CHAPITRE PREMIER
Mesure d'une grandeur. — Unités géométriques. — Unités cinématiques. — Unités mécaniques. — Choix des unités fondamentales. — Système C. G. S. — Equivalence de la chaleur et du travail. — Utilité des notations symboliques.
1. Mesure d*ane grandeur. — Mesurer une grandeur, c'est trouver combien de fois elle contient une grandeur de même nature choisie arbitrairement pour unité. En rendant celte unité k fois plus petite ou k fois plus grande, on rend k fois plus grande ou k fois plus petite la mesure de la grandeur. Le rapport des mesures de deux grandeurs de même espèce est un nombre abstrait, indépendant de l'unité choisie; on l'appelle le rapport de ces grandeurs elles-mêmes.
2. Unités géométriques. — Deux longueurs rectilignes équivalentes sont superposables ; de cette observation résulte un moyen simple de mesurer directement une longueur.
Deux surfaces planes peuvent être équivalentes sans qu'il soit possible de les superposer ; de là l'impossibilité de procéder directement à la mesure d'une surface. Pour surmonter cette difficulté, on fait dépendre la mesure de la surface de celle de la Ion" gueur du côté d/ un carré équivalent ; en désignant par L la mesure de cette longueur et par S celle de la surface, on emploie la relation
exprimant que la mesure de la surface est égale au carré de la
mesure de la langtieur du côté du carré équivalent. Cette formule, qui donne S = 1 pour L = 1, oblige à prendre pour unité de «urface la surface du carré construit sur Tunité de longueur; Tunité de surface devient donc une unité dérivée^ tandis que Tunité de longueur reste une unité fondamentale. Rendons k fois plus grande Tunité de longueur, la nouvelle mesure du côté du <^rré deviendra
et la nouvelle mesure de la surface deviendra
cette dernière formule montre que l'unité de surface a été rendue J^ fois plus grande. Par conséquent, dans le cas actuel, Tunité dérivée est proportionnelle au carré de Tunité fondamentale, ce que nous pouvons exprimer par la relation symbolique
Les volumes conduisent à considérer une nouvelle unité dérivée. On fait dépendre la mesure cTun volume de celle de la longueur du côté cTun cube équivalent y en employant la relation
qui oblige à prendre pour unité de volume le volume du cube «construit sur Funité de longueur. Dans ce cas Tunité dérivée est proportionnelle au cube de l'unité fondamentale ce que nous pouvons exprimer par la formule symbolique
En résumé les trois unités nécessaires en géométrie sont liées «entre elles par les deux formules symboliques
3. Unités cinématiques. — Les questions de géométrie proprement dite ne mettent en cause que les dimensions de Tespace.
La cinématique, ou scienee du mouvement, fait de plus intervenir le temps.
On regarde comme directe la mesure du temps, en sorte que Tunité de temps devient une unité fondamentale [T].
En associant les idées de longueur et de durée, on arrive à deux notions essentielles, qui sont celles de la vitesse et de Yaccilération.
La vitesse t; est le rapport d'une longueur parcourue L au temps T employé à la parcourir ; Funité de vitesse est, d*aprës. cette définition même, une unité dérivée à laquelle correspond la formule symbolique
[i,J = [y = LL T-»J.
L'accélération y est le rapport d'un accroissement de vitesse au temps pendant lequel cet accroissement s'est produit ; Tunité correspondante doit donc être représentée par le rapport de Tunitéde vitesse à Tunité de temps ; par conséquent
[ïl = {f| = [i^T-]=[LT-].
4. Unités mécaniques. — Pour passer de la cinématique à la mécanique, c'est-à-dire du mouvement géométrique au mouvement de la matière, il faut faire intervenir une notion nouvelle, celle de la. masse^ dont on considère l'unité [M] comme fondamentale.
La force F a pour mesure le produit de la masse d'un point matériel par l'accélération qu'elle lui imprime ; l'unité de force est, par conséquent, une unité dérivée à laquelle correspond la. formule symbolique
[F] = [My] = [MLT-«]
Le travail mécanique ^ est le produit d'une force par le parcours de son point d'application ; de là la formule symbolique
(«-) = [ML«r^J La puissance mécanique P d'une source de travail mécanique
est le trarail qii*eDe fonniit dans ranité de temps ; de là la formule symbolique
[p] = [iiL«r-i
5. Choix des imités fondamentales. — Le choix des unités fondamentales de longueur, de temps et de masie est entièrement arbitraire.
