XX

mn p+g. (m+n)(p+ag) car le genre de hasard proposé peut être assimilé au jet de deux dés, dont le premier aurait » faces marquées À , et n faces blanches, le sécond p faces marquées B, et g faces blanches. Alors le nombre total des chances possibles serait (m 4-2) (p+ q) ; mais sur ce nombre, il n’y aurait que les mp combinaisons des faces marquées À avec les faces marquées Z , qui

24 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE produiraient l'évènement demandé ; ainsi la probabilité du concours des évènemens 4 et B serait

(m+n) (p + q) REF PT On étendrait sans peine ces considérations au con cours de trois évènemens 4, B, C, dont les probabilités particulières seraient

mn’ p+g nel

on trouverait pour la probabilité de ce concours,

mpr

" m | MmEnpEDC+s) mEn pH rs

et ainsi de suite, quel que füt le nombre des évènemens. |

En désignant sous la dénomination de probabilité simple, celle de chaque évènement pris en particulier, et de probabilité composée, celle de leur concours, on peut donc poser pénéralément ce principe : /a probabilité composée s'obtient en faisant le produit des probabilités simples. * "

17. La considération des probabilités composées, dispensant de former le développement de toutes les combinaisons possibles, abrège quelquefois les calculs : en voici un exemple assez simple. Supposons qu'on ait assemblé dans un paquet les 13 cartes d’une mème couleur qui se trouvent dans un jeu complet de 52 cartes, et qu'on demande la probabilité que les deux Premières cartes du paquet soïeni un as et un deux ; la probabilité que l’as soit à la première place est — , puisque cette carte pourrait occuper l’une quelconque des 13 places du paquet ; cette carte Ôôtée , il en reste

12 ; ainsi la probabilité que le deux,se trouvera la première carte de ces 12 , sera-L.: la probabilité du concours de ces deux évènemens sera donc

I JL I .

Pour résoudre cette question en remontant à l’énumération de toutes les clrances possibles, il faut d’abord chercher le nombre des arrangemens dont peuvent être susceptibles 13 cartes , et qui, d’après la formule des permutations donnée ts les Élémens d'Algtbre, est le-produit 1.2.3....11.12.13. On observera ensuite que lorsque .2 des 13 cartes du paquet ont une place déterminée, il en reste 11 que l’on peut arranger entre elles de toutes, les manières possibles , c’est-àdire de 1.2.3.....11 manières : ce sont là les chances qui produisent l’évènement désiré, dont la probabilité sera par conséquent

En supprimant les facteurs 1,2.3....11, communs au numérateur et au dénominateur, il viendra seu— lement

ainsi qu’on l’a trouvé ci-dessus.

18. La question, suivante montrera mieux encore la facilité que la considération des probabilités composées procure pour résoudre les problèmes, et donnera lieu à quelques remarques utiles.

Soient deux urnes dans l’une desquelles il y ,aït

ra

2 boules blanches et 1 noire, et dans l’autre 4 boules blanches et x noire ; on derhrattle La probabilité d'amener une boule Bart hets en prenant au ‘hasard dans l’une A ei de ces urnes. La pre PARRSE qu’on mettra la main dans la première urne étant !, et la probabilité qu’il en sortira une boule blanche étant :, la PF RP du concours de ces deux évènemens est donc 5.5 ou À

On < a y: même pour le tirage dans la seconde urne,

(A FOÈuR CM 10°

Les deux probabilités à x = doivent s'ajouter ; car, suivant ce qu’on'a vu dans FA n° 6 et 8, ces fractions se rapportent à la même unité qui représente la ,certitude , et sont en conséquence deux parties de la probabilité cher chée :'on aura donc pour cette der-

nière ds de ORNE PE OST DRE ET | v 15° rs #

Bio 31001

“La probabilité de tirer une boule noire se calcule de mêmé. On trouve pour la Ce pire 2.7, pour la seconde ! , !, et la somme + -t—-£. En l’ajoutant à, il se l'unité, ainsi que cl doit être, puisqu’il s’agit de deux évènemens dont l’un ou l’autre arrive nécessairement. |

19. Pour achever d’éclaircir ce sujet, je vais résoudre la même question, en considérant les deux tirages conjointement , et je préviendrai d’abord une erreur dans laquelle il paraît facile de tomber. ‘Au premier coup d’œil, on pourrait penser que puisque les deux tirages s’opèrent sur la totalité des boules contenues dans les deux urnes, et dont le nombre est 8, sur lesquelles il s’en trouve 6 blanches , la probabilité d’en obtenir une de cette, couleur est 5 ou *, fraction qui surpassé 2.

