CHAPITRE II

Loi de Coulomb. — Potentiel de l'action mutuelle. — Energie potentielle d'un système de masses magnétiques. — Potentiel d'un champ magnétique. ~ Lignes et tubes de force. — Théorème de Green. — Application aux tubes de force. — Equations de Poisson et de Laplace.

9. Loi de Coulomb. — L'observation des phénomènes auxquels donne naissance un barreau aimanté, notamment celle de l'action attractive exercée par ses abouts sur la limaille de fer, a conduit depuis longtemps les physiciens à assimiler ce barreau à une masse inerte, qui présente vers ses extrémités deux centres d'action appelés pâles de l'aimant.

On peut faire abstraction, par la pensée, de la matière du barreau et reporter la cause de ses propriétés sur ses deux pôles, considérés comme deux points géométriques en chacun desquels serait concentrée une masse magnétique.

Si l'on donne au barreau aimanté une suspension qui lui permette de tourner autour d'Un pivot, en restant horizontal, on constate qu'il prend une orientation fixe, à peu près dans la direction du sud au nord ; on voit, de plus, que c'est toujours la même extrémité qui se dirige vers le nord, en sorte que les deux pôles ont des masses magnétiques d'espèces différentes. On est convenu d'appeler pâle nord celui qui se tourne vers le nord et pâle sud celui qui se tourne vers le sud.

Deux barreaux aimantés agissent l'un sur l'autre, de manière

(pie deux pâles de même nom se repoussentj tandis que deux pâles de noms contraires s'atiirenê.

En prenant des aimants très longs, on peut les disposer de façon que Faction mutuelle de deux pôles voisins devienne prédominante et permette de négliger les autres actions qui s'exercent entre les pôles éloignés. Coulomb a pu ainsi déterminer, au moyen de la balance dé torsion, Finfluence de la distance des deux pôles voisins sur leur action mutuelle ; il a constaté que les attractions ou les répulsions sont inversement proportionnelles aux carrés des distances.

Pour caractériser la puissance d'un pôle magnétique, il faut attribuer une valeur numérique à la masse magnétique que Ion suppose concentrée sur lui. Faisons agir sur un pôle fixe divers autres pôles de même nom que lui, à distance fixe, et mesurons les répulsions correspondantes ; si nous remplaçons le pôle fixe par un autre pôle de même nom, mais d'une puissance différente, nous obtiendrons, avec la même distance et les mêmes pôles auxiliaires que précédemment, des répulsions proportionnelles à celles que nous avons d'abord obtenues. On observe expérimentalement le même fait de proportionnalité si Ton prend des pôles auxiliaires de nom contraire à celui des pôles fixes. Il en résulte que la masse d'un pâle est proportionnelle à Faction qu'il exerce sur un autre pâle fixe quelconque. On convient de regarder cette masse comme positive ou comme négative^ suivant qu elle appartient à un pôle nord ou à un pôle sud.

Cela posé, désignons par [x la masse d'un pôle nord qui, agissant sur un autre pôle nord de même masse, à la distance d un centimètre, le repousserait avec la force d'une dyne. L'action mutuelle (p , exprimée en dynes, de deux pôles ayant respectivement les masses m et m' (positives, ou négatives, ou de signes contraires), placés à la distance r, exprimée en €entimètres, sera donnée en grandeur et en signe par la formule

qui attribue le signe + ou le signe — à la valeur de ç, suivant que les masses m ^i m' sont de signes contraires ou de même

signe, c'est-à-dire suivant que Faction est attractive ou répulsive. Dans cette formule, les masses magnétiques des deux pôles sont représentées par leurs rapports respectifs à la masse [x. Si nous prenons |x pour unité de masse magnétique (dans le système C6S), la formule précédente deviendra

mm'

? = jj-f (1)

m et tnf étant les mesures ou valeurs numériques des deux masses magnétiques considérées.

