PS — PN PS X PN
Soit 0 le milieu de Taxe de l^aimant, r la distance OP et 0 l'angle PON ; nous aurons :
PS — PN = / cos 0
PNxPS=:r«;
par conséquent :
(Ar=:
ml cos 6 M cos 0
19. Constitution d'un aimant quelconque. — Si Ton peut réduire un aimant à ses deux pôles lorsqu'il s'agit de le soumettre à l'action d'un champ uniforme, il n'en est plus ainsi lorsqu'il s'agit de le soumettre à l'action d'un champ non uniforme ou à l'action d'un autre aimant.
L'expérience de l'aimant brisé, donnant autant d'aimants distincts que de fragments, montre qu'un solide aimanté l'est dans toute sa masse.
Rapportons ce solide à trois axes rectangulaires et décomposonsle en éléments de volume dx dy dz. Nous pouvons considérer chacun de ces éléments comme un aimant infiniment petit dont le moment magnétique M est proportionnel au volume dx dy dzj mais varie en grandeur et en direction, d'une manière continue, en fonction des coordonnées Xy y y z du centre 0 de ce volume. On donne au rapport
dx dy dz
le nom à'intensité d^aimantation au point 0; cette quantité I peut être représentée par un segment de droite ayant la même direction que l'axe magnétique de l'aimant dx dy dz. Désignons par X, (JL, y les cosinus des angles que cette direction fait avec les directions positives des axes de coordonnées, nous aurons
A = XI , B = jxl , C = vl
pour valeurs des trois composantes de l'intensité d'aimantation parallèlement à ces axes.
Le potentiel de l'aimant infiniment petit dx dy dz relativement à un point quelconque P dont les coordonnées sont i, t;, !^, et dont la distance r au point 0 est déterminée par la formule
r« = (î ^ xY + (Tj - y)« + (C - I)»,
a pour valeur
dV = M"-^ = i^da:rfyd2,
f désignant Tangle que fait la droite OP avec la direction de rintensité d'aimantation I. Or on a identiquement :
par conséquent
OU, sous une autre forme.
Le potentiel total Y du solide aimanté considéré s*obtient en intégrant dW pour tout le volume de ce solide.
Une formule célèbre de Green permet de transformer cette intégrale triple en une somme de deux intégrales définies, de manière à obtenir lexpression suivante
V = //(AZ + Bm + Cn)lda>
dans laquelle on a désigné
par diù un élément quelconque de la surface du solide aimanté,
par /, m^ n les cosinus des angles que la normale à cet élément, dirigée extérieurement à la surface fermée, fait avec les directions positives des axes des coordonnées,
et par dv l'élément du volume dx dy dz.
Cette expression du potentiel Y conduit à une conception nouvelle de la constitution de l'aimant.
Posons, en effet,
AZ + Bm + Cn = a et,
ÔA ÔB àC__ .
la valeur du potentiel Y deviendra
or si Ton regarde <r comme la densité superficielle d une couche magnétique répandue sur l'élément superficiel dto, la fonction ^' ^ représentera le potentiel de la masse (rdio relativement au
point quelconque P; de même, si l'on regarde p comme la densité cubique d'une masse magnétique occupant l'élément de volume dvj la fonction -~^ représentera le potentiel de la masse pûto relativement au même point P.
On peut donc considérer l'aimant comme composé d'une couche de magnétisme répandue sur sa surface avec une densité variable (T et d*une masse magnétique de densité variable p répandue dans tout le volume de l'aimant. On n'altérera ainsi, pour un point quelconque de l'espace, ni la valeur du potentiel Y de l'aimant, ni, par conséquent, la valeur de la force magnétique en ce point. La formule de Green nous a donc permis de remplacer la distribution naturelle du magnétisme dans l'aimant par une double distribution fictive, absolument équivalente, concernant d'une part, la surface, et, d'autre part, le volume intérieur de l'aimant.
Désignons par 0 l'angle que la direction de l'intensité d'aimantation I correspondant au centre de l'élément de surface dtù fait avec la normale sortante^ c'est-à-dire, dirigée de l'intérieur vers l'extérieur de la surface fermée de Faimant. Nous aurons,
A/ + Bm + Cn = I {Xi + [im + v/i) = I cos 6,
et, par conséquent,
a = I cos 0,
relation générale très simple entre l'intensité d'aimantation correspondant à un élément superficiel diù et la densité superficielle V relative à cet élément.
20. Aimantation uniforme. — On dit que l'aimantation est uniforme lorsque l'intensité d'aimantation I reste constante en grandeur et en direction dans tout le volume du solide aimanté.