+ ne

L'erreur qué l’on commettrait vient de ce que pour mettre en commun les boules de la. première urne avec celles de la seconde, il faut que le nombre en soit le même dans l’une et dans l’autre, afin que toutes les chances soient également possibles, ce qui n’aurait pas lieu sans cela. En effet, les boules étant séparées, la probabilité d’avoir une Buae quelconque de la première urne est égale à celle d’avoir une boule quelconque de la seconde urne ; mais quand on mêle les boules , qui sont alors au A jai de 8, sur lesquelles 3 sont de la première urne et 5 de la séconde, les probabilités précédentes deviennent (Re ne la première étant © et la seconde 3

Cette néoaHis disparait Tac on réduit au même dénominateur les probabilités £ et {#, relatives au tirage d’une boule blanche dans chaque urne, ce qui d’ailleurs n’altère point les valeurs respectives de ces probabilités. En procédant ainsi, on change les frac-— tions ? et + en + et +: alors la première urne est censée contenir 10 boules blanches et 5 noires ; la seconde , 12 boules blanches et 3 noires, les probabi-

lités respectives sont les mêmes qu'auparavant, et le

nombre total des houles est devenu le même dans

chaque urne : considérant done ces boules comme réunies dans une seule urne, au nombre de 30, dont 22 blanches, on a PQUR le tirage de l’une de celles-ci la probabilité 23 + Ou +

On s’assurera en Pénéral de l'identité des résultats obtenus par l’un et par l’autre de ces deux procédés, en supposant des urnes en nombre a, contenant chacune m boules blanches et n noires, et des urnes en nombre à, contenant p boules blanches et 4 boules noires. Par le premier procédé , on aura pour la pro-

babilité du tirage d’une boule blanche,

a’ m 4 Ÿ p am(p+g)+bp(m+n) atü mn" a+bp+q (a: b)(m+n\p+9 PE 22

crsS

en faisant pour abréger a+b=c, m+n=r, p+g—=s.

Si l’on réduit au même dénominateur les fractions

m UE ES ins (pr 2, À, il viendra —, L7 , et l’on pourra remplacer r S Ù rs rs :

toutes les urnes par une seule contenant crs boules sur lesquelles il y en a ams—+bpr qui sont blanches ; d’où résultera la probabilité trouvée ci-dessus , bien diffé- , l',.tam bp

rente , en général, de la fraction FIDES air à formée en divisant le nombre actuel des boules blanches ke le nombre total et actuel des boules.

Mais ces expressions s accordent, 1°. lorsque le nombre des boules est le même dans chaque urne, ce qui donne r—5s, d’où

ams + ôpr am + bp.

crs . war + br ?

2°. Lorsqu'il y a dans toutes le même rapport entre le nombre des boules blanches et celui des boules noires ; car si l’on désigne ce rapport par #, on a

nKm, qg =D, à r=mit+ék) ,s=p(i +),

LA

ce qui réduit

ams + bpr am+ pb . I ts OM nl: pt NE AE A TE crs ar + bs 1 + k.

Cet exemple fait voir combien il est aisé de se

tromper .dans-la recherche des probabilités ;’ét il s’en

présentera encore d’autres du même genrétdans la

suite. F

Détermination des Probabilités dans les épreuves ré- * pélées des mémes hasards.

20. Les épreuves répétées les plus:simples sont les jets successifs du même dé, ou les tirages de numéros pris dans une urne, et remis,.chaque fois ,-afin de conserver toujours le même nombre de chances de chaque espèce.

