CHAPITRE IX

Courant induit d'intensité constante. — Quantité d'électricité induite. — Coupure du flux par le circuit. — Self-induction et extra-courant. — Courant induit alternatif. — Système de deux courants voisins. — Coefficients d'induction. — Unité symbolique. — Décharge d'un condensateur.— Courants induits dans les conducteurs non linéaires. — Courants de Foucault.

96. Courant induit d'intensité constante. — Lorsqu'un courant est placé dans un champ magnétique, toute modification du champ détermine une variation de l'intensité du courant. La découverte des courants induits a été faite par Faraday en 1831.

Considérons un courant induit ainsi obtenu, dans un circuit fermé, par la variation du champ magnétique ambiant ; supposons que cette variation du champ soit de nature à donner une valeur constante I à l'intensité du courant ^

A rinstant /, le flux de force qui traverse le courant en pénétrant par sa face négative a pour valeur Q ; Ténergie relative ou potentielle correspondante du courant est

W = -IQ

Au bout du temps dt^ la valeur du flux de force est devenue

et Ténei^ie potentielle est devenue

w - 1 ^ dt.

dt

' Dans cette théorie des courants induits, nous supposons que toutes les grandeurs soient rapportées aux unités CGS électromagnétiques. L'unité d'intensité de courant est, par conséquent, 10 ampères (n* 87).

L'accroissement d'énergie potentielle représente le travail qu'il faudrait dépenser pour amener le courant, supposé fixe, depuis sa position actuelle, jusqu'à Tinfini, en présence du champ magnétique maintenu dans l'état qu'il présentait à l'instant /, et le ramener ensuite sur cette position actuelle en présence du champ magnétique maintenu dans l'état qu'il présente à l'instant t + dt. Ce travail mécanique, nécessairement emprunté à la source extérieure d'énergie qui fait varier l'état du champ magnétique, doit être restitué par le courant sous la forme de chaleur, après s'être transformé en énergie calorifique. Si donc nous désignons par R la résistance du circuit*, l'énergie calorifique Ri* dt doit être égale à l'accroissement de W pendant le temps dt; de là l'équation

ou, plus simplement,

l!^dt = ^Vdt, (1)

Pour que I s€it constant, ainsi que nous l'avons supposé, il faut et il suffit que le flux de force Q soit une fonction linéaire du temps.

Cette formule montre que — -^ est la force électromotrice du courant induit'; nous dirons donc que la force électromotrice d'un courant induit est égale et de signe contraire à la dérivée, par rapport au tempsy du flux de force qui traverse le courant par sa face négative.

La règle suivante, indiquée par Maxwell, permet de trouver facilement le sens de la force électromotrice à un instant quelconque. Supposons quun tire -bouchon tourne de manière à avancer dans la direction du champ; la force électromotrice sera orientée dans le sens de la rotation de ce tire-bouchon ou en sens €ont7*aire, suivant que la valeur absolue du flux de force travers sant le circuit sera croissante ou décroissante.

Le courant induit d'intensité constante que nous venons

* L'unité électromagnétique de résistance vaut l**'"x iO"*.

* L'unité électromagnétique de force électromotrice vaut l**** x iO" •.

d*étudier peut s'obtenir soit au moyen d'un flux décroissant pénétrant par sa face positive, soit au moyen d'un flux croissant pénétrant par sa face négative.

97. Quantité d'électricité induite, induite pendant le temps dt est

La quantité d'électricité

ldt = —

elle est, par conséquent, égale de signe contraire au quotient de la variation du flux par la résistance du circuit.

Si, pendant un temps fini quelconque, Q varie de Q' à Q^^ la quantité d'électricité induite sera

elle est indépendante de la durée de la variation du flux ainsi que de la loi suivant laquelle cette variation s'eflectue. De là ce théorème :

La quantité (T électricité induite pendant un temps quelconque est égale et de signe contraire au quotient de la variation du flux par la résistance du circuit.

98. Coupure du flux par le circuit. — Au lieu de laisser le circuit immobile en faisant varier le champ magnétique, on peut

faire mouvoir ce circuit dans un champ maintenu fixe.

C'est une autre manière de faire varier Q et, par conséquent, de produire un ^' courant induit.

