Circuits mnltiples. — Supposons qu'un conducteur se sub

divise en plusieurs autres entre deux points A et B (fig. 22). Désignons par Yi et Vi les potentiels en A et en B, par r la

Fig. 22.

résistance d*un des arcs AB, et part Tintensité du courant qui traverse cet arc.

Nous aurons

les sommes étant faites pour tous les arcs entre A et B. Or, en

désignant par I Tintensité totale du courant, avant ou après la

bifurcation, on a

1 = Si;

si, d'autre part, on représente par R la résistance d*un conducteur unique qui pourrait remplacer entre A et B le circuit multiple, on aura

Les trois formules ci-dessus conduisent à la suivante

par conséquent Finverse de la résistance totale dun faisceau de conducteurs aboutissant tous aux mêmes points est égal à la somme des inverses de leurs résistances individuelles.

69. Conducteur plan indéfini. — Considérons maintenant un conducteur plan indéfini, homogène, de faible épaisseur, sur lequel on fait arriver par divers points A des quantités déterminées d'électricité par seconde. Le débit total d'électricité positive doit être égal au débit total d'électricité négative ; le régime permanent peut alors s'établir.

Nous supposons ce conducteur placé dans un milieu parfaitement isolant, de manière à éviter toute déperdition par ses surfaces ; il en résulte que les courants sont tous parallèles aux surfaces ; celles-ci sont donc normales aux surfaces de niveau.

Prenons dans le plan du conducteur deux axes rectangulaires de coordonnées et désignons par. Y le potentiel correspondant au point quelconque (or, y) ; comme la densité électrique est nulle en ce point, la formule de Poisson donne

Désignons, d'autre part, par \eir^ les coordonnées du point A, sur lequel se fait un débit y- d'électricité positive ou négative. Assimilons ce point A à un centre matériel de masse y- (positive ou négative) qui repousserait le point (a;, y) en raison inverse de la distance r, et faisons de même pour chacun des points A ; en calculant le potentiel O de Taction totale exercée au point {x^ y) nous trouverons

♦ == — s (X log nép r = — S log nép r Comme ce potentiel vérifie l'équation

nous admettrons qu'il est proportionnel à Y et nous poserons

V = K 2 {X log nép r,

K désignant un paramètre constant.

Pour obtenir les lignes de niveau, il suffit de poser Y = constante. Certaines de ces lignes peuvent avoir des points nodaux, caractérisés par Texistence de deux tangentes distinctes ; les coordonnées de chaque point nodal doivent annuler les deux dérivées partielles de Y» et, par conséquent , celles de O ; elles vérifieront donc les deux équations

dx "" ôy ^

Proposons-nous de déterminer le nombre et les positions des points nodaux. II est nécessaire, pour y arriver, de recourir aux coordonnées affixes

( ; = ç + r, v^iTT

Les deux composantes de l'action totale exercée sur le point z par le centre d'action A sont

dx ^ r*

et ces formules donnent

Le polynôme F (z) est égal au produit des binômes {z — 2^), en sorte que son degré est égal au nombre p des points A. Le polynôme <p {z) est en apparence du degré {p — 1), mais il s'abaisse en réalité au degré {p — 2), parce que l'on a par hypothèse

Pour annuler les deux dérivées partielles de ^, il est nécessaire et suffisant d'annuler simultanément X et Y, ou, ce qui revient au même, d'annuler le polynôme o {z). On voit ainsi que les points nodaux sont au nombre de {p — 2) et que leurs coordonnées affixes sont les racines de l'équation

L'annulation des deux dérivées partielles du potentiel Y sur chacun des points nodaux indique que le flux électrique est nul en chacun de ces points.

Indiquons encore que l'état électrique du conducteur plan indéfini est complètement déterminé par la fonction-produit

en égalant le module à une constante arbitraire, on obtient le

système des lignes de niveau ; en égalant l'argument à une constante arbitraire, on obtient les lignes de flux, trajectoires orthogonales des lignes de niveau ; en égalant à zéro la dérivée logarithmique, on obtient Téquation des points nodaux ou points neutres pour lesquels le flux est nul.

Les points nodaux des lignes de flux sont les mêmes que ceux des lignes de niveau. Les deux tangentes en un point nodal à la ligne de niveau qui passe par ce point sont rectangulaires ; il en est de même des deux tangentes à la ligne de flux qui passe par ce point nodal.

On peut déterminer expérimentalement une courbe de niveau, lieu des points qui ont un même potentiel, par la condition qu'aucun courant ne s'établisse dans un fil conducteur, lorsqu'une de ses extrémités étant placée sur un point donné de la courbe on met l'autre extrémité en contact avec la surface du conducteur ; tout point de contact ainsi obtenu appartient à la courbe cherchée. Les résultats expérimentaux que l'on obtient par cette exploration galvanométrique sont conformes aux indications du calcul.

