CHAPITRE VIII
ÉLECTRODYNAMIQUE
Loi d'Ampère. — Action d'un courant ferme sur un élément de courant. — Nouvelle équivalence du courant et du feuillet. — Energie mutuelle de deux courants fermés. — Energie intrinsèque d'un courant. — Formule de Weber. — Théorie du magnétisme d'Ampère.
89. Loi d'Ampère. — Les immortels travaux d^Ampère, qui ont eu pour point de départ en 1820 sa découverte de Faction des courants sur les courants. Tout conduit à formuler la loi élémentaire suivante.
L'action mutuelle de deux éléments de courant ds et dsf^ d'intensités i et i', est dirigée suivant la droite qui joint leurs milieux ; elle est déterminée par la formule
, 1 1". ds, ds' / 3
o = k î ( COS 6 — -zr-
ces 6 ces 6
dans laquelle r désigne la distance des milieux des deux éléments ^ e f angle d e directions des deux courants, 8 et 6' les angles que ces directions font avec la droite qui joint les milieux^ k une constante positive (fig. 36). ^g- 36.
Si Tun des éléments est situé dans le plan perpendiculaire à Faùtre en son milieu, Faction mutuelle devient nulle. Si Ton change de sens les deux courants, leur action mutuelle aWst pas
modifiée. Dans tous les cas la valeur de «p est positive ou négative suivant qu'il y a attraction ou répulsion.
Remplaçons Télément de courant ds par un courant brisé de même intensité t parcourant une ligne polygonale, plane ou gauche, à côtés infiniment petits et aboutissant aux deux extrémités de ds. La distance r se conserve sensiblement pour chacun des côtés s^ du polygone, en sorte que Tactiqu correspondante à un côté est
o. = fc — j— Ids^ CCS 6, — -^ cos 6'. ds, cos 6. J ;
en projetant sur r et sur ds' l'élément ds et le contour polygonal on trouve
( ds cos e = S ({s*, cos e, ( ds cos 6 = S ds. cos 6, ;
par conséquent
on ne modifie donc pas l'action mutuelle en remplaçant le courant rectiligne ds par un courant polygonal aboutissant aux
mêmes extrémités. Il en résulte qu'un élément de courant peut être remplacé par ses trois composantes parallèles à trois axes rectaBfulaires.
ÉLEGTRODYNAMIQUE 133
Deux éléments de courant ds et ds' font nécessairement partie de deux circuits, sur lesquels on peut prendre arbitrairement deux points 0 et 0' pour origines des arcs ^ et 5^ correspondant aux origines M et M' des deux éléments (Gg. 37). On a alors
. M'N — M'M ôr
\^^^^ = — Mrr- = ôF
Pour évaluer cos e, menons la tangente en M^ projetons les deux points M et N en P et en Q sur cette tangente ; nous aurons
/ M'P = r cos 6'
mais PQ étant la projection de MN = ds sur la tangente en M^ on a
PQ z= ds. cos e ,
donc
d (r cos ^)
cos 8 =
En remplaçant cos V pour sa valeur rjr , on trouve
àr àr ô*r
cos e = — -T- TT — *• v V >»
os os os os
Il résulte de ces formules qu'on peut ramener la formule d'Ampère à la forme suivante
,, a: ds. ds' ô» v^
9S. Action d*un courant fermé sur un élément de courant. — L'action totale d'un courant fermé d'intensité i sur un élément de courant dsf d'intensité t' passe par le milieu 0 de cet élément. II s'agit de déterminer sa direction.
A cet effet, prenons le point 0 pour origine d'un système de
coordonnées rectangulaires (flg. 38) et désignons '
par Xy y y z les coordonnées du milieu M de l'élément ds^
par rfx, rfy, dz les projections de cet élément,
par r la distance OM,
par a, p, y les cosii\us des angles que l'élément d^ fait avec les axes.
