CHAPITRE IV

Hypothèse de Poisson et théorie. — Energie potentielle d'un aimant temporaire.

— Aimantation uniforme. — Cylindre très allongé. — Variabilité du coefficient d'aimantation. — Perméabilité magnétique. — Aimants permanents. — Aimant uniforme. — Barreau très allongé. — Action démagnétisante. — Mouvement d*un petit corps aimanté dans un champ magnétique. — Force portante d'un aimant.

— Imperfection de la théorie.

33. Hypothèse de Poisson et théorie. — Un morceau de fer doux s'aimante temporairement lorsqu'il est placé dans un champ magnétique.

Poisson a fait, au sujet de Taimantation par influence, une hypothèse que Texpérience parait justifler lorsque l'intensité du champ est assez faible. Cette hypothèse peut s'énoncer ainsi :

Vintensité d aimantation temporaire en chaque point est proportionnelle à la force magnétisante en ce points parallèle à cette force et dirigée dans le même sens. j

On appelle force magnétisante la résultante de deux forces distinctes, savoir : la force du champ et la force intérieure provenant du magnétisme acquis par Taimant lui-même.

Désignons par (x, y, z) les coordonnées du point intérieur P, par U le potentiel du champ en ce point

et par û le potentiel inconnu du magnétisme acquis par Taimant.

Les trois composantes de la force magnétisante seront

ô (U + Q) ô (U + n) à(U + Q) àx ' dy ' 02 '

il en résulte que les trois composantes A, B, C de Fintensité d*aimantation devront satisfaire aax éqaafions

k désignant le coefficient dcdmarUation ou paramètre de susceptibilité magnétique^ égal an rapport constant de Fintensité d'aimantation à la force magnétisante.

Il résulte de ces formules que l'expression

kdx + Rdy + Cd:

est la différentielle exacte de la fonction par conséquent la fonction

est un potentiel ^induction (n^ 30) et doit vérifier Féquation de Laplace

on en déduit

/ÔA , ÔB . dC\

Le premier membre de cette équation représente la densité cubique p au point intérieur (or, y, z) ; par conséquent, la densité cubique est partout nulle, Vaimantation est solénoïdale. U en résulte que AU et Au sont nuls séparément, car AU = o (n* 16).

Le problème consisterait à déterminer la fonction û; il présente^ en général, des difficultés analytiques insurmontables. Cette fonction û doit revêtir deux formes analytiques distinctes ûj et û., correspondant respectivement aux points intérieurs et aux points extérieurs à Faimant.

Prenons un point 0 sur la surface de Taimant (fig. 13), menons les normales ON et ON' vers l'intérieur et vers Textérieur et prenons sur ces normales \jr*

deux points P et P' infiniment voisins de 0. La conservation du flux d'induction traversant Télément superficiel dS au point 0, exige que les composantes normales des forces d*induction en P e en P' soient égales, parai- ^

lëles et de même sens; si Fîg* 13.

nous évaluons la première de ces composantes suivant la direction ON et la seconde suivant la direction ON', la somme des deux valeurs ainsi trouvées sera identiquement nulle. En remarquant que dans la valeur du potentiel d'induction on doit faire k=z o lorsqu'elle se rapporte à un point extérieur, on trouve

Poisson a résolu le problème de Taimantation temporaire d'un noyau de fer doux limité par deux sphères concentriques et placé dans un champ magnétique quelconque. Lorsque le champ est Uniforme, la résultante de sa force magnétique et de celle de l'aimant en un point quelconque pris dans la cavité de Taimant est sensiblement nulle.

34. Energie potentielle d'un aimant temporaire. — Reprenons la formule qui exprime l'énergie relative d'un aimant dans un champ magnétique (n^ 27). En désignant par u un élément de volume de l'aimant,

par F la force magnétique du champ au centre de cet élément de volume,

par I l'intensité d'aimantation, et par 0 l'angle des directions de F et de I,

rénergie relative de Taimant sera

W = — Sti IF cos e.

Elle représente le travail qu'il faudrait dépenser pour amener Taimant, supposé fixe, depuis Tinfini jusqu'à la position qu'il occupe dans le champ magnétique supposé fixe. Cette dépense de travail est la même que celle qu'il faudrait faire pour donner à la substance de Taimant son aimantation actuelle en présence du champ magnétique maintenu fixe, si Ton supposait cette substance préalablement dépourvue de toute aimantation.

Faisons varier l'aimantation actueUe de cette substance, le champ magnétique restant fixe, en donnant aux intensités I et aux angles 0 les accroissements infinitésimaux dl et (/B*; Ténei^e relative W subira l'accroissement correspondant

d g" = — SwF (cos e dl — I sin 6 dO),

qui représentera la dépense de travail faite pour modifier l'aimantation.

Gela posé, considérons un morceau de fer doux placé dans un champ magnétique dont le potentiel soit représenté par r^U, 7| désignant un facteur numérique qui, nul au début, croîtra ensuite par voie continue. La force F, au centre de Télément de volume ti, sera constamment proportionnelle à t) et conservera une direction invariable; il en sera de même, d'après la théorie de Poisson, pour rintensité d'aimantation I ; l'angle 0 restera invariable pour chaque élément de volume et Ton aura F = el, e désignant une constante numérique. Dans ces conditions, le travail élémentaire correspondant aux accroissements cH aura pour valeur

d ^= — SuF cos 0 dl = — Se.u. cos 6. Idl. En intégrant à partir de zéro, nous trouverons

g^ = — -5- Sttt P cos e = — -i- SmIF cos 8

pour la dépense de travail correspondant à l'aimantation 1 dans le champ variable dont l'intensité finale est F, ou, en d'autres termes, pour la valeur de Vénergie potentielle de l'aimant temporaire. En

désirant, comme ci-dessus, par W Ténergie relative de cet aimant dans le champ magnétique final, on trouve

Par conséquent, F énergie potentielle dun aimant temporaire est égale à la moitié de F énergie relative de cet aimant dans le champ magnétique finaL

35. Aimantation uniforme. — Considérons un morceau de fer doux placé dans un champ uniforme, en supposant la forme de sa surface et son orientation choisies de manière qull puisse s'aimanter uniformément, dans la direction du champ, en donnant une force intérieure parallèle à l'intensité d'aimantation. Ce corps prendra une aimantation temporaire uniforme.

Désignons par ^ l'intensité du champ et par I Tintensité inconnue de l'aimantation.

La force magnétisante est égale à --r ; elle est, d'autre part, égale à la somme algébrique de l'intensité o du champ et de la force intérieure provenant du magnétisme acquis par l'aimant. Cette force intérieure est proportionnelle à I et peut être représentée par — L I, L désignant un paramètre numérique dont la valeur dépend delà forme de la surface du noyau de fer doux ainsi que de son orientation.

En égalant les deux valeurs de la force magnétisante, on trouve

la force intérieure est