L'unité GGS de masse magnétique ainsi [définie par la formule

dans laquelle on rend r égal à un centimètre et — <f égal à une dyne, a pour symbole

[L][MLT-"f = L^M^T-*

10. Potentiel de raction mutuelle. — La nature de la force cp conduit à considérer une fonction très importante qu'on appelle potentiel de raction mutuelle ; c'est l'intégrale définie

r V = /çdr = 2^ (2)

Rapportant à trois axes de coordonnées rectangulaires les positions {Xf y, z) et (a/, y^, i/) des< points sur lesquels sont respectivement concentrées les masses magnétiques m et m\ nous trouverons pour composantes, parallèlement aux axes, de la force qui sollicite le premier point,

mm

Lï' —

àU das

àU ày

mm' r*

du dz

et, de même, pour les composantes de la force qui sollicite le second point,

X — ar^ __ mm' x' — x dU

y-^y' mm' ^ — y dU .

1 ^ r "" r« r "~ dy' ^ ^

F z — s* mm' s!

mm' g* — z dU

\ ® "HT" ~ "r»" r "■ "" 5?

par conséquent les projections des forces sur les axes des coordonnées sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles correspondantes du potentiel U.

Faisons passer les deux masses magnétiques m et m' de leurs positions primitives, que nous caractériserons par l'indice 1, à des positions différentes que nous caractériserons par Tindice 2. Le travail effectué par la force qui sollicite la masse m aura pour valeur

et, analoguement, la force qui sollicite la masse m! effectuera le

travail

la somme de ces deux travaux ou travail de l'action mutuelle est

y'dU = U.-.U, = mm'(l-.^)

Ce travail dépend des dislances initiale et finale r^ et r, des deux masses magnétiques m et m\ mais il est absolument indépendant des trajectoires qu'on leur a fait suivre. Traduite en langage ordinaire, la formule (5) exprime que le travail de Vaction mutuelle de deux masses magnétiques^ pour un changement quelconque des positions de ces deux masses^ est égal et de signe contraire à la variation du potentiel de cette action mutuelle.

Supposons que la distance actuelle r des deux masses m et m'

croisse jusqu'à Tinfinî ; le potentiel de cette action mutuelle devenant finalement égal à zéro, le travail de cette action mutuelle sera égal à la valeur primitive du potentiel, c'est-à-dire à

-. mm'

Or ce travail de Taction mutuelle est égal à celui qu'il faudrait dépenser pour amener les deux masses depuis Tinfini jusqu'à leurs positions actuelles; il représente, par conséquent, une énergie potentielle que les deux masses, abandonnées à elles-mêmes tendront à diminuer de plus en plus. Si les deux masses sont de même signe, U sera positif et décroîtra lorsque r ira en croissant; aussi ces deux masses s'éloigneront-elles indéfiniment l'une de l'autre, en obéissant à leur répulsion mutuelle. Si les deux masses sont de signes contraires, U sera négatif et décroîtra en même temps que r; les deux masses, abandonnées à elles-mêmes se rapprocheront jusqu'au contact en obéissant à leur attraction mutuelle. Dans les deux cas, nous voyons que le potentiel de fac^ tion mutuelle de deux masses magnétiques représente Vénergie potentielle du système de ces deux masses dans leurs positions actuelles.

11. Energie potentielle d'un système magnétique. — Cette observation peut être généralisée. Supposons qu'au lieu de deux masses magnétiques on en ait un nombre quelconque N. En les combinant par couples de toutes les manières possibles, on formera — /^ ^ fonctions U, dont la somme représentera le travail nécessaire pour amener l'ensemble de ces masses depuis l'infini jusqu'aux positions actuelles. Nous obtiendrons ainsi ï énergie potentielle de tout le système.

Cela posé, remplaçons la masse m, dans sa position actuelle, par l'unité de masse magnétique ; entre cette unité de masse et chacune des autres masses m\ wl\ ..., s'exerceront des actions mutuelles dont les potentiels, au nombre de N — 1, auront pour somme

nous appellerons cette sommQ le potentiel de la masse m. Chacune

des masses du système admet un potentiel de ce genre; nous avons donc» en tout, N potentiels Yn. Multiplions chacun de. ces potentiels par la masse à laquelle il est relatif et faisons la somme

mV. + m' V„. + m'V«,.

des produits ainsi obtenus. Cette somme contient deux fois chaque potentiel

mm!

de Taction mutuelle de deux masses. De là ce théorème.