On a
^ X = r?7 = * »' à^' f -^(cos 6 — |cos e cos e'j d$
Fig. 38. l'intégration devant s'opérer suivant le péri-
mètre entier du courant fermé.
En tenant compte des formules
dr
cos 8 =
ds
3 dr , 3 , , i
--j-ds=z 1 dr = rrt -r,
r* ds r' r*
nous pouvons écrire
X = k ir ds' [/^-^ ds+^Jrœ cos 6' d. l] ,
les intégrations devant s'étendre à tout le périmètre du courant fermé.
L'intégration par parties donne pour la seconde intégrale, considérée comme indéfinie,
/t., j i r X cos G' rd (r x
cos (y)
on a donc, pour l'intégrale définie, la seconde partie seulement du second membre, c'est-à dire
jr^cose'd.-3 = -J ^
ÉLECTRODYNAMIQUE 135
et, par conséquent,
X = ^ H' du' j -^Ix cos t, ds — -^ d {r x cos 6'j 1 .
Gomme on a d'ailleurs
d (r X cos 6*) r= r cos 6'. dx + œd (r cos 6') = r cos (^' dx -\- x cos e. ds,
on peut écrire
k Tl
X = — il' ds' / — (a? cos t. ds — r cos 6' dx)
Remarquons enfin que Ton a
r cos G' = aa; + py + Y2 cos E. ds = a da? + p dy + Y dz,
nous trouverons définitivement
Les composantes Y et Z s'expriment par des formules analogues. Posant, pour simplifier les écritures,
nous aurons
/ A __ fydz — zdy ; -, Czdx — xdz
f f^xdy — ydx
/ X = -^ n' ds' (p G - Y B) Y = |- W ds' (y A — a C) Z =|-tYds'(aB — p A),
91. Nouvelle équivalence du courant et du feuillet. — Supposons que, supprimant Télément de courant dsfj on place en 0 une
masse magnétique positive égale à Tunité ; son action sur l'élément de courant ds aura pour projections (n^ 77)
zdy)
xdz)
par conséquent son action magnétique totale sur le courant fermé aura pour projections sur les trois axes
-f^if^
^^^■7^ = -AiC.
Il suffit de changer de signe ces trois projections pour avoir celles de la force magnétique F que créerait au point 0 le feuillet magnétique de puissance hi équivalent au courant fermé ; nous avons donc
F. = Ai A F, = kl B F. = hi C.
Les valeurs des trois projections X, Y, Z de Faction totale exercée par le courant fermé sur l'élément de courant dsf peuvent, par conséquent, s'écrire sous la forme
' X = A. (F. p - f; y) i'ds'
Y = 5^ (f; Y - F. «) rds'
z =^(F,« -F.p)i'ds'
Les trois projections du moment de Wforce magnétique F rela-
ÉLECTRODYNAMIQUE 137
tivemeDt à l'origine de Télément de courant ds' sont respectivement
M, = j (F. « ds- - F. Y d«') M. = -i (F. P *' - F, a d*') ;
d'après la loi de Laplacé généralisée (n"" 77), il suffit de multiplier trois projections par — 2At^pour obtenir les trois composantes X\ Y^, Z\ de Faction totale que le feuillet magnétique équivalent au courant donné exercerait sur Félément ds'\ on a donc
L'expérience ayant montré que le rapport 5^ est égal à l'unité, X, Y, Z sont exactement égaux à X', Y', 71. De là ce théorème:
Un courant fermé et ttn feuillet magnétique y équivalents quant à leurs actions sur les aimants^ sont équivalents aussi quant à leurs actions sur les courants.