Pour l'unité de temps, la seconde sexagésimale est depuis longtemps adoptée.
Pour l'unité de longueur, Tusage a fait choisir, suivant les cas, soit le mètre lui-même, soit un multiple décimal du mètre, soit un sous-multiple décimal du mètre.
Pour Tunité de masse, il convient d'adopter celle de Tunité de volume de Teau distillée prise à son maximum de densité, par analogie avec la définition métrique de l'unité de poids.
6. Système C68. — Le Congrès des Electriciens, réuni à Paris en 1881, a décidé l'adoption des unités suivantes :
pour unité de longueur, le centimètre ;
pour unité de temps, la seconde sexagésimale ;
pour unité de masse, la masse-gramme, c'est-à-dire la masse d*un centimètre cube d'eau distillée prise à son maximum de densité.
Cette convention forme la base du système dit CGS (abrévation de Centimètre-Gramme-^Seconde).
Les unités dérivées correspondantes sont les suivantes :
unité de surface, le centimètre carré ;
unité de volume, le centimètre cube ;
unité de vitesse, celle d'un mobile parcourant un centimètre par seconde ;
unité d'accélération, celle qui provient d'un accroissement de vitesse d'un centimètre par seconde ;
unité de force, celle qui imprime à la masse-gramme l'unité d'accélération ; on a donné à cette unité le nom de dyne;
unité de travail, travail d'une dyne dont le point d'application se déplace d'un centimètre dans sa direction ; on a donné à cette unité le nom à! erg; c'est une dyne-centimètre ;
unité de puissance, celle qui correspond au travail d*un erg par seconde ; on l'appelle souvent V erg-seconde.
Le rapport du gramme à la dyne est égal à l'accélération de la pesanteur rapportée au centimètre, soit à ^ = 981 sous la latitude de Paris^ Il en résulte que. la dyne diffère peu du milligramme et que Terg est contenu
fois dans le kilogramme tre :
On remplace souvent Tunité CGS erg par une unité pratique 10^ fois plus grande contenue 9,81 fois dans le kilogrammëtre, à laquelle on donne le nom de watt et quelquefois le nom de joule.
7. Equivalence de la chaleur et du travail. — Une caloriegramme^ c'est-à-dire la quantité de chaleur nécessaire pour élever de zéro à un degré centigrade la température d'un gramme d'eau, équivaut, d'après Joule, à un travail représenté par 0,425 kilogrammëtre.
En adoptant pour g la valeur 981, on trouve que
0,425 kilogrammëtre = 4,17 watts.
La calorie-gramme équivaut, par conséquent, à un travail de 4,17 watts.
Le paramètre numérique
est Véqutvalent mécanique de la chaleur. La formule
exprime en calories-grammes la quantité de chaleur Q équivalente à un travail W évaluée en watts.
8. Utilité des notations 8]rmboliques. — Lorsque Ton multiplie par des nombres quelconques X, pi, 0 les unités fondamentales de
longueur, de masse et de temps, les unités dérivées doivent être modifiées en conséquence. La notation symbolique de chaque unité dérivée permet de calculer immédiatement le facteur numérique par lequel on doit multiplier cette unité. S'agit-il, par exemple, de Tunité de force, le symbole [ML T~'] indique immédiatement qu*elle doit être multipliée par
Les notations symboliques permettent aussi de vérifier l'homogénéité nécessaire des formules générales et des théorèmes qui s'en déduisent. Prenons, par exemple, ce théorème de mécanique :
Dans le mouvement cTun point matériel la variation de la demiforce vive, pendant un laps de temps quelconque, est égale au travail de la force motrice pendant le même temps. Ce théorème ne peut être vrai que si le travail mécanique et la force vive ont la même unité symbolique.
Pour le travail mécanique, nous avons déjà trouvé le symbole
quant à la forcé vive, égale au produit d'une masse par le carré d'une vitesse, son unité symbolique, est