Considérons (fig. 39) deux positions successives S et 2' d'un circuit parcouru par un

Fig. 39.

courant, ainsi que la surface tubulaire qu'il a engendrée pendant son trajet. Remplaçons, par la pensée, les courants fermés S et S' par des feuillets équivalents. Nous obtiendrons un volume fermé

et nous pourrons appliquer à sa surface totale le théorème de Green (nM4).

Supposons, pour finir les idées, que la face positive de S soit extérieure à ce volume ; la face positive de S' lui sera, par suite, intérieure.

Le flux Q, qui traverser I en pénétrant par sa face négative est un flux sortant ; nous devons donc le prendre avec son signe. Le flux Q' qui traverse S' en pénétrant par sa face négative est, au contraire un flux entrant; nous devons donc changer son signe. Désignons, d*ailleurs, par K le flux relatif à la surface tubulaire, nous aurons

Q - Q' + K = 0, d'où

par conséquent la variation du flux de force traversant le circuit est égale au flux de force correspondant à la surface tubulaire.

Prenons sur S un élément AB, qui vient en A' W ; traçons sur la surface tubulaire les trajectoires AA', BB', et marquons deux positions infiniment voisines MN et M' N' de AB. Pour obtenir K nous avons à faire, pour toute la surface tubulaire, la somme des flux de force tels que celui qui correspond à l'élément superficiel MN M' N' ; or ce flux de force élémentaire est égal au flux coupé par AB, pendant le trajet de MN en M' N'. Par conséquent : La variation du flux de force traversant le circuit est égale au flux coupé par le contour de ce circuit pendant son trajet.

Lorsque AB va de MN en M' N', le flux coupé par cet élément linéaire doit être affecté du signe + ou du signe —, suivant qu'il est sortant ou entrant ; dans le premier cas, l'élément se déplace vers la gauche de l'observateur d'Ampère qui regarderait dans la direction F du champ magnétique ; dans le second cas, l'élément se déplacerait au contraire vers la droite de l'observateur regardant dans la direction du champ. Par conséquent le flux coupé, pendant un élément de temps quelconque par un élément du contour du circuit doit être compté comme positif ou comme négatifs sui^ vont que le déplacement de cet élément a lieu vers la droite ou vers

la gauche de l'observateur d^ Ampère regardant dans la direction du champ.

Moyennant cette convention, nous pourrons dire que la force électromotrice (Tinduciion à un instant quelconque est égale et de signe contraire a la dérivée, par rapport au temps, du flux de force coupé par le contour du circuit.

A ce point de vue, la force électromotrice totale apparaît comme la somme de forces électromotrices élémentaires respectivement créées sur les éléments du contour; cette manière de voir est confirmée par les considérations suivantes.

L^action électromagnétique du champ sur Télément MN est égale (n** 77) au produit de l'intensité I du courant par Taire du parallélogramme construit sur MN et sur F ; elle est normale à ce parallélogramme et dirigée vers la gauche de Tobservatéur d'Ampère regardant dans la direction du champ. Lorsque, pendant le temps dt^ MN avance jusqu'en M' N', le travail de cette action magnétique est

-^ dt désignant le volume du parallélogramme construit sur les trois arêtes MN, MM', F. Or ce volume est précisément égal au flux de force magnétique — 5L dt coupé par MN ; on a donc

Nous voyons ainsi que le travail de l'action électromagnétique du champ sur l'élément MN se transforme en énergie électrique par suite de l'existence de la force électromotrice

dq

sur cet élément lui-même.

Ainsi donc chacun des éléments du circuit devient le siège d'une force électromotrice qui lui appartient en propre et c'est la somme de ces forces électromotrices qui constitue la force électromotrice totale du courant induit. L'expérience conduit à regarder celte conception comme bien conforme à la réalité. Si, en effet.

on déplace un circuit ouvert, de manière qu'il coupe un flux de force, une tension ou différence de potentiel, égale à la somme des forces éleclromotrices d'induction correspondant à ses divers éléments, s'établit à ses deux extrémités.

99. Self-induction et extra-courant. — Le circuit d'un courant électrique est traversé par le flux du propre champ magnétique de ce courant. La valeur de ce flux de force est égale (n® 93) au produit de rintensité I du courant par le coefficient de self-induction

L = -//^* rfs ds:

tTï

Si rintensité I éprouve une variation jr dty le flux de force IL éprouve la variation

à laquelle correspond une augmentation d'énergie potentielle égale à

ai

Cet accroissement d'énergie ne peut être fourni que par la source génératrice du courant électrique (pile, machine dynamo ou magnéto-électrique, champ inducteur variable, etc.).