Dans celte hypothèse. A, B, G, deviennent des constantes, et leurs dérivées partielles ât » â^ i ât sont identiquement nulles ; il en résulte que la densité cubique p est nulle en chaque point. La
couche superficielle intervient seule dans la valeur du potentiel Y, laquelle se réduit à
et les choses se passent comme s'il n'y avait de magnétisme qu'à la surface de Taimant.
La formule générale
ff = I cos 0
montre que la densité superficielle <t est positive ou négative suivant que Tangle 0 est aigu ou obtus ; elle s'annule pour 0 = -^ c'est-à-dire suivant la ligne de contact de Taimant avec un cylindre circonscrit parallèle à Tintensité d'aimantation I ; Tétat neutre se produit sur cette ligne de contact et sur elle seulement.
21. Couche de glissement. — Imprimons à l'aimant uniforme une translation infinitésimale — e, parallèle et de sens contraire
à son intensité d'aimantation I, et supposons qu'il ait laissé dans Tespace les deux empreintes de sa surface (fig. 9) dans sa position primitive et dans sa position finale. Introduisons, par la pensée, dans le premier volume, une masse magnétique homogène positive dont la densité soit égale à — «t, dans le ^'^- ^' second volume, une masse ma-
gnétique homogène négative de même densité. La superposition de ces deux masses magnétiques produit l'état neutre dans toute la partie commune aux deux solides^ et ne laisse de magnétisme libre que dans une mince couche, d'épaisseur variable, non commune à ces solides. Regardons cette couche mince comme adhérente à la surface de l'aimant donné ; nous obtiendrons précisément la couche superficielle réelle, car à chaque élément superficiel rfw correspond un petit volume cylindrique (à généra-
trices parallèles àTintensité d'aimantation I), contenant une masse magnétique égale à — e cos 0 (/(o = <7 dto.
22. Potentiel d'un aimant uniforme. — La considération de là couche de glissement permet de donner une nouvelle forme à la valeur Y du potentiel d'un aimant uniforme.
Supposons que tout le volume de l'aimant soit rempli par une masse magnétique positive homogène, de densité égale à l'unité. Le potentiel de cette masse au point Xy y, i; sera
J J J (X- if+ (y - r,)« + (s - C)*'
l'intégration devant s'étendre à tout le volume ; la valeur de cette fonction de x, y^ z no dépend que de la forme de la surface de l'aimant et de la position relative du point considéré. Nous avons
V = I P - i (P + dP) = ~ i dP,
d^ représentant la variation totale de P lorsque l'on imprime à la
masse homogène la translation e, ou, ce qui revient au même,
lorsque l'on imprime la translation — e au point (x, y, z). Comme
cette translation — e doit être parallèle à I et de même sens,
on a
^ ÔP A ^ ÔP B , ÔP C
ox I ày l 02 I
La valeur du potentiel de l'aimant uniforme au point a:, y, z est, par conséquent,
ox oy ôz
23. Condition pour que la force intérieure devienne constante. — Les trois composantes de la force magnétique au point x, y, Zy étant égales et de signes contraires aux dérivées partielles de Y, s'expriment linéairement au moyen des dérivées partielles secondes de P ; pour qu'elles deviennent constantes, il faut et il suffit que P soit un polynôme du second degré en Xy y, z.
Il faut remarquer ici que la fonction P présente toujours deux formes analytiques distinctes, Pi et P„ correspondant, la première, aux positions intérieures du point (x, y^ z) et, la seconde, aux positions extérieures. Si, par exemple, on donne à Taimant la forme sphérique de rayon R, rapportée à son centre, on trouve :
'P,=.„(„.îl±p:il)
/ 4icR»
3 (aî« H- 2/* + i')^
Les deux fonctions P| et P, prennent toujours la même valeur en un point quelconque de la surface; pour la sphère, par exemple, cette valeur commune est-r-7ç R*.
La force magnétique d*un aimant uniforme ne peut pas devenir constante pour tous les points extérieurs, car, étant nulle à Tinfini, il faudrait qu'elle fût partout nulle. C*est seulement pour les points intérieurs qu'il est possible de trouver une force magnétique constante ; nous pouvons donc énoncer ce théorème : Pour que la force magnétique soit constante^ en grandeur et en direction^ à rintérieur d'un aimant uniforme, il faut et il suffit que P| soit un polynôme du second degré.
Cette condition est remplie si la surface est sphérique. On trouve alors
