’ailleurs de n’employer pour cette Ton que des chances également possibles. Si donc on Si iaste par 2 le RO de chances favorables à un évènement, par n le nombre de chances contrair es , Sa pro- DA Deute sera exprimée par

m min LE é en et la probabilité contraire, par n mm:

— OÙ 1 ———, 0 mn nom En

en sorte que si l’on représente pare la première de ces probabilités , la seconde sera 1 —e. :

, Ayant, par exemple, un jeu composé dé 32 cartes,

parmi lesquelles il y a 12 figures, da probabilité qu en tirant au FA sai carte de ce jeu ; on aura’ une figure, sera Là ou ©, et la probabilité: contraire ++ s où? e

Dans cette question on ne considère que deux sortes de chances, celles qui amènent une figure, et celles qui amènent une carte d’une’ autre espèce : il n’y a par conséquent, que deux sortes d’évènemens, dontl’une ne peut avoir lieu qu’à l'exclusion de l’autre ; mais si l’on distinguait lä couleur des figures, en considérant. à part-la possibilité de prendre une figure en cœur, En. carréau , en pique ou en trèfle, on aurait 5 évèneméens possibles. La probabilité d’avoir une figure dans une couleur étant, puisqu'il y en a 3 dans chaque cou— leur, le détail de tous les évènemens Pass donne-

rait les probabilités

+ pour une figure en cœur,

32 0, e © « en carreau , 2 4

32 +. + 0.» + ste + en pique, DE amhiac es tr . en trèfle,

| 2 pour ne pas tomber sur une fetes ‘fractions dont la somme compose l’unité. ,

1l en sera de même quelque mulérpliéés que soient les diverses sortes d’évènemens possibles. Une urne comprenant un nombre m» de boules blanches , n de rouges, p de bleues, 7 de vertes, r de jaunes, s de noires , et de Isqiellé il faut Hrèt une boule au ha-

sard , offre six sortes de chances composant un nombre PE

ma+p+g#+r+s=T, et donnant les probabilités

7 d'obtenir une boule blanche, n

Trees une boule rouge,

et ainsi des 4 autres. La somme de toutes ces probabilités est. d

mn+p+g+rés Mie LATE A mo GA

" e a observer ici que toutes les questions de pro-. babilité auxquelles s’applique le calcul, peuvent être représentées par un tirage à faire dans une ou plusieurs urnes contenant : FRS sortes de boules , ou par des dés ayant un nombre quelconque de faces marquées diversement. Pour concevoir le jet de pareils dés, il faut les supposer d’une forme prismatique très allongée, ou terminés par des pyramides, afin qu'ils ne puis— sent rester que sur les faces parallélogrammes.

13. Dans les exemples ci-dessus nous avons cherché la probabilité absolue de chaque sorte d’évènemens ; mais il y a des questions qui mènent à ne considérer une probabilité que relativement à d’autres,

Si, par exemple, dans le jét de deux dés on voulait connaître la probabilité d'amener le‘point 7 plutôt que le point 4, il faudrait ne tenir compte que des chances relatives à ces évènemens. On verrait dans le n° 7, qu’il y a 6 chances différentes qui peuvent former le premier point, et qu'il n’y en a que 3 pour former le second; par conséquent, si deux personnes jouaient ensemble sous la condition, pour l’une, d'amener le point 7, et pour l’autre, le point 4, regardant comme nuls tous les autres coups, la première ayant 6 chances pour elle, tandis que la seconde n’en aurait que 3, les probabilités seraient

— pour le gain de la 1°, ‘# pour celui de la 2°,

| 22 (f) : ; dy ‘4 ” r « ,» .. LA . 3 Ces résultats s’obtiendraiïent aussi en comparant les

DES PROBABILITES. 21 prebabiltés absolues des points 7 et 4, lesquelles sont

et +; caren les divisant par leur somme, il viendrait 6. | 37" 008 nr 10 sn + De NO 36 * 36 36 À 36