Désignons par E la force électromotrice produite par cette source à Tinstant / ; le travail qu'elle fournit pendant le temps dt est égal à El dt\ ce travail comprend, d'une part, là dépense RP dt d'énergie calorifique, et, d'autre part, l'accroissement d'énergie potentielle; on a, par conséquent.

EId< = RI«dt + LI^d^ (3)

ou, plus simplement,

E-L^ = RI. (i)

La self-induction du courant donne donc naissance à une force

di

dt

contre -électromotrice L -^ , qui se retranche de la force électro-

motrice E de la source.

Le courant obtenu peut ainsi être considéré comme la résultante de deux courants coexistants, dont l'un, dit courant principal, serait dû à la force électromotrice E de la source, tandis que l'autre, dit extra-courant, est dû à la force contre-électromotrice de self-induction.

Examinons le cas particulier où la force électromotrice E reste constante. A partir du moment où la source génératrice est mise en relation avec le circuit, l'intensité du courant part de zéro et augmente graduellement jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur constante

lo = -^

qui correspond au régime permanent. Pendant cette période de création du courant, l'intensité variable du courant est déterminée par l'équation différentielle

Lg = R(Io-l),

qui peut aussi s'écrire

d (lo - I)

dt R

lo - 1 ~" L •

L'intégration donne, en remarquant que l'on doit avoir 1 = 0 pour / = 0,

I = Io(l~e"r*)'

D'après cette formule, l'intensité lo du régime permanent ne s'obtiendrait théoriquement qu'au bout d'un temps infini; mais l'expérience indique qu'en général elle est sensiblement atteinte au bout de quelques instants, parce que le rapport -^ du coefficient de self-induction à la résistance du circuit est toujours numériquement très faible. L' extra-courant produit pendant la période de création du courant a pour intensité

lo — I = Ioc-ï:- (^)

LES GOURANTS INDUITS 131

La quantité d'électricité mise en mouvement par la self-induction est, pendant le temps dty

lo e i' dt et, pendant toute la période de création du courant,

elle est proportionnelle à la force électromotrice E,

Après avoir laissé, le régime permanent s'établir, supprimons brusquement la source génératrice ; nous aurons à considérer la période d'extinction du courant. Pendant cette période, Textracourant existera seul ; nous obtiendrons son équation différentielle en faisant E = 0 dans Téquation (4), ce qui donne

L^' + RI = o. (7)

Intégrons en remarquant que Ton doit avoir I = lo lorsque ^=0, c'est-à-dire au moment de l'extinction de la source, nous trouverons

I = Ioe-L-. (8)

Le second membre de cette équation est identique avec celui de l'équation (5). L'extra-courant d'extinction est donc la reproduction même, avec un sens contraire, de l'extra-courant de création ; la quantité d'électricité qu'il met en mouvement est, comme précédemment,

/ldt = I./e-^d< = ^ = Ma ,0)

L^énergie absorbée par la self-induction pendant la création du courant et restituée ensuite sous la forme de chaleur pendant l'extinction a pour valeur

Rlî/

sut 4

e-Tdt = ^Lr.; (10)

ce résultat est conforme à celui que nous avions obtenu précédemment (n"" 93) par un raisonnement plus direct. Pendant la phase de création, Teffet de la self-induction consiste à empêcher la partie

de l'énergie fournie par la source génératrice de se dépenser sous forme de chaleur; cette énergie s'emmagasine sous une forme inconnue, dans un réservoir également inconnu, de même qu'une partie du travail moteur s'emmagasine au début du mouvement dans le volant d'une machine ; elle devient disponible et se transforme en chaleur à partir du moment où la source génératrice est supprimée, de même que la force vive emmagasinée dans le volant d'une machine devient disponible sous la forme de travail mécanique après la suppression du moteur.

100. Courant induit altematit. — Supposons que le flux de force Q qui traverse un circuit fermé placé dans un champ magnétique variable soit une fonction périodique du temps représentée par la formule

Q = Qo cos — (**)

Désignons par R la résistance du circuit et par L son coefficient de self-induction.