En remplaçant k par 2h^ dans la formule d'Ampère et substituant ensuite les intensités électromagnétiques I, V aux intensités électrostatiques i et i\ on trouve
ç = 2 ;j ( (cos e 5" ^^^ ® ^^^ ^ )
I r rfs à%* d' v^r
yÇ ÔS Ôs'
92. Energie mutuelle de deux courants fermés. — L'énergie mutuelle W de deux courants fermés, dont les intensités sont
respectivement I et I\ est égale à celle des deux feuillets magnétiques équivalents ; on a, par conséquent (n® 28)
Le paramètre M, que nous avons appelé coefficient d'induction mutuelle^ est égal au flux de force qui traverserait Tun des circuits par sa face droite ou négative, si l'intensité du courant dans l'autre circuit devenait égale à Tunité. Il est clair que M dépend seulement des circuits et de leurs positions actuelles ; c'est une fonction géométrique dont nous allons déterminer la forme.
L énergie mutuelle W est égale au travail qu'effectueraient les actions émanant du premier courant et sollicitant le second, si ce dernier s'éloignait à l'infini, le premier restant fixe. Pendant le temps dt, la distance r de deux éléments ds et dsf varie de
ôf '~*^r -^7^^
le travail correspondant de la force <p, que l'élément de courant ds produit sur l'élément de courant dsf^ est, (p étant évaluée comme force attractive,
' ot ot os os
il en résulte que le travail élémentaire total des forces que rélément de courant ds exerce sur le second courant a pour valeur
a = s IV di ds f^-f-^. ds;
J dt ds ds '
rintégration s'étendant à tout le périmètre du courant F. En intégrant par parties, on trouve, pour l'intégrale indéfinie,
J àt as as' àt ds J ds à«ôs' •
et pour rintégrale définie, la seconde partie seulement du second membre ; on a donc
ÉLECTRODYNAMIQUE 139
Le travail élémentaire, pendant le temps dt, de toutes les forces que le premier courant exerce sur le second a pour valeur
L*expression de ce travail devant être symétrique par rapport aux deux circuits, on a aussr
d W = - 8 II' dtJP^^^ ds ds'.
Prenant la demi-somme de ces deux valeurs, nous aurons ou, ce qui revient au même,
La valeur de l'énergie potentielle W est par conséquent
W = -4ir rr4^^d8d5' = -Mir.
J J ds os Nous en déduisons
J J à s os'
Newmann a transformé cette expression en une autre plus élégante. On a identiquement
par conséquent
d\/r ds
ds-
1 drdr
ir ds ds' ~
~ 4 ds
ds"
.'ce
r ^ — ds a
L'intégration par partie donne, pour une intégrale indéfinie,
et, pour rintégrale définie, le second terme seulement du second membre. On a d'ailleurs
os à^ as ds' '
€ désignant Tangle des deiix éléments de courant ds^ dsf. La valeur de M devient donc
M = - ffSSlîdsds'.
93. Energie intrinsèque d'un courant. — On peut former pour un seul circuit une fonction de la même forme que M, en regardant les deux éléments ds, dsf comme appartenant l'un et l'autre à ce circuit. On obtient ainsi le paramètre
que Ton appelle coefficient de self -induction du circuit.
On peut remarquer que la valeur de L est la valeur limite de M dans Thypothèse où deux circuits égaux se rapprocheraient Tun de l'autre en tendant à coïncider.
Supposons qu'un courant fermé d'intensité I soit placé en dehors de tout champ magnétique, il sera traversé néanmoins par un flux de force qui émane du courant lui-même ; le coefficient de self-induction L représente la valeur de ce flux de force (évalué comme pénétrant par la face droite ou négative) lorsque l'intensité I du courant est égale à l'unité.
Supprimant le courant par la pensée, rétablissons-le ensuite en faisant croître son intensité, supposée uniforme, depuis zéro jusqu'à L Soit x une valeur intermédiaire de I et dx son accroissement infinitésimal ; l'accroissement ' correspondant du flux de force est hdx et le travail correspondant des forces magnétiques
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est le produit de cet accroissement de flux hdx par Fintensité x du courant. On voit ainsi que, par suite de la création du courant, les forces électriques exécutent un travail total dont la valeur est
fxdx=:L