De même, on trouvera que dans l’exemple de l’urnecontenant des boules de six couleurs différentes (12), la probabilité de tirer une boule blanche plutôt qu’une boule rouge, est |

m WE Li m

m AW. LE n"

r HLIÈUE

et la probabilité contraire, c’est-à-dire celle de tirer

une boule rouge plutôt qu’une boule blanche, DT US

Dans la détermination de la probabilité relative, on fait donc abstraction de toutes les chances étrangères aux deux évènemens, que l’on considère comme s’ils devaient, seuls avoir eu” puisque tous les autres sont nuls par rapport aux copdi ne qu’ on s’est imposées ; et de là résulte, ainsi qu’on l’a vu par les exemples cidessus, que la probabilité relative s'obtient en divisant la probabilité absolue de l’évènement dont il s’agit, par la somme des probabilités absolues des deux évènemens que l'on compare.

14. 11 faut remarquer aussi qu’une probabilité peut s’obtenir en prenant la somme de plusieurs autres; et cela arrive lorsque de plusieurs classes de chances on n’en forme plus qu’une seule, en cessant d’avoir égard aux circonstances qui les distinguent. Si, par exemple,

on jouait avec deux dés, sous la condition d’amener indistinctement soit 7, soit 8, on verrait par le tableau de la page 11, qu'il y a 6 manières d’amener le point 7, 5 d’amener le point 8 : la probabilité d’amener l’un ou l’autre serait donc

F4 PA URTR fk 36 36 — 36°

ce qui est d” ailleurs évident , , puisque la condition proposée embrasse 11 chances sur les 36 que le jet peut

amener. .

15. Souvent l’évènement attendu se compose du concours de plusieurs autres qui ont chacun leur probabilité propre, et desquelles il faut déduire celle du pr emier. Si, par exemple, lorsqu'il s’agit de tirer d’un jeu de-32 cartes , une figure d’une couleur donnée , on partage d’ M ce jeu en 4 paquets, dont hnehn ne contienne que les 8 cartes d’une) même couleur, mêlées d’ailleurs d’une manière quelconque , la car te désignée pouvant être indifféremment dans l’un quelconque des 4 paquets , la EL de mettre la main sur le paquet qui la renferme est +; mais comme ce paquet contient huit cartes, sur lesquelles il y en a 3 qui remplissent la condition demandée, la probabilité de mettre la main sur l’une de ces cartes, lorsqu ap en prend une dans le paquet où elle se trouve, est 3. Ainsi, pour arriver à la carte demandée, il fur le sn de deux évènemens dont les probabilités particulières sont + et £. La probabilité de ce concours est le produit pet deer PEAEGEMES car puisque les paquets sont égaux, et qu’un séul contient la carte désignée, il ne faut chercher les chances qui la donnent que dans le ? du nombre total des chances ; et comme des 8 chances renfermées dans ce +, 3 seulement rem.

plissent la condition demandée, il faudra donc prendre

chances favorables, au nombre Ke des chances, ou %

la probabilité héritée: qui sera; Xi =

‘ L’exémple ci-dessus peut être représenté par le jet simuitané de deux dés, le premier ayant 4 faces, 1 marquée À, les 3 autres blanches; et le second ayant 8 faces, 3 marquées B , les 5 autres blanches : le concours des lettres 4 et B, sera précisément semblable à celui des évènemens indiqués dans le n° précédent ; mais en raisonnant comme dans le n° 7, on voit que l’une quelconque des faces du premier dé pouvant se présenter avec toutes celles du second, le nombre total des chances sera 4 X 8 =32 , et sur ce nombre, 3 seulement , formées par la combinaison de la face À du premier dé avec les 3 faces Z du secorid, rempliront la cogdition demandée : la probabilité cherchée sera donc : <—=}.%, comme on l'a trouyé d’une autre manière. a +