L'énergie potentielle dun système de masses magnétiques est égale à la moitié de la somme des produits obtenus en multipliant chacune des masses par son potentiel.

12. Potentiel d'un champ magnétique. — Un système quelconque de masses magnétiques m, m^ m"^ ..., occupant des positions fixes, déternûne ce que Ton appelle un champ magnétique^ c'est-à-dire un espace dans lequel leur action peut s'exercer.

Plaçons Tunité positive de masse magnétique en un point quelconque P ; elle sera sollicitée par une force totale, dont la grandeur et la direction dépendent de la position de ce point et qu'on appelle la force du champ.

Rapportant la figure à trois axes de coordonnées rectangulaires , désignons par r la distance du point P à la masse m et par X, y, :; les coordonnées du point P.

Le potentiel de Taction mutuelle de la masse m et de Funité de masse placée en P sera—; faisons la somme de ces potentiels pour toutes les masses m et désignons la par

nous obtiendrons le potentiel du champ magnétique.

Il est clair que ce potentiel Y est une fonction des coordonnées x^ y, z du point P ; mais comme il ne dépend que des distances

Ty f^ r'' ...^ sa valeur est indépendante de la position des axes des coordonnées ; c'est une fonction^de-point ,

Les trois composantes de la force qui sollicite Tunité de masse positive placée en P sont

àx

dV ôx

'T ày

àv

dz ~'

elles sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles du potentiel V.

Si la masse unité positive passe par un chemin quelconque de la position (a:,, yi, Zi) à la position (xa, y,, z,), le travail de la force magnétique a pour valeur

/(Xdx + Ydy + Zci=) = V,-V,;

par conséquent \ Le travail de la force du champ sur Funité positive de masse magnétique passant d'une position à une autre est égale à t excès de la valeur primitive du potentiel sur sa valeur finale.

Il en résulte que la valeur du potentiel en un point quelconque est égale au travail de la force du champ sur Funité positive de masse magnétique partant de ce point et s'éloignant jusqu'à Tinfini. En d'autres termes, la valeur du potentiel en un point quelconque du champ est égale au travail quil faudrait dépenser pour amener [unité positive de masse magnétique depuis Fin fini jusqu'à ce point.

En posant

V = constante

on obtient une série de surfaces équipotentielles ^ appelées aussi surfaces de niveau. On peut faire passer une de ces surfaces par un point quelconque de l'espace.

Un déplacement quelconque dé la masse-unité sur une surface de niveau n*exige aucun travail de la force magnétique ; de là ce théorème : La force magnétique en un point quelconque P du champ est normale à la surface de niveau passant par ce point.

Encore faut-il connaître le sens de cette force, c'est-à-dire celle des deux directions de la normale en P qui doit lui être attribuée. Pour y arriver, donnons au potentiel V, correspondant à la surface de niveau qui passe par le point P, un accroissement inQnitésimal négatif rf V ; la nouvelle valeur V + rf V du potentiel déterminera une seconde surface de niveau inûniment voisine de la précédente. Soit dn (quantité positive) la distance inûniment petite des deux surfaces de niveau au droit du point P, c'est-à-dire la longueur du segment infinitésimal qu'elles interceptent sur la normale en P. Si la masse unité parcourait, en partant du point P, ce segment (fn, le travail de la force magnétique, égal à l'excès — rf V du potentiel primitif V sur le potentiel final V + rf V, aurait une valeur positive; il en résulte que la direction de la force magnétique est celle du chemin parcouru dn. Nous voyons ainsi que la force magnétique est dirigée dans le sens correspondant à la décroissance du potentiel.