70. Electricité calculatrice. — La théorie précédente conduit à cette curieuse conséquence qu'étan,t donnée une équation

algébrique quelconque

à coefficients réels et de degré p^ on pourrait demander à l'électricité d'indiquer ses racines.

Traçant sur une plaque conductrice indéfinie deux axes rectangulaires, prenons sur l'axe des a:, {p + 2) points arbitraires dont les coordonnées seront

et posons

F (z) = (s - co (s - g (2 - îp+o.

La formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples donnera

les paramètres \i. (les uns positifs et les autres négatifs) satisferont à la relation

et se calculeront aisément par des formules telles que

Cela posé, faisons arriver sur chacun des points 2^, que nous avons arbitrairement pris sur Taxe des x^ une quantité d'électricité par seconde proportionnelle au paramètre [&. et de même signe que lui. La plaque conductrice prendra un état électrique déterminé; le flux électrique sera nul pour les points nodaux^ au nombre de />, qui sont précisément les points^racines de t équation proposée o {z)=o.

Le phénomène ne sera pas sensiblement modifié si, au lieu de supposer la place conductrice indéfinie (hypothèse non réalisable), on donne à cette plaque un rayon très grand comparativement à la distance des électrodes à leur centre des moyennes distances.

S'il était possible de rendre tangible l'état électrique de la plaque, les positions des points neutres feraient connaître les racines réelles et imaginaires de l'équation proposée.

71. Loi de Joule. — Revenons aux conducteurs linéaires et reprenons les formules

La différence V. — V„ force électromotrice ou chute de potentiel, représente le travail des forces électriques du champ lorsque l'unité de masse positive va de l'origine à l'extrémité du conducteur, ou lorsque l'unité de masse négative va de l'extrémité à Torigine du conducteur (n"" 12). L'intensité I du courant représente la somme des valeurs absolues des masses positives qui parcourent, par seconde, le conducteur dans le premier sens et des masses négatives qui le parcourent en même temps dans le sens opposé. Il en résulte que le produit

El = RP représente \di puissance électrique du courant, c'est-à-dire le travail

que ce courant peut fournir par seconde. Ce travail se transforme en énergie calorifique ; le conducteur s'échauffe et dégage de la chaleur.

En désignant par J l'équivalent mécanique de la chaleur (n^^ 7), et par Q la quantité de chaleur dégagée par seconde, on a

Rl* = JQ; de là la loi de Joule^qui s'énonce en ces termes :

V énergie calorifique dégagée sur un conducteur pendant funité de temps est égale au produit de rintensité du courant par la résistance du conducteur.

72. Unités CGS et unités pratiques. — Vintensité d'un courant^ quantité d'électricité débitée par seconde, a pour unité symbolique

[L^M"»T-*]. L'unité CGS serait l'intensité d'un courant débitant par seconde l'unité CGS de masse électrique ou quantité d'électricité. On adopte dans la pratique une unité d'intensité appelée -ampère y qui correspond au débit d'un coulomb par seconde (n® 62) et se trouve ainsi 3.10* fois plus grande que l'unité CGS. La lettre I dans les formules des courants représente toujours un nombre d'ampères.

La force électromotrice ^ de même nature qu'un potentiel élec-

trique, a pour unité symbolique [L'^ M* T"* ]. En faisant le pro- -duit des unités symboliques d'intensité et de force électromotrice, on trouve

c'est-à-dire le rapport de l'unité symbolique de travail à l'unité symbolique de temps. Le produit des unités CGS d'intensité et de force électromotrice est, par conséquent, égal au quotient de Y&rg par la seconde. Si, au lieu de rapporter le travail à l'erg, on convient de le rapporter au wattj unité pratique 10' fois plus grande que Tunité CGS, et si l'on remplace en même temps l'unité CGS d'intensité par l'unité ampère 3.10* fois plus grande, l'unité CGS de force électromotrice devra être remplacée 'par une unité -|p-

= 3.10^ fois plus faible; cette unité, adoptée dans la pratique^ a reçu le nom de volt (n*" 62).

TRAITÉ PRATIQUE D'ÉLBCTRICITÉ. 7

La résistance électrique a, d'après la formule R = -j- , pour unité symbolique [L"* T] , comme l'inverse d'une vitesse. Si l'on substitue le volt et Y ampère aux unités CGS de force électromotrice et d'intensité, on doit remplacer l'unité CGS de résistance par unité 3.10* x 3.10* = 9.10** fois plus petite, à laquelle on a donné le nom à' ohm.

La formule