Ce genre de probabilités se déterminé d’abord par la considération des probabilités composées. Se proposer, par exemple , d'amener deux fois de suite le point 6, en jetant deux fois le même dé, c’est démander le concours de deux évènemens dont la probabilité simple'est + : on aura donc pour la probabilité cher chée (16) { X 1 — =; on trouvera de même que la probabilité de ne pas amener du tout le point 6 est 3 x 3 — 2. La somme de ces deux probabilités n’est pas 1, parce qu'outre les deux évènemens que nous venons d'indiquer, il y a encore celui de n’amener 6 qu’au premier jet, ou de ne l’amener qu’au second: la probabilité du premier évènement ést i.5—2, celle du second , ?.1=#; et la réunion des quatre probabilités qu’on vient de trouver , donne

26.7 ART AG NS 36 Au lieu de calculer ainsi, l’une après l’autre, les probabilités des divers évènemens qui résultent des jets successifs du mème dé ,.on peut les obtenir toutes à la fois dans une même formule. Ï suffit pour cela de

fé

cousidérer que si, dans une épreuve, il y a m chances qui produisent l'évènement 4,,.n chances qui produisent l’évènement B, sur le LONNÉ (m<4n)(m 4n) = (mn) qui embrasse tous les arrangemens possibles des. chances dans les :deux épreuves, il y en aura 7° qui produiront la succession-4 4, mn la succession 4B, nm la succession BA, et n° la succession BB (16) ; en sorte que les probabilitss pour'obtenir.les évènemens composés | à

La ep ag gsur À JEa 2 40 SAR

sont réspectivement m° 1 does: nl) Sont à STARS AUZENIERURS » à RIDER Jan lement MEN Gin” min MEN Sil’on ne distinguait pas l’ordre des évènemens sim-— ples , on regarderait comme ne formant qu’un seul évènement composé , les arrangemens 4B et BA : alors la

2mn

probabilité d'obtenir l’un ou l'autre serait GE) mn) ; nl

en.sorté qu'il n’y aurait plus que trois évènemens com-

posés, ,

AA Sir HAE ; BB, ayant les probabilités |

mm} À St Sant Do.

dont les numérateurs sont les termes du développement

de la seconde puissance du binome m.+ », ét dont la somme est égale à l’unité. il

On trouverait d’une manière semblable ; les diverses probabilités des évènemens qui peuvent avoir s : , 71 » :

lieu dans un nombre, quelconque d’épreuvés ; mais,

DES PROBABILITÉS. 31 pour plus de généralité, je supposerai d’abord que le nombre des chances varie à chaqué épreuve. En bornant à trois celui des épreuves, je désignera (pau : | , “ , " w 1" |

metn, m eétn,; m etn,

les nombres de chances qui amènent les évènemens 4 et B à la première, à la deuxième, à la troisième épreuves. D’après ce qui a été dit dans le n° 16, le produit .

( ‘ " # 14 ed er - 3-1 mt n'jm" + n°)" + n°) = m' m "mm" + m ‘m'n #1 # W + m'nm" + m'n'n + n'm'm" + n'm'n"

ee + n'n'm” + nnn

donnera le nombre de toutes les coinbinaifohs pos sibles dans les trois épreuves proposées, et un terme: quelconque exprimera le. nombre de chances qui amènent l’évènement composé des évènenrien$ simples A et B , répétés, le premier autant de fois que la lettre m entre dans ce terme, êt le second autant de fois qu'y entre la lettre n, Le accens marquant d'ailleurs l’ordre des épreuves.

Par exemple, les térmes

mm'n + AAB

m'n'm". »:xépondront aux successions À 4BA ‘ 4 1 n'm'm | PB A A ;

et l’on aura par conséquent la probabilité de chacune, en donnañt pour dénorinétenrs, au LAURE qui fui Cor —

respond , le produit s ; (mr + r\n + n'y 4. UN Si miaintenarit l’on pose m° = m" == m" jai m, et

Fai TRAITÉ -ÉLÉMENTAIRE ñn

‘=n"—=n"=nñn, ce qui changera

Gn'+n)(m"+n") (m°+n") en (m bn), Le termes indiqués ci-dessus deviendront tous égaux à m’n, nombre qui sera celui des chances relatives à

AE des" trois évènemens désignés, tous distincts, lorsqu’on fixe l’ordre dela succession des év ènemens simples dont ils'se composent. \

Si l’on fait abstraction de cet ordre, ils n’en formeront plus qu’un seul, répondant à la somme de toutes leurs chances qui est 3m°n, et ne diffère de m'n que par le coeflicient dont ce produit est affecté dans le développement de (m + n)°. Il est aisé de voir qu'on arriverait aux mêmes conclusions pour un nombre quelconque d'épreuves.

Ainsi donc p. étant le nombre des épreuves, et le développement de