La variation du champ magnétique constituant la cause génératrice du courant électrique, nous aurons à remplacer, dans Téqualion (4), la force électro motrice E par

dQ 2tc - . 2î:f ,, «,

posons d'ailleurs

yQo=Eo; (13)

l'équation (4) deviendra

RI + L^-EoSin~^ = o. (14)

Pour intégrer cette équation différentielle , on emploie une constante auxiliaire 0, représentant un laps de temps et déterminée par Téquation

^6 ~Y" ^^ ht"' ^ ^

et Ton trouve pour valeur finie de Fintensité

Eo 2ire . 2ir(i — 6)

I = -j^ ces "Y" sin j (16)

Le courant est alternatif, avec la période T. Si L était nul, c'est-à-dire s*il n'y avait pas de self-induction, l'équation (14) donnerait immédiatement

' = jf sm — (17)

pour l'intensité du courant induit.

La self-induction produit donc, en sens contraire du courant induit, un extra-courant dont l'équation est

r = 1 — I = -j^ sm — cos — ^^ (18)

£n comparant les formules (16) et (17), on voit que la selfinduction a pour effet de multiplier par cos ^ l'intensité moyenne du courant qui se produirait sans elle et d'apporter le retard 0 dans la phase du courant.

L'énergie calorifique moyenne dépensée par seconde est

W. = ljRl»* = gcos«Ç. (19)

S'il n'y avait pas de self-induction, on trouverait la valeur

W. = A.jRPd<=^. (20)

L'énergie calorifique moyenne que dépenserait, par seconde, l'extra-courant, s'il existait seul, serait

W'„=^l ^RH de = ^ sin» Ç . (21)

On a identiquement

W: = WL - W., (22)

relation tout à fait analogue à celle qui existe entre les intensités F, V et I.

Dans Téquation générale

El dt = RP d( + LI ^ dt, (3)

le second terme du second membre est la différentielle exacte

Y Lei (P) ;

si donc on intègre entre deux valeurs de t pour lesquelles 1 prend la même valeur, le terme provenant de la self-induction donne zéro. On voit ainsi que, pour un courant périodique, les phénomènes de self-induction n'exigent aucune dépense courante d'énergie ; l'énergie empruntée par le courant à la source génératrice a pour valeur moyenne celle dé l'énergie moyenne qui se dépense en chaleur. Pour le courant alternatif défini par l'équation (16), la valeur moyenne, par seconde, de l'énergie empruntée à la source génératrice est

W. = §cos«?î?. (19)

Si l'on désigne par

lo = -g ces — (23)

la valeur maximum de l'intensité du courant, cette formule devient

Il en résulte que

w„=4-Ri;. (24)

est la valeur de l'intensité d'un courant continu qui, passant dans le circuit de résistance R, dépenserait la même énergie calorifique que le courant alternatif donné.

101. Systôme de deux courants voisins. — Si deux courants sont placés dans le voisinage Tun de Tautre, chacun d'eux est traversé par un flux magnétique provenant de Tautre, en sorte que leurs variations réagissent entre elles.

Désignons :

par R et R' les résistances des deux circuits, par L et U les coefficients de self-induction , par M le coefficient d'induction mutuelle.

A rinstant quelconque t^ les sources génératrices des deux courants produisent les forces électromotrices E et E^ ; les intensités des courants sont I et V.

Pour le premier courant, la force électromotrice E doit fournir Ténergie calorifique RI* dt dépensée dans le circuit, le travail des forces électromotrices émanant de ce courant et agissant sur Tautre, travail dont la valeur est

1 M — dt,

et le travail de self-induction» qui a pour valeur

ILf«-,

on a, par conséquent, en divisant par I,

Edt = Rldt + }Adl' + LdL ^ (26)

Le second courant conduit analoguement à Téquation

E'dt=:Kl'dt + }Adl+Vd T. (27)

On peut former avec ces deux équations la combinaison suivante

(El + ET) dt =(RP+R'P) dt+d j^l! + M 1 1' + î^J

qui, traduite en langage ordinaire, indique que le travail fourni pendant le temps dt par l'ensemble des deux sources produit Ténergie calorifique dépensée sur les deux circuits, augmentée de la dépense de travail correspondant à la création des deux courants en présence l'un de l'autre (n** 93).

Le système des deux équations différentielles simultanées (26) et (27), en regardant les forces électromotrices £ et £' comme constantes, a pour intégrales

( R I = E -f- A eP** + B e**^

Dans ces équations, p' et p'^ sont les deux racines de Téquation du second degré

comme ces racines doivent nécessairement être négatives, pour que les intensités I et V ne croissent pas indéfiniment avec le temps, on a nécessairement