Calculons maintenant l'intensité F de cette force. La valeur de son travail, pour le parcours du segment c/n, est Fdn; nous savons, d'autre part, que ce travail est égal à — dW, par conséquent

c'est-à-dire que Y intensité de la force magnétique en un point quelconque du champ est égale et de signe contraire à la dérivée du potentiel suivant la normale à la surface de niveau qui pousse par ce point.

Il résulte de ces considérations que les surfaces de niveau peuvent servir à représenter le champ magnétique. Traçons, en effet les surfaces de niveau correspondant aux valeurs numériques

du potentiel, de manière que le transport de l'unité de masse

magnétique d*une surface quelconque à la suivante fasse effectuer Funité de travail par la force magnétique. En chaque point la force magnétique est normale à la surface de niveau et dirigée dans le sens où le potentiel décroît ; sa valeur moyenne F entre deux surfaces consécutives p et p — 4 est donnée par la formule

a désignant la distance des deux surfaces au point considéré ; od a, par conséquent,

La série des surfaces de niveau permet donc de déterminer en chaque point du champ la force magnétique correspondante*

Examinons le cas particulier le plus simple de tous, celui où le champ magnétique serait créé par un seul centre d'action portant une masse magnétique m, supposée positive pour fixer les idées. Le potentiel en un point P, pris à la distance r de la masse agissante, sera simplement

sa valeur est toujours positive. Les surfaces de niveau correspond

dant à diverses valeurs de Y sont des sphères ayant pour centre

la masse magnétique; à chaque valeur Y correspond une sphère

dont le rayon r est égal à^. En attribuant à Y les valeurs n, i

...., 3, 2, 4, 0, nous aurons pour rayons des sphères correspon- I

dantes— , ..., -ô-^-ir» t» * î ^^ système de sphères donnera la repré-

sentation géométrique du champ magnétique.

Le champ d'un aimant, c'est-à-dire le champ magnétique créé par un système de deux masses magnétiques égales et de signes contraires + m et — m, respectivement placées aux points N et S, admet comme surfaces de niveau des surfaces de révoluition autour de Taxe SN. Le potentiel en un point P dont les distances à N et à S sont respectivement r et / a pour valeur

à chaque valeur de Y correspond une surface de niveau dont on

peut construire graphiquement la section méridienne. Nous indi* quons en trait plein^ sur la figure 1, quelques courbes de la section méridienne, courbes symétriques relativement à la droite SN. La

perpendiculaire AB, élevée par le milieu decette droite, représente la section méridienne de la surface de niveau correspondant au potentiel - zéro ; à droite de AB se trouvent les sections méridiennesdes surfaces de niveau correspondant aux valeurs positives du potentiel , courbes fermées convexes environnant le pôle N, qui tendent à devenir un cercle infiniment petit, ayant son centre en ce point, lorsque la valeur du potentiel tend vers -h oo ; à gauche de AB se trouvent, formant une série symétrique de la précédente, les sections méridiennes des surfaces de niveau correspondant aux valeurs négatives du potentiel. Les lignes tracées en traits discontinus sont les trajectoires orthogonales des sections méridiennes des surfaces de niveau. La complication géométrique des surfaces de niveau devient excessive et non susceptible de représentation plane, lorsque le champ magnétique est produit par un grand nombre de masses agissantes.

13. Lignes et tubes de force. — Les surfaces de niveau admettent pour trajectoires orthogonales les courbes enveloppes des forces électriques, auxquelles on donne le nom de lignes de force. Les lignes tracées en traits discontinus dans la figure 1 sont des lignes de force du champ magnétique créé par les deux pôles d'un aimant ; dans ce cas particulier, chaque ligne de force est située dans un plan passant par SN. On retrouve ce système de ligne

Fig. i.

de force dans le spectre magnétique obtenu (fig. 2) ea plaçant audessus d'un barreau aimanté une mince lame de verre ou de carton

que l'on recouvre d'une couche uniforme de limaille de fer et à laquelle on imprime ensuite quelques légères secousses.

C'est à Faraday qu'est due la notion des lignes de force.

Considérons une surface quelconque dans le champ magnétique et prenons sur cette surface <fig. 3) un élément AB = rfS.

