CHAPITRE II. 4gg

tion -t— = X, puisque l'axe des x est entièrement arbitraire. Joignons maintenant deux points de l'espace P0 et Pf par une ligne droite ou courbe, et supposons que ds représentant l'élément infiniment petit de cette ligne, 0 soit encore l'angle de cet élément avec la direction de la force magnétique. On aura, en désignant par V0 et V, les valeurs delà fonction V correspondantes à ces deux points

V,— Y0=j ï cos <Uls,

pourvu qu'on étende l'intégrale à tous les points de la ligne en question qui sont compris entre P0 et P,. On déduit immédiatement de la formule qui précède les trois conséquences qui suivent :

i° La valeur de l'intégrale / <p cos. 0 ds est complètement indépendante de la nature de la courbe qui unit les deux points.

2° Cette intégrale s'évanouit lorsque la courbe étant fermée et rentrante sur elle-même, la fonction V reprend au point d'arrivée la valeur qu'elle avait au point de départ.

3° Quand sur une courbe fermée l'angle Ô n'est pas partout un angle droit, ses valeurs sont en partie plus grandes , en partie plus petites que 900.

Considérons la surface formée de l'ensemble des points pour lesquels la fonction V a constamment une valeur déterminée V0. Cette surface séparera les points pour lesquels V est plus grand que V0 des points pour lesquels V est plus petit que V„ • Comme en passant d'un point à l'autre de cette surface V reste constant, on aura^/V = o, et par suite, en vertu de l'équation

r/V . =s <p cos 6, cos 0 = o , la direction de la force magnétique sera donc alors toujours normale à la surface, et de plus dirigée dans la direction qui correspond aux plus

OOO THEOR. MA.THEM. DES PHEtf. MAGN. TERR.

grandes valeurs de V. Si l'on appelle ds une longueur infiniment petite comptée perpendiculairement à partir de la surface, la valeur de V correspondante à l'extrémité de cette longueur pourra être représentée par V0 ■+■ d V0 et l'intensité de la force magnétique sera

dY .

— r—?, puisque, dans ce cas, cos 6 = i. L'ensemble ds

des points pour lesquels la fonction V aurait toujours la valeur V0 -h dV„ forme une seconde surface infiniment rapprochée de la première, et dans tous les points compris entre deux surfaces, l'intensité de la force magnétique est en raison inverse de ds ou en raison inverse de leur distance. En faisant augmenter ou diminuer V de quantités très-petites, mais égales, on arriverait à partager l'espace eu une infinité de couches, dans chacune desquelles la force magnétique serait toujours en raison inverse de l'épaisseur.

Considérons maintenant les valeurs que doit prendre la fonction V à la surface de la terre. Admettons qu'en un point quelconque P de cette surface, cp soit l'intensité de la force magnétique, P M la direction de cette force, •d l'intensité et P N la direction de sa projection sur un plan horizontal , ce sera la direction du méridien magnétique, ou de la ligne sud-nord : soient encore i l'angle de P M avec PN ou l'inclinaison, G et t les angles que l'élément ds d'une ligne quelconque tracée sur la surface fera avec les directions PM et PN, et enfin V et V ■+• d V les valeurs de la fonction V aux deux extrémités de l'élément ds, on aura cos ô =cos i cos t, xtf = cp cos i, et l'équation d V = (pcos 8 ds deviendra d\= zi cos t ds. Si P0 et P, sont deux points de cette surface liés par une courbe quelconque dont ds sera l'élément, on trouvera, en appelant V0 et V, les valeurs de V correspondantes à ces deux points ,

V, — yo = jzi cos t ds.

L'intégrale s étendant à tous les points de la ligne en ques-

CUAPITRF ir. 5oi

tion compris entré P0 et P, , on conclut de cotte équation

i° Que la valeur de l'intégrale / x$ cos x ds est entièrement indépendante de la nature de la courbe qui unit les deux points P„ et P .

a° Que cette intégrale s'évanouit quand on l'étend à tous les points d'une courbe fermée.

3° Que si l'angle - n'est pas égal à qo° pour tous les points d'une semblable courbe, cet angle sera tantôt aigu et tantôt obtus.

On peut prouver, au moins approximativement, à l'aide d'observations faites à la surface de la terre, la vérité de ces deux premières conclusions. En effet, traçons sur la surface de la terre un polygone P0 P, P2 . . . POJ dont les côtés soient les plus courtes distances de cbacun de ces points au suivant, ou des arcs de grands cercles, en supposant que la terre soit sphérique; soient de plus &„,&,,&, ... les déclinaisons positives à l'est et négatives à l'ouest du pôle nord ; et soient enfin (o, i) (i,o), (i, 2) (2, 1)... les azimuts de ces mêmes côtés P0 P,, P, P,, etc., aux points P0ouP,, P, ouP„etc., et comptés à l'ordinaire, à partir du sud en allant vers l'ouest.

L'angle t qui varie d'une manière continue sur cbacun des côtés du polygone change brusquement à chaque angle, et présente alors deux valeurs différentes. Ainsi, au point P, considéré tour à tour comme l'extrémité du côté P0 P, , et le commencement du côtéP.P,, l'angle t a les deux valeurs (1, o) -h $x, 1800 -f- ( 1,2) -+- & „ ..

En désignant par t„ et t, les valeurs de l'angle t au point Pn considéré comme point de départ, et au point P, comme point d'arrivée du côté P0 P,, on pourra prendre pour valeur approchée de l'intégrale / rô cos t ds ,

la quantité '- (-ri0 cos c0 H- i3, cos -, ) P„ P, , qui différera d'autant moins de la véritable valeur de l'intégrale que le côté P0 P, sera plus petit. Si l'on y substitue

502 THEOR. MATHÉM. DES PHÉN. MAG1V. TERR.

pour cos t0 et cos t, leurs valeurs, cette expression deviendra,

f f ès:M [ (1,0) + *,) — x*0 cos | (o, i ) + S0 |]PcPt.

On trouvera de même, pour les valeurs approchées de la même intégrale correspondantes aux côtés suivants du polygone PIP2,P,P3,

t[^cos |(a,i) + $,|— xJ, cos |(l,*)4»t,|]Pi?,^tc. Appliquée à un triangle tracé sur la surface de la terre,

l'équation / x3 cos t ds = o donnera ,

tf0[P0PlCOS | (O, I) + *. j -P0P,COS I (o,a)+S0 j]

+ ri1[P1P1cos|(i,a) + S1| — P.P.cosKijOj + ^j] +- tf,[P0Pacos | (a,o) + S,| — P.P^cosKa,! )+$,)]

quelle que soit d'ailleurs l'unité d'intensité ou de distance.

Pour donner une application de cette formule , nous choisirons les observations magnétiques de

Gœttingue. .

Milan

Paris

d'où l'on tire

i0 =6f 56' it = 63 49 ia = 67 24

xd0 = 0,50980 xtft = 0,57094 t$3 = o,5i8o4

En partant des positions géographiques suivantes :

Gœttingue . .

Milan

Paris

5i°3a' lat.

90 58' long, de Greenwich.