Soit F la force magnétique correspondant au centre de gravité P de cet élément superficiel, et soit a. l'angle que cette force fait avec la normale PN à l'élément.

LeproduitFcos a. rfS que l'on peut aussi représenter par F, dS, en désignant par F, la projection "°* "

de F sur la normale PN, a été appelé par Faraday le Tiombre de lignes de force relatif à l'élément d S ; MM. Mascarl et Joubert

Fig. 4.

ont proposé de remplacer cette expression par celle de flux de force, qu'ils ont motivée par les considérations suivantes.

Prenons sur une. surface de niveau quelconque S (fig. 4) un

élément AB = rfS; les lignes de force passant par le périmètre de cet élément formeront une surface tubulaire, normale en chacun de ses points à la surface de niveau passant par ce point; donnons à cette surface le nom de tube de force. En désignant par F la force magnétique au centre de gravité P de l'élément AB, nous trouvons YdL pour valeur du flux de force correspondant.

Considérons maintenant une surface quelconque S passant par P ; soit d& l'élément superficiel CD que découpe sur elle le tube de force et soit a l'angle que font entre elles les deux normales en P à S et à S ; le flux de force correspondant à l'élément CD a pour valeur F cos a. rfS = FûÎS. Nous voyons ainsi que les flux de force relatifs aux éléments d^ ei d& sont égaux entre eux. Si un liquide à l'état de régime permanent s'écoulait dans un tuyau dont la paroi intérieure coïnciderait avec la surface du tube de force, la vitesse d'écoulement étant supposée égale à F, le produit F(£S représenterait le volume de liquide qui s'écoulerait pendant l'unité de temps à travers l'élément (£&, et de même, le produit F cos a. rfS représenterait le volume de liquide (égal au précédent) qui s'écoulerait pendant Tunité de temps à travers l'élément (fS ; on peut désigner ce volume écoulé pendant l'unité de temps par l'expression flux de liquide, qui conduit, par analogie, à celle de flux de force.

Revenons à la figure 3 ; si, au lieu de considérer la direction PN sur la normale à l'élément AB, on considérait la direction opposée PN', l'angle a se trouverait remplacé par (lî-a), en sorte que la valeur du flux de force changerait de signe. La surface S possède deux faces distinctes X et Y (soit, par exemple, dans le

cas où cette surface est fermée, une face intérieure et une face extérieure) ; la composante normale Fn de la force magnétique au point quelconque P de la surface S devra, en vertu d'une convention spéciale, être regardée comme positive ou comme négative suivant qu'elle se dirigera, par exemple, de la face X vers la face Y ou de la face Y vers la face X.

14. Théorème de Green. — Lorsqu'il s^agit d'une surface fermée, on convient de regarder la composante normale Fn comme positive ou comme négative suivant qu'elle se dirige vers l'extérieur ou vers Tintérieur de la surface. On peut alors opérer la sommation de tous les flux de force élémentaires et obtenir le résultat qu'indique ce théorème dû à Green :

Le flux de force total correspondant à une surface fermée de forme quelconque s'obtient en multipliant par itz la somme algébrique M des masses magnétiques situées à fintérieur de cette surface.

Pour démontrer ce théorème, considérons successivement (fig. 5)

une masse magnétique [x extérieure à la surface et une autre masse magnétique m intérieure à cette surface.

Un cône infinitésimal ayant son sommet en [x découpe sur la surface deux éléments AB et CD dont les normales font respectivement avec Taxe jxX du cône les angles a et p. Si nous dési-

gnons par F et par F' les forces magnétiques correspondant aux points H et K, les flux de force relatifs aux éléments AB et CD seront respectivement F. AB. cos a et F^ CD. cos p ; comme les deux forces F et F^ émanant de la masse [x, ont la même direction, ces^ deux flux sont de signes contraires ; ils ont d'ailleurs la même valeur absolue, car les sections droites AB. cos a et CD. cos p du cône, faites en H et en K, sont directement proportionnelles aux carrés des distances [xH et {xK, tandis que les forces F et F' sont inversement proportionnelles aux carrés de ces mêmes distances. Par conséquent, une masse magnétique {jl extérieure à la surface donne un flux total identiquement nuL

Occupons-nous maintenant de la masse magnétique m intérieure à la surface. Prenons-la pour sommet d'un cône infinitésimal qui découpera l'élément superficiel EF dont la normale fait l'angle v avec l'axe mX du cône. Soit 9 la force magnétique au point I ; le flux de force élémentaire correspondant est 4». EF. cos y ou, sous une autre forme, *. mP. e/, en désignant par ef l'élément superficiel que le cône infinitésimal découpe sur une sphère ayant m pour centre et l'unité pour rayon. Remplaçons la force ^ par sa

valeur =rj- , nous trouverons m. ef pour valeur du flux de force

correspondant à l'élément EF. Il est clair que les flux de force élémentaires, produits par la masse m, sont, relativement à la surface fermée, tous sortant ou tous entrant suivant que m est positif ou négatif; leur somme, flux total, s'obtiendra donc en multipliant la masse m par la somme des éléments superficiels e/, c'est-à-dire par la surface 4 n de la sphère dont le rayon est ^al à l'unité. Par conséquent : Le flux total émanant d'une masse magnétique m intérieure à la surface est égal hiz m.

Nous avons, pour plus de simplicité, supposé convexe la sur* face considérée. Si elle présentait des parties concaves, un cône à sommet extérieur découperait toujours un nombre pair 2N d'éléments superficiels correspondant à N flux entrant égaux entre eux et à N flux sortant également égaux entre eux mais de signe contraire à celui des précédents et, par conséquent, les détruisant ; pour un cône à sommet intérieur le nombre des éléments superficiels découpés sur la surface serait impair, de manière à donner 2N + 1 flux égaux en valeur absolue, parmi lesquels

N + 1 auraient le signe de la masse m tandis que les N autres , ayant le signe contraire, les détruiraient tous à l'exception d'un seul égal à m x efy comme dans le cas d'une surface convexe. Le théorème de Green est donc absolument général.

15. Application aux tubes de forces. — Traçons (fig. 6), sur une surface quelconque S, une courbe fermée que nous prendrons pour directrice d'un tube de force ; coupons ensuite ce tube par une autre surface S'.

Nous obtiendrons un volume fermé auquel on peut appliquer

Fig. c.

le théorème de Green. La surface latérale n'est traversée par aucun flux de force ; le flux total se réduit donc à la somme algébrique des flux correspondant aux deux bases S et S\ Si aucune masse agissante n'est située dans l'intérieur du tube, le flux entrant par la surface S est égal au flux sortant par la surface S' ; il y a, par conséquent, conservation du flux de force sur tout le parcours du tube tant qu'il n'englobe aucune masse agissante.

Chaque fois qu'une masse m est englobée dans le tube, la quantité itzm s'ajoute à la valeur primitive du flux magnétique.

16. Equations de Poisson et de Laplace. — Rapportons le champ magnétique à un système d'axes rectangulaires et appliquons le théorème de Green à la surface d'un élément prismatique dx dy dz à l'intérieur duquel se trouve une masse p dx dy dz d'électricité. Soient X, Y, Z, les trois composantes, parallèles aux axes, de la force magnétique au point x, y, z.

Les flux correspondant aux deux faces normales à l'axe des x, sont respectivement :

— X dy dz et (x + ^ dx\ dy dz;

leur somme algébrique est

■^dxdydz=^^dxdydz,

On trouve analoguement pour les faces normales à Taxe des y

g- (te dy d« = - g^ (te dy d«,

«t pour les faces normales à Taxe des z

T- dx dy dz = — T-7 dx dy dz.

Le flux total pour la surface fermée considérée est

D*aprës le théorème de Green ce flux est égal k in pdx dy dz; on •a donc

• AY = — 4iip,

•équation due à Poisson. Lorsqu'il n'existe pas de magnétisme au point considéré, cette équation devient celle de Laplace.

AV = o.